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1、数学建模过程,现实对象与数学模型的关系,建立数学模型的方法和步骤,1 方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。,统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。,系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把 定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。,2 建模步骤,1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。,2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单
2、可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。,3）模型建立：,分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。,4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。,6）模型检验
3、：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。,5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。,模型的分类,1）按变量的性质分：,2）按时间变化对模型的影响分,3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。,4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何
4、模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。,5）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。,6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。,初 等 模 型,初等模型是指可以用初等数学的方法来构造和求解的模型。我们来建立以下四个问题的数学模型。,我们来解决以下几个问题：,一 席位分配问题,二 核军备竞赛,三 产品的抽样检验,一 席位分配问题,某
5、校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）,为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分
6、较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,2）相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对A 的相对不公平值,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,对B 的相对不公平值,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位
7、分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 建模,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失一般性，,有下面三种情形。,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,则这一席位给A 单位，否则给B 单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，反之，应分配给 B 单位。,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一
8、方。,这样的分配席位的方法称为Q值方法。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广 有m 方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。从,开始，即每方,至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会
9、，试用惯例分配方法，dHondt方法和Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。,dHondt方法,有k个单位，每单位的人数为 pi，总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,二 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措
10、施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数,x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹
11、数,当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方安全区,P平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值 y0变大,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它因素不变）,乙安全线 y=f(x)上移,模型解释,平衡点PP,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙安全线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值x 0和交换比不变,x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近,模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少,PP,三
12、产品的抽样检验,产品质量是每个企业都十分关心的一个问题，质量监控的一个经常采用的方法是抽样检验。人们设计出了各种各样的给出整批产品可接受准则的抽样方案。,问题：一个陶器公司生产咖啡杯，杯上饰以某著名运动员的头像，人们设计了以下两种抽样方案：,方案A（单抽样方案）随机地从批量中选20个杯子，如果有两个或少于两个不合格，就接受批量，否则拒绝该批量。,方案B(双抽样方案)随机地从批量中选10个杯子，如果没有不合格就接受该批量，如果有两个或多于两个不合格就拒绝该批量。而若有一个不合格，再做检验，随机地选另外10个杯子，当提取第二批抽样时，计算20个组合抽样中不合格杯子的个数，如不合格数不多于1个就接受
13、该批量，否则就拒绝该批量。,讨论这两种方法的优缺点。,分析与建模,两种方法中的有效性可通过首先假设不合格数所占的比例为p来进行分析。然后我们对每种方法求出接受该批量的概率，并对p值的一些取值范围计算其概率。,对方法A而言，若得到一个不合杯子的概率为p,抽样量是20，则不合格数为2、1、0的概率分别为：,把这些概率加起来，就会得到：,因此，接受该批量的概率由下式给出：,对于方法B，第一次抽样接受的概率是,如果发现一个不合格杯子就要做第,二次抽样。10个中有1个不合格杯子的概率为：,若在第二次抽样中只找到0或1个不合格杯子，则接受该批量。这时的概率为：,所以，组合概率由下式给出:,因而对于方法B而言，接受的概率是：,这样给出的接受该批量的概率为：,现在，我们对各种p值来看看怎样用这些公式。,例如来计算一下当p=0.01和0.2时接受 的概率，如下表：,使人感到意外的是，两个方法之间相差很小，所以方法B可能是可用的两种方法中较好的一种，因为它可能需要较少的抽样数。,需要指出的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说，如果对于某个实际问题，我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，他们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。,
