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1、,Mathematics Laboratory,阮小娥博士,数学实验,在实际问题中，我们常常会遇到下列问题（1）变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值.例如，从实验中得到一个数据表,或是一组观测数据.（2）变量间的函数关系可以表示,但计算复杂,只能计算特殊点的函数值.例如，求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等.为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值.解决这类问题的方法：数据拟合、数据插值,实验13 人口数量预测模型实验,2、掌握在最小二乘意义下数据拟合的理论和方法.,1、学会用MATLAB软件进行数据拟合,3、通过
2、对实际问题的分析和研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法,实验目的,据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如下：(人口数单位为：百万),（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年的人口数。,实验问题,如何确定a,b?,线性模型,1 曲线拟合问题的提法:,x,y,0,+,+,+,+,+,+,+,+,一、曲线拟合,确定f(x)使得,达到最小,最小二乘准则,.用什么样的曲线拟合已知数据?,常用的曲线函数系类型：,()画图观察()理论分析,拟合函数组中系数的确定,二、人口预测的线性模型,对于开始提出的实验问题,代如数据，计算得,从而得
3、到人口数与年份的函数关系为,把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）12.52亿,1999年实际人口数量为.亿。,线性预测模型,英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口自然增长的指数增长模型。,三、人口预测的Malthus模型,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,x(t)时刻t 的人口,t=0时人口数为x0,指数增长模型,实际中，常用,1.由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。,2.预测后100年（每隔10年）的人口状况。,3.根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人口模型的改进情况。,例,解：,
4、解方程组:,prog41.m%This program is to predict the number of population%format longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;lnx1=lo
5、g(x1);lnx2=log(x2);,a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*D;disp(a=);disp(ab(1);disp(b=);disp(ab(2);for i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i);endfor i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i);endplot(t1,x1,r*-,t1,xx1,b+-,t2,x2,g*-,t2,xx2,m+
6、-);,a=-49.79535457790735b=0.02859807120038,仿真结果表明：人口增加的指数模型在短期内基本上能比较准确地反映人口自然增长的规律，但长期预测误差很大，需要修正预测模型。,拟合曲线,原始数据曲线,四、人口预测的Logistic模型,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),k人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,例的Logistic模型留给同学们练习,五、多项式拟合的Matlab指令,a=polyfit（xdata，ydata，n）其中n表示多项式的最高阶
7、数 xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向量的方式输入。输出参数a为拟合多项式 y=a1xn+anx+an+1的系数a=a1,an,an+1。多项式在x处的值y可用下面程序计算。y=polyval(a,x),用多项式拟合人口模型,%This program is to predict the model of population by 4-degree polynomial%prog42.m%format longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940
8、;1950;1960;1970;1980;t=t1;t2;P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;P=P1;P2;n=4;%The degree of the fitting polynomial%a,s=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);%a is the coefficients vector from n-degree to 0-degree%plot(t,P,r*-,t,y,b+-
9、);,23,a=1.0e+006*-0.00000000000014 0.00000000107892-0.00000304878595 0.00381927346813-1.79012132225427,仿真结果表明,人口增加的模型用多项式拟合能比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预测具有指导意义。,例2:海底光缆线长度预测模型,某一通信公司在一次施工中,需要在水面宽为20m的河沟底沿直线走向铺设一条沟底光缆.在铺设光缆之前需要对沟底的地形做初,探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示.,25,步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算提供依据.基本情况如图所示.,(1)预测通过这条河沟
10、所需光缆长度的近似值.,(2)作出铺设沟底光缆的曲线图.,解：用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下,仿真结果表明,拟合曲线能较准确地反映光缆的走势图.,The length of the label is L=26.3809(m),假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击.,%prog45.m This program is to fit the data by polynomial%format longt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02
