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1、实验六 概率（Probability）,概率，是反映某种事件发生可能性大小的一种数量指标。它介于0和1之间。概率的理论本来就是对随机的实验现象的一种描述。概率论最初是从研究掷骰子等赌博中的简单问题开始的。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家雅各布贝努利，他建立了概率论中的第一个极限定理。,6.1 古典概率定义,定义 假设某一实验满足下面的条件：(1)它的全部可能结果只有有限个，设此数为N;(2)每个结果等可能出现，则一个恰好包含M个结果的事件A的概率定义为 P(A)=M/N甲、乙两位棋手棋艺相当。现在他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇，比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛，
2、结果为甲二胜一负。现因故停止比赛，问如何分配这1000元比赛奖金才算公平？,平均分配对甲欠公平，完全归甲则对乙欠公平。那么合理的分法是按一定的比例分配而甲拿大头。一种看起来合理的分法是按已胜局数份，即甲拿2/3，乙拿1/3。这种分法合理吗？下面，在甲乙已经两胜一负的基础上，我们在计算机上模拟两位棋手以后的比赛，计算他们应得到的奖金。由于两位棋手棋艺相当，可假定他们在每一局的比赛中胜负机会各半。用产生0、1的随机函数RandomInteger来决定。可用1表示甲胜，0表示乙胜。,关于概率古典定义的几个模拟实验1).列举出同时抛掷三颗骰子的所有可能结果，比较掷出点数和为9与和为10，何者更容易。2
3、).利用概率古典定义计算在抛掷一对骰子的实验中，哪种点数和出现的概率最大，那种点数和出现的概率最小？3).计算下列两事件的概率大小：抛四次骰子至少有一次出现一点；抛掷一对骰子24次至少有一次出现两个一点。,The number of sum 2 is 1The number of sum 3 is 2The number of sum 4 is 3The number of sum 5 is 4The number of sum 6 is 5The number of sum 7 is 6The number of sum 8 is 5The number of sum 9 is 4The n
4、umber of sum 10 is 3The number of sum 11 is 2The number of sum 12 is 1,几何概率,在平面上的区域-1，1-1，1中随意的选取一点，问“选取的点落在单位圆内“这个事件A的概率是多少？因为正方形内包含无限多个点，古典概率定义无法使用。于是，我们把“等可能性”概念安本问题的特点引申一下：正方形内相同的面积具有同样的概率。因此可以算出事件A的概率为P(A)=Pi/4这样算出的概率称为“几何概率”，因为它是基于几何图形的面积、体积、长度等算出来的。,计算实验二的蒲丰随机掷针试验中，针与线相交的概率设针的中点与最近直线的距离为和针与直线
5、的夹角为则当针与最近直线相交时有在单位圆内随意的取一条弦，问“弦长超过该圆内接等边三角形的边长”这一事件的概率是多少？因为每一条弦的中点和圆的中心连线都和该弦垂直，由此规则，每个点可以确定一条弦。这样我们只需要随机选取一个点就等于选取了一条弦。,6.2 概率的统计定义,以骰子为例，定义古典概率时，要假定：（1）骰子的质料绝对均匀；（2）骰子是绝对的正方体；（3）掷骰子时离地面有充分的高度。实际中不可能达到上述要求。通过试验得到事件A1的概率：设反复投掷大量骰子的次数为次，若在这次抛掷中一点发生了m1次，则称m1/n为A1这个事件在这次试验中的频率。，概率的统计定义就是将m1/n作为事件A1的概
