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1、振动与波动,讨论与辅导,简谐运动定义与判据,定义：物体运动时，离开平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数的规律随时间变化的运动。判据动力学判据:受到与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用。能量判据：动能与势能不断相互转化，总能量不变。运动学判据：位置随时间变化符合正弦或余弦形式。,2,简谐运动的判断（满足其中一条即可）,2）简谐运动的动力学描述,1）物体受线性回复力作用,3）简谐运动的运动学描述,（或物体受线性回复力矩作用）,简谐运动的描述,数学形式x=A cos(t+)基本特征量角频率振幅A初相能量动力学方程,4,简谐运动的合成,同方向的两个同频率振动合振动振幅决定于两个振动振幅和相差同方向
2、不同频率振动频率差很小时存在拍现象，拍频为分振动频率差相互垂直的两个同频率振动圆、椭圆或线段相互垂直的两个不同频率的振动利萨如图,5,5、阻尼运动与受迫振动,-阻尼系数；0-振动系统的固有角频率,阻尼运动：过阻尼、欠阻尼以及临界阻尼运动,受迫振动,共振现象,幅频特性和相频特性,6.同方向、同频率简谐运动的合成,仍为简谐运动,其中:,同相:,k=0,1,2,3.,反相:,k=0,1,2,3.,8,机 械 波,一、平面简谐波,波函数：,(1).当x=x0时：,(2).当t=t0时：,波动方程,9,波速：,横波波速,纵波波速,G为剪切模量,Y为杨氏模量,弦线中的波速,T为弦中的张力,波的能量,平均能
3、流密度（波的强度）,能量密度,平均能量密度,10,驻波,特点：,(1).相邻的波节（腹）之间的距离是/2。任意两节点间的距离为n/2。,(2).相邻节点间各点振动同相，一节点两侧各点振动反相。,(3).没有能量的定向传播，两波节之间能量守恒。,半波损失,形成条件：,二、波的干涉,式中,加强,减弱,(n=0 1 2),相位差,11,3、波源观测者同时相对介质运动,电磁波的多普勒效应：,接近：,远离：,三、多普勒效应,例 一质量为m=10 g的物体作简谐振动，振幅为A=10 cm,周期T=2.0 s。若t=0时，位移xo=-5.0 cm，且物体向负x方向运动，,试求：（1）t=0.5 s时物体的位
4、移；（2）t=0.5 s时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到达x=5.0 cm所需时间；（4）连续两次到达x=5.0 cm处的时间间隔。,【解】,（1）由已知可得简谐振动的振幅,角频率,振动表达式为,-0.05,由旋转矢量法可得,振动方程,时物体的位移,（2）由（1）得,故t=0.5 s时物体受到的恢复力为,（3）从计时开始，第一次到达x=5.0 cm所需时间；（4）连续两次到达x=5.0 cm处的时间间隔。,-0.05,0.05,第一次到达x=5.0cm时的相位为,故 第一次达到此处所需时间为,连续两次到达x=5.0 cm处的相位差为,例2 两轮的轴相互平行相距为2d，两轮的转速相同
5、而转向相反。现将质量为m的一匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为。若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期.,2d,C,A,B,【解】,如图以两轮位置的中点（对称位置）为坐标原点建立坐标轴，设木板的质心位置坐标为,以A处为轴有,以 B处为轴有,即,故木板作简谐振动。,例3 一匀质细杆质量为m，长为l，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。求细杆作微小振动是否是简谐振动。,O,【解】,mg,f,很小时,细杆微小振动是简谐振动,取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向,例4 已知：x
6、=0点振动曲线如图，画出旋转矢量。,【解】,设平面波简谐波向+x方向传播，,画出：t=0 时波形曲线。,O点振动的旋转矢量表示为,0点初相位为-/2,t=0 时波形曲线为,讨论：,设平面波简谐波向-x方向传播，,已知：x=0点振动曲线仍如图所示，,试画出：t=0 时波形曲线。,0点初相位也是-/2,例5 一平面简谐波沿着x轴正向传播，速度为u，已知t时刻的波形曲线如图所示，x1处质元位移为0。试求：,（1）原点O处质元的振动方程；（2）该简谐波的波函数。,t时刻原点处质元振动的相位为-/2,则振动的初相为：,所以振动方程可以写出：,【解】,由图可知,（2）在x轴上任意选取一点P，坐标为x，如图
7、所示。P点振动相位落后于原点O,时间修正,相位修正,例6.一列波长为 的平面简谐波沿x 轴正方向传播。已知在 x=/2 处 振动表达式为 y=A cos t,（1）求该平面简谐波的波函数;,（2）若在波线上 处放一反射面,求反射波的波函数。,【解】,（1）入射波的波函数,画出示意图,找任意一点 x,反射有半波损失，,到达L处的振动方程为,已求得入射波的波函数,L处反射的振动方程,反射波的波函数,得,(2)合成波即驻波的表达式;,(3)波腹、波节的位置。,例7.设入射波的表达式为.在 x=0 处发生反射,反射点 为一固定端,设反射波与入射波振幅近似相等，,反射点为固定端，这点必是波节，有半波损失
8、，,有人，反射波的表达式为,对不对？,(2)合成波即驻波的表达式,反射波,入射波,合成波,得,若用旋转矢量分析：,反射波,入射波,t=0 时的旋转矢量,y,0,kx,-kx,y1,y1,A,A,所以有,（与前相同）,(3)波腹、波节的位置。,驻波的表达式,波腹的位置,即,波节的位置,即波节,波腹,例8.一静止声源 S 频率S=300Hz，声速 u=330m/s，观察者 R 以速度VR=60m/s 向右运动，反射壁以 V=100m/s 的速度亦向 右运动。,【解】,R直接收到的频率,壁反射波的频率（即壁接收的波的频率）,求：R 测得的拍频 B=?,R接收到的反射频率,拍频,注意：R向壁靠拢；而作为反射源的壁在离开R，有,可得,
