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1、/*Numerical Integration*/,近似计算,1 Newton-Cotes 公式,在a,b上取 a x0 x1 xn b，做 f 的 n 次插值多项式，即得到,节点,f(x),插值型积分公式/*interpolatory quadrature*/,误差,第8章 数值积分,1 Newton-Cotes Formulae,梯形公式/*trapezoidal rule*/,解：逐次检查公式是否精确成立,代入 P0=1：,=,代入 P1=x：,=,代入 P2=x2：,代数精度=1,代数精度,考察其代数精度。,例如，有积分公式:,求该积分公式的代数精确度。,对于任意一个一次多项式，求积公
2、式都是精确成立的；至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。,解：取f(x)=1，,取f(x)=x，,取f(x)=x2，,=,=,1 Newton-Cotes Formulae,注：形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即：）,当节点等距分布时：,令,Cotes系数,注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到。与 f(x)及区间a,b均无关。,1 Newton-Cotes Formulae,n=1:,Trapezoidal Rule,/*令 x=a+th,h=ba,用中值定理*/,代数精度=1,n=2:,Simpsons Rule,代
3、数精度=3,n=3:Simpsons 3/8-Rule,代数精度=3,n=4:Cotes Rule,代数精度=5,n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。,Ck(n),/*Composite Quadrature*/,高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。,复合梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,=Tn,/*中值定理*/,2 复合求积,2 Composite Quadrature,复化 Simpson 公式：,=Sn,注：为方便编程，可采用另一记法：令 n=2n 为偶数，这时，有,精确解：0.94
4、60831,2 Composite Quadrature,收敛速度与误差估计：,例：计算,解：,其中,=3.138988494,其中,=3.141592502,2 Composite Quadrature,Q:给定精度，如何取 n?,例如：要求，如何判断 n=？,?,上例中若要求，则,即：取 n=409,通常采取将区间不断对分的方法，即取 n=2k,上例中2k 409 k=9 时，T512=3.14159202,S4=3.141592502,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代是否停止。,梯形法的递推化,将积分区间a,bn等分，分点xk=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,nTn 表示用
5、复化梯形法求得的积分值考察小区间xk,xk+1，记该区间的中点为xk+1/2=(xk+xk+1)/2该小区间二分前后的两个积分值分别记为Tkl和Tk2，则：,得：,则:,这一公式是递推形式的，式中h=(b-a)/n表示二分前的步长。,(变步长法),例：用变步长方法计算,解：,积分的准确值为 0.946083070367,/*Romberg Integration*/,例：计算,已知对于=106 须将区间对分 9 次，得到 T512=3.14159202,由 来计算 I 效果是否好些？,考察,=3.141592502,=S4,一般有：,Romberg 序列,Romberg 算法：,?,?,?,3 龙贝格积分,K n Tn010.920735492120.939793285240.944513522380.945690864,积分的准确值为 0.946083070367,
