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1、 本 科 生 毕 业 论 文 基于MATLAB的不同曲线拟合方式的比较研究 院 系： 电子信息工程学系 专 业： 测控技术与仪器 班 级： 学 号： 指导教师： 职称（或学位）： 2011年 5 月原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学生签名： 年 月 日 指导声明本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小、难度适当，且符合该
2、同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。指导教师签名： 年 月 日目 录1 引言22 软件介绍22.1 MATLAB简介22.2 MATLAB曲线拟合工具箱简介23 曲线拟合43.1 曲线拟合理论43.2 最小二乘法拟合44 基于MATLAB的曲线拟合54.1 曲线拟合数据来源54.2 指数函数曲线拟合64.3 最小二乘法多项式曲线拟合74.4 内插式曲线拟合84.5 平滑样条曲线拟合95 曲线拟合结果的比较116 结论12致谢13参考文献13基于MATLAB的不同曲线拟合方式的比较研究 摘
3、要：随着现代计算机技术的快速发展，计算机软件的应用范围越来越广泛。基于MATLAB软件曲线拟合的方法也越来越广泛地应用到工程分析和科学研究中。采用MATLAB曲线拟合工具箱对数据集进行拟合处理，可以快速地在简单易用的环境中实现许多基本的曲线拟合。文章对曲线拟合进行理论分析和数学描述，引入可视化高性能的工具软件MATLAB对曲线进行最小二乘法拟合、指数函数拟合、内插式曲线拟合和平滑样条式曲线拟合。最后结合具体问题和曲线拟合各个要素从中选择最优拟合方式。关键词：MATLAB; 曲线拟合; 最小二乘法; 曲线拟合工具箱Abstract: With the rapid development of m
4、odern computer technology, the computer software is widely used. Based on the MATLAB software curve fitting method is also more and more widely applied to engineering analysis and scientific research. Using MATLAB toolbox of curf fitting to deal with data sets can quickly in easy-to-use environment
5、to realize many basic curve fitting. In the paper curve fitting is theoretically analyzed and mathematical described, and adopts the MATLAB to the curve for the least square fitting,exponential function fitting, interpolant curve fitting, and smoothing spline curve fitting. Finally, the optimal way
6、is to be selected from every elements of the curve fitting considering the specific problems of various factors.Keywords: MATLAB; curve fitting; least square method; curve fitting toolbox1 引言在应用领域中，经常面对大量的数据，我们总希望能找到一个解析函数用它来描述这些点的变化规律且可以用来预测，这就要用到曲线拟合1。曲线拟合的目的是找到一条光滑的曲线使它能够最佳的拟合数据，但不要求该曲线一定要经过每一点。曲
