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1、,数学发展概述,数学的公众形象是怎样的？,数学-是一些居心叵测的成年人为青年人挖的陷井？数学问题-是那些频频出现在试卷或书本上，让某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西？中学生对数学课的态度:“又爱又恨”-又喜欢又讨厌,或者是有的喜欢,有的讨厌.数学在大多数公众的心目中是一堆数字和公式，抽象、深奥甚至神秘，对数学的应用价值也不甚了解。,学习数学二个原则：实用与审美。数学美：简单、对称、完备、统一、和谐与奇异。数学的特点：抽象性、精确性、应用广泛性。数学思维方式：抽象化、符号化、公理化、最优化和数学模型。数学教育中的弊病：讲演绎不讲发现；讲结果不讲探索；讲细节不讲思想。,数学对象的产生与演化活动
2、观念 数学概念收集 集体 集合数数 下一个 后继、次序、序数比较 计数 一一对应、基数计算 数的结合 加数、乘法规则计时 先后 线性顺序观察 对称 变换群测量 距离、广度 度量空间移动 变化 变化率估计 逼近、附近 连续性、极限挑选 部分 子集论证 证明 逻辑连词选择 机会 概率,数学教学的主要任务：1）发展符号意识；2）实现从直观描述到严格证明的转变，培养逻辑思维能力；4）实现从常量数学到变量数学的转变。学好数学的五个怎样：怎样（发现、证明、理解、应用、推广）定理。,礼堂排椅电影院椅 枖痋爿,数学与人文科学1、宗教：三种信仰的基石：绝对真理、永恒的东西、超感官世界。2、政治：意识起源于物质，
3、物质世界有自然规律，则人类社会也有自然规律，可用数学刻画，几何原本（算术数学：科学体系、公理方法、演绎推理、严密科学）是政治学研究范式。如边沁道德与立法原理引论的如下五条公理创建伦理学理论：（1）人生而平等；（2）知识和信仰来自感觉经验；（3）人人都趋利避害；（4）人人都根据个人利益行动；（5）最大多数人的最大利益是衡量是非的标准。他得出政治学基本公理“政府应当绝大多数人的最大幸福”及洛克的“天赋人权”公理。“三角形的任意两边之和大于第三边”三权分立中权利分配原则。美国独立宣言借助了欧氏几何的模型，如“所有的直角都相等所有的人生来都平等”。（边沁的情书）,3、数学与人口论：马尔萨斯人口论两个公
4、理：“食物是人类生存所必须的”，“性爱也是人类生存所必须的类”引出了达尔文的公理“物竞天择，适者生存”4、统计与社会学：统计学诞生（英国格兰特1662关于死亡公报的自然和政治观察）：死亡率是常数、性别比是1所以一夫一妻制合理。正态曲线证明“天才稀少，美人难得”。回归效应证明了“父智儿庸，父庸儿智”。5、数学与经济学：现代经济学以数学为基础：提高推理的可靠性、抵制先入为主、定量分析和决策（博弈论）。获得经济学诺贝尔奖的一半是数学家，如纳什的博弈论（1994）囚徒困境（纳什均衡”首先对亚当斯密的“看不见的手”的原理提出挑战：按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到
5、利他的效果。但是我们可以从“纳什均衡”中引出“看不见的手”原理的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利己也不利他。）。,数学发展史分为四个阶段：第一个时期：数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，算术与几何还没有分开第二个时期称为初等数学，即常量数学时期，这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容这个时期从公元前5世纪开始直到17世纪这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角第三个时期是变量数学时期第四个时期是现代数学,一、数学文明的发祥,埃及几何的故乡已掌握了加、减
6、、乘、除四种运算会算一些平面图形的面积及一些立体的体积巴比伦代数的源头会开平方、开立方，并有平方、平方根、立方和立方根表知道二次方程的求根公式印度阿拉伯数字的诞生地阿拉伯数字是印度人的发现，他们大约在公元前4世纪就开始使用这种数字，直到公元8世纪才传入阿拉伯国家，后经阿拉伯人传入欧洲用符号“0”表示零是印度人的一大发明,二、现代文明的发祥地希腊,世界上曾经存在21种文明，但只有希腊文化转变成了今天的工业文明，究其原因，乃是数学在希腊文明中提供了工业文明的要素 欧几里得（Euclid,约公元前300年）是古代最杰出的数学家之一，欧几里得的几何原本的出现是数学史上的一个伟大的里程碑 算术数学原型（
7、欧几里得几何原本：科学体系、公理方法、演绎推理、严密科学）,变量数学产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分的创立。对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，在数学中产生了变量和函数的概念，数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段，即向变量数学时期的过渡 1637年笛卡儿的著作几何学，这本书奠定了解析几何的基础，从而变量进入了，运动进入了数学 牛顿和莱布尼茨在17世纪后半叶建立了微积分微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。近代数学与古代数学区别：（1）符号化（1591年韦达解析法入门）（2）解析几何（笛卡尔）（3）
8、有穷数学到无穷数学（牛顿、莱布尼茨的微积分）,三、变量数学时期,数学发展第一时期与第二时期的主要成果，即初等数学中的主要内容已经成为中小学教育的内容第三个时期的基本结果，如解析几何（部分已放入中学）、微积分（部分已放入中学）、微分方程、高等代数、概率论（部分已放入中学）等已成为高等学校理工科教育的主要内容 现代数学时期，大致从19世纪上半叶开始数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础代数、几何、分析中的深刻变化为特征,四、现代数学,1、几何学的质变 欧氏几何到非欧几何，现实空间到抽象空间欧氏几何的第五公设为：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行否定它，得到新的公设：过直线外一点，至少可
9、以作两条直线和已知直线平行。（罗氏几何）过直线外一点，不能作直线和已知直线平行.（黎曼几何）,2、代数的质变：法国数学家伽罗华公元（1811-1832）的建立群论抽象代数。,3、分析的质变：首先，它的基础得到了精确化，并产生了一系列新的分支，如实变函数、复变函数论、泛函分析等,进入20世纪以来，数学的研究对象，数学的应用范围大大扩展，特别是计算机的出现产生了众多新而又新的数学分支,19世纪数学三大成就：非欧几何的建立、群论的产生与数学分析的严格化。数的扩张是贯穿数学历史中一条明显的红线。数学结构：对于集合S，又赋予结构S。即（M,S）。三大结构：序结构（大小）、代数结构（运算）、拓扑结构（亲疏
10、远近）20世纪四大抽象学科：实变函数、泛函分析、抽象代数和拓扑学。抽象引起分析、代数和几何概念上的变革：长度概念测试实变函数论，泛函分析数概念代数结构抽象代数空间概念弯曲性非欧几何 连续性（拓扑学）函数概念对应与映射,无穷与数学危机,数学史上有过三次数学危机，它们都与无穷有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数 第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 x，由(x+x)2-x2，得到 2xx+(x2)，后再被 x 除，得到 2x+x，最后突然令 x
11、=0，求得导数为 2x。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。即“贝克莱悖论”。,第三次数学危机：罗素悖论是：以 表示“是其本身成员的所有集合的集合”（所有异常集合的集合），而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于，或者属于，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合 是否是它本身的成员？（集合 是否是异常集合？）,二、无限与有限的区别和联系 1.区别 1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。2.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立（1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律成立。在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如,（2）有限级数一定有“和”。是个确定的数 无穷级数一定有“和”。则不是个确定的数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。,2.联系 在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。,
