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1、第二章 损失分布,2.1研究损失分布的数学工具,2.1.1 随机变量及其分布随机变量：取值依赖于随机现象基本结果的变量，称为随机变量，常用X、Y、Z等大写字母表示。Example：我们可以用X表示一个风险单位在一次事故中的损失，用N表示同类合同在保险期限内发生的保险事故次数等等。这里X、N都是随机变量。分布函数：随机变量X取值不超过实数x的概率，称为随机变量X的分布函数，记作F（x）=P(X x)，x R.,分布函数的性质：对任意x R，0 F（x）1；F（）=F(x)=0;F()=F(x)=1;F(x)单调不减，即：对任意x 1、x2 R,且 x 1x2,都有 F(x)F(x);F(x)右连
2、续，即对任意x R,F(x)=F(x).分布函数全面地刻划了随机变量的统计规律性。,Example:X表示保险标的的损失额，a表示合同规定的免赔额，则保险公司承担保险责任的概率为P(Xa)=1F(a).损失不超过b(ba)且保险公司承担保险责任的概率:P(aX b)=F(b)F(a).,多维随机变量的分布：二维随机变量(X,Y)的联合分布：F(x,y)=P(X x,Y y)二维随机变量(X,Y)的边际分布：F(x)=F(x,y)=P(X x）F(y)=F(x,y)=P(Y y),独立：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y),两个边际分布函数分别为F(x)和 F(y),若对任意(x
3、,y)R,都有F(x,y)=F(x)F(y),则称随机变量X与Y互相独立。,离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量：只能取有限个值或可列个值的随机变量。Example:保险期限内，保险标的发生保险事故的次数：N=0、1、2、可用分布列、分布函数描述连续型随机变量：取值布满某个区间，并且有密度函数的随机变量。Example:在非寿险精算中，一次事故的损失额或者保险期限内的全部损失额X的取值范围是一个区间（0，+）。可用密度函数、分布函数描述,随机变量的数字特征,数学期望：描述随机变量的平均取值离散型随机变量的数学期望，离散型随机变量函数的数学期望连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量函
4、数的数学期望数学期望的特征数学方差、标准差、变异系数,Example 1:（二点分布）设同类保单在保险期限内只有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索赔的概率为p，那么，任意一份保单在保险期限内的索赔次数X就是取值为0、1的离散型随机变量，其分布列为 P(X=x)=px(1p)(1-x),x=0、1.求其分布函数，期望，方差？,Example 2:（均匀分布）如果某类保单的免赔额为a,保险金额为b(0ab),赔款额取a,b中的每个值是等可能的，那么赔款额X就是一个在a,b均匀分布的随机变量，其密度函数为：f(x)=求分布函数，期望，方差，变异系数？,数学期望和方差有如下性质：设X、Y是两个随机
5、变量，k为常数，那么（1）E(kX)=k EX;(2)E(X Y)=EX EY;(3)若X与Y相互独立，那么，E（XY）=EXEY;(4)Var(kX)=k 2VarX;(5)VarX=EX2(EX)2;(6)若X与Y相互独立，那么，Var(X+Y)=VarX+VarY.,随机变量的矩原点矩：随机变量X的k次幂的数学期望=EXk 为随机变量X的k阶原点矩。中心矩：称XEX的k次幂的数学期望=E(XEX)k 为随机变量X的k阶中心矩，k=1、2、。偏度系数：分布的对称性的度量，也就是偏斜程度。=分布对称时，偏度等于0。偏度大于0 时，正偏斜的；偏度小于0 时，负偏斜。对一般非寿险业务的大多数险种
6、来说，因为有大额赔款的发生，所以赔款额的分布常有明显的正偏斜。,随机变量的特征函数与矩母函数,设X是一个随机变量，i是虚数单位，分别称关于t的函数=Ee,tR和 M(t)=Ee为X的特征函数和矩母函数特征函数一定存在，与分布函数一一对应,矩母函数的性质,条件分布、条件期望和条件方差,两个重要性质：EX=E E（X|Y）VarX=E Var（X|Y）+Var E（X|Y）,相互独立随机变量和的分布与卷积,2.2 损失的理论分布,正态分布正态分布的密度函数 f(x)=e,x R。正态分布密度函数曲线的特点关于直线x=对称;当x 时,f(x)单调增加，反之，f(x)单调减少;当x=时,f(x)有极大