7、线拟合应用非常广泛，在计算科学领域中占有非常重要地位。人们对某一未知领域的研究，为了探索其内在的规律，建立了相应的数学模型，而模型中往往含有某些待定的参数，要确定这些参数，就要用到数据拟合2。可见曲线拟合方式的全面研究对科学计算具有重大的现实意义。MATLAB作为一种用于数值计算和可视化图形的高级计算软件。它有着开放式可扩充体系结构，又可以灵活修改、补充和扩展 MATLAB能力3。MATLAB提供了两种曲线拟合方法：一种是采用函数形式，使用编程对数据进行拟合，使用这种方法对拟合函数要有较好的了解；还有一种是用图形窗口进行操作，具有简便、快速，可操作性强的优点4。本文研究的内容是利用MATLAB
8、对曲线进行最小二乘法拟合，指数函数拟合，内插式曲线拟合和平滑样条式曲线拟合，相互比较得到最优的拟合方式。2 软件介绍2.1 MATLAB简介 MATLAB的名字是由Matrix和Laboratory两个词的前三个字母组成的5。MATLAB作为一种科学计算软件，它主要用于矩阵的运算及控制和信息处理领域分析及设计。以模块化的计算方法、丰富的矩阵运算、可视化与智能化的人机互换功能、图形绘制和数据处理函数，成为系统设计和仿真领域中最受欢迎的软件系统。MATLAB是“矩阵实验室”（Matrix Laboratoy）的缩写，它是一种以矩阵运算为基础的交换式程序语言，专门针对科学、工程计算机绘图的需求6。M
9、ATLAB的主要特点是简洁和智能化，它适应科技人员的思维方式和书写习惯，使编程和调试效率大大提高。它采用解释方式工作，输入程序马上得出结果，人机交互性能好，因此深得科技人员的喜爱，尤其是它可以适应多种平台，随计算机软硬件的更新及时的升级。MATLAB语言在国外的大学，特别是用数值计算频繁的电子信息类学科中，它已成为每个学生的工具了。据调查在工业部门和设计研究单位，MATLAB已被认为是高效研究和开发的首选工具。学习掌握MATLAB软件，可以说在科学计算软件工具上与国际相接轨。2.2 MATLAB曲线拟合工具箱简介采用MATLAB做曲线拟合可以内建函数或曲线拟合工具箱(Curve Fitting
10、 Toolbox)。这个工具箱集成了用MATLAB建立的图形用户界面GUIS和M文件函数7。GUIS界面是一个可视化的图形界面，具有较强的图形拟合功能：用散点图来表示数据集；用残差和置信区间可视化地估计拟合结果的好坏8；采用多种拟合方式对数据拟合。利用GUIS界面，可以快速地实现许多基本的曲线拟合。访问曲线拟合工具箱之前，输入一份供分析的数据；打开曲线拟合工具箱，请输入cftool。该命令可以打开Curve Fitting Tool窗口(见图1)。然后选择Data按钮，打开Data窗口可以访问工作区中的数据并从下拉表中选择变量X、Y（见图2）。在Data set name位置指定一个数据集名称
11、，否则MATLAB将默认一个数据集名称。这时关闭Data窗口。回到Curve Fitting Tool窗口，选择Fitting按钮，打开的窗口中可以选择拟合方法。这时单击New fit按钮，并从Type of fit的下拉列表中选择一种拟合方式。可以试用多种拟合方式，以找出最佳图形。以直线拟合为例，选择一种插值方式，使曲线进过所有的数据点。曲线拟合结果如图3所示。例：x=0:6; y=0 10 30 55 67 89 120; cftool 图1 Curve Fitting Tool窗口图2 Data窗口图3 直线拟合3 曲线拟合3.1 曲线拟合理论 曲线拟合就是拟合测量数据的曲线。在寻找自变
12、量和因变量关系的过程中，由于观察数据来源于实验，往往不精确，因此不要求函数关系经过所有的观测点，而是只要求在观测点上的误差按某种给定的标准最小9。如果记，研究中就是要寻找使范数最小的函数关系式。这就是我们通常说的曲线逼近或曲线拟合。拟合的标准通常随着范数的不同而不同，范数越大计算就越难，所以经常使用的拟合方式是最小二乘拟合。3.2 最小二乘法拟合在工作中,通常情况是要找出两个量之间的关系。这时需要对两个量的多组对应数据采用经验公式表示，因为经验公式形式较紧凑，便于从理论知识上进一步分析。曲线拟合的最小二乘法可以描述为：根据已知的数据组，选一个近似函数，使得 最小。这种近似函数的方法称为曲线拟合
13、（Curve Fitting）的最小二乘法，函数称为这组数据的最小二乘函数（Method of Least Squares）10。用最小二乘法做曲线拟合首先要确定拟合模型，通常根据各科的知识来大致确定函数的所属类，倘若不具备这些知识，则从问题的运动规律以及给定数据的散点图来确定拟合方式。 4 基于MATLAB的曲线拟合4.1 曲线拟合数据来源霍尔式传感器是由两个环形磁钢组成梯度磁场和位于梯度磁场中的霍尔元件组成11。当通过电流恒定时，霍尔元件则在梯度磁场中上下移动，其输出的霍尔电势V值取决于其在磁场中位移量X值。下面就通过霍尔式传感器的特性试验所获取的数据集，来看一下曲线拟合工具箱在数据处理方