11、,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;a,s=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);L=0;for i=2:100 L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);enddisp(The length of the label is L=);disp(L);,format longt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,
12、100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;n=input(n=)%通过键盘输入拟合次数a,s=polyfit(t,P,n);yy=polyval(a,x);p1=polyval(a,t);d=norm(P-p1)%计算拟合误差plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);L=0;for i=2:100 L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);enddisp(
13、The length of the label is L=);disp(L);,六、最小二乘曲线拟合,有一组数据xi，yi（i=1,2,n）满足某一函数原型，其中a为待定系数向量，求出一组待定系数的值使得目标函数最小：,最小二乘曲线拟合函数 lsqcurvefit的调用格式：a,Jm=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)Fun为原型函数的matlab表示，可以是M-函数或inline()函数a0为最优化初值x和y为原始输入输出数据向量a为返回的待定系数向量Jm为在待定系数下目标函数的值,例3 已知数据可能满足求满足数据的最小二乘解a、b、c和d 的值.,输入已知数据点：x=0.1:0
14、.1:1;y=2.3201,2.6470,2.9707,3.2885,3.6008,3.9090,4.2147,4.5191,4.8232,5.1275;,编写函数function y=f3(a,x)y=a(1)*x+a(2)*x.2.*exp(-a(3)*x)+a(4);,待定系数求解a=lsqcurvefit(f3,1;2;2;3,x,y);aans=2.4575 2.4557 1.4437 2.0720,绘制曲线：y1=f3(a,x);plot(x,y,x,y1,o),插值问题：,实验14 插值问题,插值条件,插值函数,插值节点,如果是多项式,则称为插值多项式,求插值函数的方法称为插法,
15、a,b称为插值区间,如何构造P(x)?,1、多项式插值法,当n=0时,只有一个插值节点的情形,当n=1时,有两个插值节点的情形,当n=2时,有三个插值节点的情形,是否任意给定n+1个不同的插值节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式?,由克莱姆法则知方程组有唯一解，即满足(1.1)的插值多项式存在且唯一。,插值多项式的存在唯一定理：在次数不超过n的多项式集合中，满足插值条件的插值多项式是存在并且唯一的。,拉格朗日(Lagrange)插值多项式,表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日形式：,Lagrange插值多项式的优点在于不要求数据点是等间隔的，其缺点是数据点数不宜过大，通常不超过7个，否则
16、计算工作量大且误差大，计算不稳定。,分段线性插值,分段线性插值示意图,分段二次插值示意图,分段二次插值,三次样条插值函数,定义对于区间a,b上给定的一个分划如果函数S(x)在子区间 上都是不超过3次的多项式，并且 2 阶导数 在内节点 处连续，则称 为区间a,b上以 为节点的三次样条函数。对于函数，若 还满足插值条件：则称 为 在区间 上的三次样条插值函数。,是在飞机或轮船等的设计制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具.,2、插值函数的MATLAB实现,（1）interp1函数,interp1函数的调用格式：y=interp1(x0,y0,x,method)其中:1）x0、y0为样
17、本点，y为插值点自变量值x对 应的函数值。（2）method共有6种参数可供选择，当省略method时，即默认为linear线性插值。,线性插值：method=linear三次样条插值:method=spline;立方插值：method=pchip or cubic,例4已知某转子流量计在1001000mL/min流量范围内,刻度值与校正值的关系如表所示.试用线性插值法计算流量计的刻度值为785时,实际流量为多少？,解：Matlab计算程序如下：X=100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000;Y=105.3,207.2,308.1,406.9,507.5,
18、605.8,707.4,806.7,908.0,107.9;Xk=780;Yk=interp1(X,Y,Xk)执行结果：Yk=786.8400,这里：X和Y分别表示样本点的刻度值和校正值；Xk和Yk分别表示插值点的刻度值和校正值。,功能 三次样条数据插值 格式 y=spline(x0,y0,x)与y=interp1(x0,y0,x,spline)等价，其中参数x0、y0、x，y的意义及要求与线性插值interp1中的完全一致。,（2）spline函数,例5对离散分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算：x=0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20
19、;y=exp(x).*sin(x);xx=0:0.25:20;yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,bo,xx,yy,r*),例6 已知某型号飞机的机翼断面下缘轮廓线上的部分数据如表所示:,假设需要得到 x 坐标每改变 0.1 时的 y 坐标,分别用两种插值方法对机翼断面下缘轮廓线上的部分数据加细,并作出插值函数的图形.,程序如下：x=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15y=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6xi=0:0.1:15yi=interp1(x,y,xi,spline)zi=spline(x,y,xi)plot(xi
20、,yi,bO,xi,zi,r*),（3）lagrange插值函数,function y=lagrange(x0,y0,x)ii=1:length(x0);y=zeros(size(x);for i=ii ij=find(ii=i);y1=1;for j=1:length(ij),y1=y1.*(x-x0(ij(j);end y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij);end,3、二维网格数据的插值问题,（1）二维插值函数interp2的调用格式：zi=interp2(x0,y0,z0,xi,yi)zi=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,method),*临近点插值