6、率P(A1)的估计。,背景：当一个事件发生的可能性大（小）时，如果在同样条件下反复重复这个实验时，则该事件发生的频繁程度就大（小）。对于任何一组实验，频率不会恒等于一个数，但是对几乎任何一组实验，当趋于无穷时，频率m1/n趋向同一个数。p是区间0,1内任一实数,在该区间内取随机数，则p的概率应等于p。取n(=100,1000,10000)个这样的,计算P的次数m，看m/n是否接近于p。,(2)利用概率的统计定义，通过计算机模拟本实验练习中的(1)-(3)。(3)利用例2的结果和概率的统计定义，通过计算机模拟估计的值。(4)用计算机进行下面的模拟：(i)在线段0,1中随机地取一点，共取n次。(i
7、i)将该线段n等分，计算个小线段中含有的点数.(iii)计算小线段中恰含k(k取0,1,2,3,4,5)的概率。,6.3二项分布与Poisson分布,对于一个随机变量，它取一个值就对应于某个事件，对于此事件就有一个概率值p(x),它是x的一个函数，我们称它为随机变量的概率分布。考虑如下问题：将一枚硬币投掷5次，恰好等到2次国徽向上的概率是多少？投掷一颗骰子9次，恰好等到4个2点的概率是多少？盒中有2个红球和3个白球，有放回地随机取6次，恰好有2次取到红球的概率是多少？,上面的几个问题都是下面这个问题的特例：设某事件A在一次试验中发生的概率为p。现把这个试验独立的重复n次，以X记A在这n次试验中
8、发生的次数，求X恰好为k的概率。A发生则记为A，不发生则记为，若X正好等于k，必须在这n次试验的纪录 中，有k个A,n-k个，每个A有概率p，而每个 有概率1-p,又这n次试验是独立的，所以每个这样的纪录序列出现的概率是pk(1-p)n-k,这样的序列有 个，所以X恰好为k的概率为,如果随机变量X的概率分布具有以上形式，则称X服从具有参数(n,p)的二项分布(Binomial distribution)，记作(n,p)。计算机模拟本节开始提出的三个问题。其中抛硬币可以用0-1随机数模拟；掷骰子可以用1-6的随机数模拟；摸球可以用1-5的随机数来模拟。对这三个试验用计算机模拟，看是否和理论值接近
9、？下面用二项分布来导出另一重要分布：Poisson分布。,考虑在一定时间内某交通路口所发生的事故个数X，求X恰好为k的概率。为方便起见，设所观察的这段时间为0,1)，取一个很大的自然数n，把时间0,1)分为等长的n段：I1=0,1/n),I2=1/n,2/n),Ij=j-1/n,j/n),In=n-1/n,1)现假定：1.在每段Ij内，恰发生一次事故的概率，近似的与这段时间的长度成正比，即可取为/n。又假定在n很大因而1/n很小时，在Ij这么短的时间内，要发生两次或两次以上事故是不可能的。因此,在Ij时段内不发生事故的概率为1-/n.,2.I1,I2,In各段内是否发生事故是相互独立的。此时，
10、在0,1)时段内发生的事故数X就等于在n个时段I1,I2,In内有事故发生的时段数，按1、2的假设，X应该服从二项分布B(n,/n).于是，严格讲，上式只是一个近似式，因为在假设1中，每个时间段内发生一次事故的概率只是近似等于/n,当n时，就得到确切答案。因为当n时有,所以如果一个随机变量X的概率分布具有上式的形式，我们称X服从具有参数 的Poisson分布，记为XP().利用本节的知识解释本实验练习3(4)的结果.验证P(np)与X:B(n,p)当n很大而p很小时,两者近似,取定p:(i)对很大的n,是否认为X服从P(np);(ii)对很大的n，取k=20，30，40，50，分别作出kP(n
11、p+（i-1）sqrt(n)/k=Xnp+i*sqrt(n)/k)的图形，进行观察。,验证P(np)与X:B(n,p)当n很大而p很小,取定p时,6.4 正态分布,设T是在区间0，1内均匀分布的随机变量。T连续取n个值,记为t1,t2,.,计算X=(t1+t2+.+tn-0.5*n)/sqrt(n)为一次试验，共进行N次,结果记作X1,X2,XN.取一个短的区间长度d，对每一个正实数x，计算落在区间x-d/2,x+d/2内的Xi的个数Nx，以Nx/N作为随机变量X在点x的概率密度f(x)，取足够大的N和n，计算出足够多的f(x)，将(x,f(x)连线,与正态密度函数图象进行比较.,6.5 第一反正弦定律,第一反正弦定律：对于固定的a(0a1),Si处于正边的次数总与试验总次数之比k/n小于a的概率在n时趋于,这个 在 n=20时就很好了,