14、面的应用。相关数据如表1。表1 采样点XVXV7.3709.87-0.367.87-0.0710.37-0.408.37-0.1510.87-0.448.87-0.2211.37-0.469.37-0.2911.87-0.48打开MATLAB软件，在主窗口输入，如下：x=7.37:0.5:11.87;v=0 -0.07 -0.15 -0.22 -0.29 -0.36 -0.40 -0.44 -0.46 -0.48; cftool按回车键打开曲线拟合工具箱，选取相应的变量可获得散点图如图4。 图4 变量可获得散点图4.2 指数函数曲线拟合在曲线拟合工具箱界面单机fitting按钮，在Type o
15、f fit选项框中选取拟合方式Exponential(指数)，指数拟合有两种函数和。拟合效果图如图5。图5 指数函数拟合曲线fit1的指数拟合公式，曲线fit2的指数拟合公式，从图形上看，曲线fit1指数拟合曲线不适合本文的数据集，所以我们选取曲线fit2的指数拟合方式。Fit2指数曲线拟合并没有通过每一个数据点遗漏的数据点较多，只是近似的经过数据点。拟合参数结果如下：General model Exp2:f(x) = a*exp(b*x) + c*exp(d*x)Coefficients (with 95% confidence bounds):a =-11.61 (-4075, 4052)
16、b =-0.1021 (-5.312, 5.107)c =15.01 (-4037, 4067)d =-0.1368 (-5.735, 5.462)Goodness of fit:SSE（误差平方和）: 0.0009876R-square（相关指数R）: 0.9962Adjusted R-square（调整自由度以后的相关指数R）: 0.9943RMSE（根的均方误差）: 0.012834.3 最小二乘法多项式曲线拟合 在曲线拟合工具箱界面单机fitting按钮，在Type of fit选项框中选取拟合方式为polynomial（多项式）多项式拟合可以从一阶到九阶，在拟合结果界面中有误差平方和
17、SSE的值，从SSE值的大小比较中选出最优的最小二乘法多项式曲线拟合。本文直接采用MATALB曲线拟合工具想对其进行曲线拟合并截取最小二乘法中二次多项式曲线拟合和四次多项式曲线拟合效果图，拟合效果如图6。图6 最小二乘法曲线拟合从图形上看红色曲线明显遗漏多个数据点，蓝色曲线经过每个数据点，说明最小二乘法四次多项式比二次多项式拟合效果好。下面从参数结果图上对两种拟合方式进一步比较。最小二乘法二次多项式曲线拟合结果如下：Linear model Poly2: f(x) = p1*x2 + p2*x + p3Coefficients (with 95% confidence bounds): p1
18、=0.01682 (0.01306, 0.02058) p2 =-0.434 (-0.5065, -0.3615) p3 =2.297 (1.953, 2.641)Goodness of fit: SSE: 0.0005847 R-square: 0.9978 Adjusted R-square: 0.9971 RMSE: 0.009139最小二乘法四次多项式曲线拟合如下：Linear model Poly4: f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =-0.00
19、1189 (-0.002519, 0.0001416) p2 =0.04865 (-0.002567, 0.09987) p3 =-0.7211 (-1.454, 0.01222) p4 =4.478 (-0.1476, 9.104) p5 =-9.809 (-20.66, 1.04)Goodness of fit: SSE: 8.619e-005 R-square: 0.9997 Adjusted R-square: 0.9994 RMSE: 0.004152最小二乘法二次多项式曲线拟合的SSE（误差平方和）为0.0005847，最小二乘法四次多项式曲线拟合的SSE=8.619e-0005，
