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1、湖南商学院,1,6.1.2数值积分法 隐式公式的应用,将问题(6-1)微分方程两边由xi到xi+1积分，得,(6-8),按照梯形求积公式(4-5)，右边积分等于,略去最后项，用ym替代y(xm)，得,(6-9),湖南商学院,2,这称为梯形法。注意，梯形法的局部截断误差(略去的项)可写为,故知梯形法是二阶方法。由式(6-9)知，梯形法是单步法，隐式法。例6-2 用梯形法求解例6-1问题。解 按梯形法(6-9)，,这是yi+!的方程；解之得,湖南商学院,3,令i=04得y0=1,y1=0.98250,y2=0.96595,y3=0.95026,y4=0.93537,y5=0.92120。同真解比较
2、，它比前述方法均准确。例6-1中微分方程是线性方程。隐式法(6-6)，(6-9)应用于线性方程时，yi+1容易直接解出。对非线性微分方程，一般很难由隐式方程直接解yi+1。这时为确定yi+1，通常用 迭代法。例如对梯形法(6-9)，简单迭代公式为,(6-10),由于函数f(x,y)满足本章开始所提条件，迭代函数满足条件,（6-11）,湖南商学院,4,可见h充分小时，故按迭代收敛定理 必收敛，当。当然，为确定yi+1，也可利用牛顿迭代法：,(6-12),不过通常还是用简单迭代(6-10)，只是为尽快求得yi+1，一般按欧拉法给定迭代初值,(6-13),此时由于收敛较快，往往只迭代一次，即令,(6
3、-14),湖南商学院,5,按公式(6-13),(6-14)确定yi+1的方法称预测-校正法，称yi+1的预测值，称yi+1的校正值。,这种预测-校正法也可写成公式,(6-15),或者改写为,(6-16),后者常称为改进欧拉法.,湖南商学院,6,方程(6-8)右边的积分，也可用其他积分近似式代替，从而得出常微分方程初值问题的其他数值解法。例如取xi,xi-1,，xi-k为节点作被积函数的插值多项式，由xi到xi+1积分，可得积分近似式，用它代替方程(6-8)右边，可得求解初值(6-1)的阿达姆斯(Adams)显式公式,(6-17),其中fj=f(xj,yj)，其局部截断误差,类似的，取 为节点，可得阿达姆斯隐式公式,(6-18),湖南商学院,7,它的局部截断误差,系数的具体数值见表 6-1和表6-2。,比较表6-1和表6-2可见，对同一k，说明隐式法的局部截断误差比对应显式法的小。改变微分方程(6-1)的积分区间，可得类似于(6-8)的其他积分方程。利用积分近似式代替积分，又可得到求解问题(6-1)的其他数值解法。例如，由xi-1到xi+1积分方程(6-1)两边，得,湖南商学院,8,右边积分利用辛蒲生求积公式(4-6)近似替代，可得辛蒲生公式,(6-19),局部截断误差,
