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1、第一章 无穷小与极限,1.1 无穷小,数列无穷小,1,函数无穷小,无穷小性质与无穷大,1.1.1 数列无穷小,1.数列的定义,数列是指定义在正整数集上的函数,依按自变量增大的次序,数列的对应值可以排成,2,称为数列的通项(或一般项),数列简记为,如,简记为,简记为,简记为,简记为,3,2.数列的几何表示法,数列中可看作数轴上的一个动点.,表示n 无限增大的过程.,3.数列的变化过程包含两个相关的无限过程：,自变量n的主动变化过程:,不断增大(每次加1),可以大于每个固定的正数.,4,即 与0 的距离可以,如果n 可以大于任意给定的正数,那么,就可以小于任意给定的正数.,我们称 无限接近于0.,
2、任意小,因变量的被动变化过程:,数列 的变化趋势可以概述为：,无论给定一个多么小的正数,都可以有,只要 即可.,数列 是无穷小.,此时我们称当n 无限增大时,5,定义1.1(数列无穷小),如果对于任意给定的正数,都存在正整数N,使得当 时，,不等式,成立，,记为,或,则称数列 是无穷小.,设 为数列，,6,几何解释:,只有有限个(至多有N 个)落在其外.,定义:,7,定理1.1(无穷小比较定理1),证,由定义,故 也是无穷小.,8,例1 证明:如果 则 为无穷小.,证,则 也是确定数.,因 是无穷小,所以,即 是无穷小.,9,例2 证明下列数列都是无穷小：,证 因,10,(4),因为 是无穷小,注意到,根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小.,11,解 因,且,因此,不是无穷小.,注:,12,