7、值.标准正态分布、标准正态分布表,中心极限定理,赔款额的理论分布,非寿险精算中的赔款额X：非负连续型随机变量，它的分布一般是正偏斜，它的密度函数在右边有长的“尾巴”。常用来表示赔款额的理论分布有：对数正态分布,log-normal distribution帕累托分布,Pareto distribution伽玛分布,Gamma distribution,对数正态分布,若随机变量X的对数函数 Y=ln X N(),则称X服从以 为参数的对数正态分布，记作 X LN().对数正态分布的密度函数：f(x)=X的数学期望和方差分别为:EX=e,VarX=e(e 1).,Example,已知某一特定风险的
8、赔款额服从参数为=7.0,=1.7 的对数正态分布。问：从400元到40,000元的赔案在全部赔案中占多大的比例？解：X LN(7.0,1.72),所以，lnX N(7.0,1.7 2).P(400X 40000)=P()=(2.12)(0.59)0.7054,帕累托分布(Pareto distribution),右偏，但尾部趋于0的速度比对数正态分布慢密度函数：f(x)=分布函数：F(x)=当 时，帕累托分布的数学期望存在：E(x)=.当 时，帕累托分布的方差存在：Var(x)=-()2,伽玛（Gamma）分布,伽玛分布,伽玛分布特征,当=1时，伽玛分布就是以 为参数的指数分布。这时它的密度
9、函数f(x)在x=0处最大，并呈单调递减。当 1时，f(0)=0,在x0处单调递增至极大值，然后再单调递减。当 0处单调递减。,赔款次数的理论分布,泊松（Poisson）分布：常被用来刻划小概率事件发生的次数，因此在非寿险精算中用它来作为赔款次数的分布是适当的泊松分布的分布列是：P(X=x)=e，x=0、1、2、其中参数q0.泊松分布的数学期望和方差都是q.泊松分布的一个重要性质是：n个相互独立的参数为 q的泊松随机变量的和服从的是参数为nq的泊松分布。可加性。譬如：正态分布也具有可加性。,二项分布,n重贝努里试验中事件A(成功)发生x次的概率，可以用来作为同质风险等额保单赔款次数的概率分布分
10、布列：P(X=x)=p x(1p)x,x=1、2、n 参数为n和p,n 为非负整数，0p1.数学期望和方差分别为：EX=np 和 VarX=np(1p).矩母函数为 M(t)=(pet+1p)n.,二项分布的两种近似方法,当n充分大时，近似地服从标准正态分布。一般，在np和np(1p)都大于10时近似程度就不错了。中心极限定理。利用二项分布的极限分布泊松分布来作近似计算：当n充分大，p又相当小时，可令q=np 0,则有 C px(1-p)n-x e-q.,负二项分布,贝努里试验中，第k次发生事件A（成功）前，事件(失败)发生的次数。负二项分布常用于灾害事故和发病情形的统计问题，在非寿险精算中，
11、常被用来描述风险不同质情况下赔款发生次数的分布。负二项分布也称巴斯卡（Pascal）分布。,负二项分布,分布列为：P(X=x)=C pk(1p)x,x=0、1、2、其中参数k=1、2、,0p1.负二项分布的数学期望和方差分别为：EX=VarX=特别，k=1时的负二项分布就是几何分布。,几何分布描述的是贝努里试验中首次发生事件A(成功)之前，（失败）发生的次数的分布。几何分布的分布列：P（X=x）=,x=0、1、2、几何分布随机变量X的数学期望和方差：EX=，VarX=.,Example,设某个险种的某个保单持有人在保险期限内的索赔次数服从参数为q的泊松分布。由于保单持有人的风险状况不同。所以q
12、是一个随机变量，假设其服从伽玛分布，即：f(q)=e(q),q0 于是索赔次数X的条件分布为：P(X=x|q)=,x=0、1、2、,X的边际分布为:P(X=x)=C()(),x=0,1,2,这是一个以，为参数的负二项分布,赔款总量的分布,对非寿险公司来说，某一特定险种在一定时期内的赔款总量就是它的总损失。如果在这一定时期内，这险种一共发生N次赔款，X i为其中第i次赔款额，那么相应的赔款总量为：N为取非负整数的离散型随机变量；X1、X2、为具有相同分布的随机变量;N、X1、X2 相互独立。,赔款总量S的数学期望、方差以及矩母函数。期望：E(S)=EE(S|N)=ENE(X)=E(N)E(X)方差：Var(S)=VarE(S|N)+EVar(S|N)=VarNE(X)+EN(VarX)=(EX)2(VarN)+(EN)(VarX),复合泊松分布,定义：随机变量S=服从以 0为参数的复合泊松分布是指它满足：（1）随机变量N、X 1、X2、相互独立；（2）X 1、X2、具有相同的分布；（3）N服从泊松分布，参数为 0.,赔款总量的近似模型,