20、显然最小二乘法中四次多项式的误差平方和比二次的更接近于0，误差平方和SSE越接近于零曲线拟合效果越好。不管从图形还是参数的比较都可以得出，最小二乘法中四次多项式曲线拟合的效果比二次多项式拟合好。4.4 内插式曲线拟合如果不考虑曲线拟合参数只想得到一条光滑且通过各个数据点的曲线，可以采用内插式曲线拟合，这种拟合方式也成为非参数拟合。内插式法有linear(线性内插)、Nearest neighbor（最近邻内插）、Cubic spline（三次样条内插）和Shape-preserving（分段三次艾米尔内插）。内插式曲线拟合效果如图7。图7 内插式曲线拟合红色曲线是用最近邻内插法Nearest
21、neighbor得到的曲线，蓝色曲线是用三次样条内插拟合法得到的拟合曲线。这两种内插法拟合效果差别较大，具有不同的用途。最邻近内插法的内插点在最相邻两个数据点之间，最后得到一个锯齿的图形。倘若不考虑曲线的物理意义，则可以考虑三次样条内插法拟合。4.5 平滑样条曲线拟合本文用默认的平滑参数、平滑参数为0.5和平滑参数为1分别对数据集进行平滑内插拟合，图中fit6为默认平滑参数的拟合结果，fit7为给定参数0.5时的拟合曲线，fit8为给定平滑参数为1的拟合曲线。平滑样条曲线拟合效果如图8。图8 平滑样条曲线拟合平滑参数为0.5的平滑样条拟合结果如下：Smoothing spline: f(x)
22、= piecewise polynomial computed from pSmoothing parameter: p = 0.5Goodness of fit: SSE: 0.001125 R-square: 0.9957 Adjusted R-square: 0.9944 RMSE: 0.01274默认平滑参数平滑样条拟合结果如下：Smoothing spline: f(x) = piecewise polynomial computed from pSmoothing parameter: p = 0.98630137Goodness of fit: SSE: 4.186e-005 R
23、-square: 0.9998 Adjusted R-square: 0.9996 RMSE: 0.003551平滑参数为1的平滑样条拟合结果如下：Smoothing spline: f(x) = piecewise polynomial computed from pSmoothing parameter: p = 1Goodness of fit: SSE: 0 R-square: 1 Adjusted R-square: NaN RMSE: NaN从图中兼数据结果可以看出Fit6默认平滑值参数的曲线拟合效果最好，fit7给定平滑参数0.5的曲线拟合效果最差，fit8给定平滑参数为1的拟合
24、结果接近于三次样条，且经过每个参数点。5 曲线拟合结果的比较 曲线拟合工具箱的Results罗列了各种拟合参数，包括置信区间大于95%的相关系数和显示拟合效果好坏的参数。测量时用X和V表示实验中得到的数据。根据测量值得到的曲线拟合函数表示成。假设存在n组拟合数据集，根据曲线拟合函数分别代入x值，就可以得到相应的拟合值，从而得到对应的残余误差。(1) 误差平方和SSE(sum of squares due to error)，SSE值越接近于0曲线拟合效果就越好。SSE的数学表达式： (2) 相关指数R-Square，是SSR与SST的比值，其中SSR和SST的定义为：R-Square的取值范围
25、是0，1，R2越接近于“1”，表示所拟合的曲线效果越好12。(3) 调整自由度以后的残差平方Adjusted R-Square，自由度是响应数据个数n减去被拟合的相关系数m。Adjusted R-Square值越接近1，曲线的拟合效果越好13。(4) 根的均方误差RMSE,数学表达式： RMSE的值越接近于0，曲线拟合效果就越好。表2是指数函数拟合、最小二乘法四次多项式拟合、三次样条内插式拟合和默认平滑参数的平滑样条拟合的相关误差参数的结果。表2 拟合误差参数对照表TypeSSER-squareAdjusted R-squareRMSE指数函数拟合0.00098760.99620.99430.