21、：method=nearest*线性插值：method=linear（缺省算法）*三次样条插值：method=spline*立方插值：method=pchip or cubic,例8 由二元函数获得一些较稀疏的网格数据，对整个函数曲面进行各种插值，并比较插值结果,%绘制已知数据的网格图 x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);surf(x,y,z);axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),%默认线性插值算法进行插值 x1,y1=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);z1=interp
22、2(x,y,z,x1,y1);surf(x1,y1,z1),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)%立方和样条插值 z2=interp2(x,y,z,x1,y1,cubic);z3=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);surf(x1,y1,z2),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)figure;surf(x1,y1,z3),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);subplot(2,2,1);surf(x,y,z)
23、;axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)x1,y1=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);z1=interp2(x,y,z,x1,y1);subplot(2,2,2);surf(x1,y1,z1),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)z2=interp2(x,y,z,x1,y1,cubic);z3=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);subplot(2,2,3);surf(x1,y1,z2),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)subplot(2,2,4);surf(x1,y1,z3),axis(-3,3,-2,2,-0.7,
24、1.5),画在同一幅图上作比较,前两个差值算法误差的比较z=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1);surf(x1,y1,abs(z-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.08)figure;surf(x1,y1,abs(z-z2),axis(-3,3,-2,2,0,0.025),三个差值算法误差的比较z=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1);subplot(3,1,1);surf(x1,y1,abs(z-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.18)subplot(3,1,2);surf(x1,y1,abs(z-
25、z2),axis(-3,3,-2,2,0,0.18)subplot(3,1,3);surf(x1,y1,abs(z-z3),axis(-3,3,-2,2,0,0.18),（2）二维一般分布数据的插值问题,griddata函数的调用格式：z=griddata(x0,y0,z0,x,y,method),method=v4：插值算法，公认效果较好临近点插值：method=nearest线性插值：method=linear（缺省算法）三次样条插值：method=spline立方插值：method=cubic,例9 在x为-3,3，y为-2，2矩形区域随机选择一组数据点，用 v4 与cubic插值法进行
26、处理，并对误差进行比较。%产生数据点 x=-3+6*rand(200,1);y=-2+4*rand(200,1);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);plot(x,y,x)%样本点的二维分布 figure,plot3(x,y,z,x),axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5),grid,%cubic和v4算法 x1,y1=meshgrid(-3:0.2:3,-2:0.2:2);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,cubic);subplot(2,2,1);surf(x1,y1,z1);axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)z2=grid
27、data(x,y,z,x1,y1,v4);subplot(2,2,2);surf(x1,y1,z2);axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5)%误差分析z0=(x1.2-2*x1).*exp(-x1.2-y1.2-x1.*y1);subplot(2,2,3);surf(x1,y1,abs(z0-z1),axis(-3,3,-2,2,0,0.15)subplot(2,2,4);surf(x1,y1,abs(z0-z2);axis(-3,3,-2,2,0,0.15),4、高维插值问题,三维插值interp3函数的调用格式：三维网格 x,y,z=meshgrid(x1,y1,z1)gridd
28、ata3()三维非网格数据插值n维插值interpn函数n维网格 x1,x2,xn=ndgridv1,v2,vngriddatan()n维非网格数据插值interp3()、interpn()调用格式同interp2()一致griddata3()、griddatan()调用格式同griddata()一致,例10 通过函数生成一些网格型样本点，据此进行插值并给出插值误差。x,y,z=meshgrid(-1:0.2:1);x0,y0,z0=meshgrid(-1:0.05:1);V=exp(x.2.*z+y.2.*x+z.2.*y).*cos(x.2.*y.*z+z.2.*y.*x);V0=exp(
29、x0.2.*z0+y0.2.*x0+z0.2.*y0).*cos(x0.2.*y0.*z0+z0.2.*y0.*x0);V1=interp3(x,y,z,V,x0,y0,z0,spline);err=V1-V0;max(err(:)ans=0.0419,实验任务:,1、下表中，X是华氏温度，Y是一分钟内一只蟋蟀的鸣叫次数，试用多项式模型拟合这些数据，画出拟合曲线，分析你的拟合模型是否很好？,2、(1)在下列数据中，W表示一条鱼的重量，l表示它的长度，使用最小二乘准则拟合模型W=kl3,(2)*在下列数据中，g表示一条鱼的身围，使用最小二乘准则拟合模型W=klg2,(3)*两个模型哪个拟合数据较好？为什么？,备注：(2)*、(3)*为选做题目。,3、阅读课本277-283页，上机学习Matlab软件实现数据插值法。完成练习2的第4题4、阅读实验十四，完成练习1（303页）第3 题.,1.实验问题；2.问题分析:包括解决问题的理论依据，建立的数学模型以及求解问题的思路和方法；3.程序设计流程图；4.结果分析和结论；5.总结和体会。,数学实验报告要求,