26、01283最小二乘法四次多项式拟合8.619e-0050.99970.99940.004152三次样条内插式拟合01NaNNaN平滑样条拟合4.186e-0050.99980.99960.0035516 结论指数函数拟合同其它三种曲线拟合方式相比可见：误差平方和SSE值最大，相关指数R2 同其它三种拟合方式相比更远离1，还有Adjusted R-square和RMSE指标也比较差，这个结果与曲线拟合图形相吻合。这说明本文的数据集采用基于MATLAB曲线拟合的四种拟合方式中指数函数拟合效果最差。最小二乘法四次多项式拟合同其它三种曲线拟合方式相比可见：最小二乘法四次多项式拟合的各项指标均比指数函数
27、拟合好却不如三次样条内插式拟合和平滑样条拟合，但最小二乘法四次多项式拟合可以写出相对应的曲线拟合方程式，而三次样条内插式拟合和平滑样条拟合两种拟合方式只能较好的拟合出曲线却写不出对应的数学关系式。三次样条内插式曲线拟合和其它三种曲线拟合相比可见：三次样条内插式曲线拟合的精度最高，因为它不考虑拟合参数只要曲线经过每一个数据点，所以内插式曲线拟合能较佳的拟合出曲线。但三次样条内插式曲线拟合与平滑样条曲线拟合一样不能写出曲线对应的数学表达式。平滑曲线拟合同其它三种曲线拟合方式相比可见：平滑样条曲线拟合的误差平方和、相关指数R2 、调整后的残余平方和Adjusted R-square和根的均方误差RM
28、SE四项指标虽然比三次样条内插式曲线拟合略逊一点，但与最小二乘法四次多项式拟合的结果相比好一点，所以精度相对较高，曲线也比较光滑。平滑样条曲线拟合虽然给出了拟合的平滑程度值，却也写不出相应的数学表达式。综合以上各种曲线拟合方式，如果已知数据集的数学方程可以直接选择相应函数的拟合方式；如果不懂得曲线拟合函数模型的可以采用尝试法，一般最小二乘法的多项式就可以很好的拟合出曲线并给出相应的函数关系式和误差参数；如果不考虑曲线拟合参数或物理意义，只要曲线经过每一个数据点可以采用内插式曲线拟合或平滑样条拟合，平滑样条拟合可以选择曲线的平滑参数。用MATLAB曲线拟合工具箱对数据集进行处理，能够快捷的得到比
29、较满意的曲线拟合。MATLAB软件在许多工程分析和科学研究中也越来越重要，MATLAB的广泛应用，必将使它成为未来科技人员的必备工具。致谢：文章已基本完成。在此，首先感谢我的指导老师，感谢她在我毕业设计过程中对我的耐心指导和诚挚的关怀，老师严谨的工作态度和创新精神深深地感染着我；同时感谢学院电子信息工程学系给我提供了一个良好的学习、生活环境；还要感谢在学习、生活上给予我帮助的同学们。谢谢你们的参与，是你们让我的生活更加的精彩。参考文献：1 周国清应用MATLAB 软件处理曲线拟合J重庆职业技术学院学报，2003，2(1)：38-392 郑文曲线拟合D重庆：西南大学，20083 王吉钧，叶臣，叶
30、倩基于MATLAB的离心泵特性曲线的拟合方法J电脑应用技术，2006，4(66)：36-374 唐家德基于MATLAB的非线性曲线拟合J计算机与现代化，2008，6(6)：15-195 王丹力，赵剡，邱志平MATLAB控制系统设计仿真应用M北京：中国电力出版社，20076 陈怀琛，龚杰民线性代数实践及MATLAB入门M北京：电子工业出版社，20097 胡庆婉使用MATLAB曲线拟合工具箱做曲线拟合J电脑知识与技术，2010，6(21)：582-5838 伦冠德MATLAB曲线拟合工具箱在试验数据处理上的应用J拖拉机与农用运输车，2006，3(4)：90-919 冯元珍，屠小明，罗建平MATLAB在曲线拟合中的应用J福建电脑，2007，5(4)：160-16110 刘春凤，何亚丽应用数值分析M北京：冶金工业出版社，200911 传感器及其工作原理EB/OL(2008-03-28)2011-3-512 林振衡，林锋基于MATLAB的MoSi_2发热体电阻率曲线拟合J莆田学院报，2008，15(2)：83-8513 MATLAB所有工具箱详解EB/OL(2010-09-02)2011-3-54f55.html
