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1、第4章 数学规划模型,4.2 1奶制品生产 2自来水输送练习题 汽车生产与原油采购,y,数学规划模型,实际问题中的优化模型,x决策变量,f(x)目标函数,gi(x)0约束条件,多元函数条件极值,决策变量个数n和约束条件个数m较大,最优解在可行域的边界上取得,数学规划,线性规划非线性规划整数规划,重点在模型的建立和结果的分析,一奶制品加工厂用牛奶生产，两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。假设生产的A1、A2，全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为4
2、80小时，并且设备甲每天至多加工100公斤，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。,奶制品的生产计划,进一步讨论以下3个附加问题：,1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤的获利增加到30元，应否改变生产计划？,企业生产计划,空间层次,工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；,车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。,时间层次,若短时
3、间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。,模型分析 背景分析,50桶牛奶,时间480小时,至多加工100公斤A1,制订生产计划，使每天获利最大,35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?,可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?,A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？,每天：,模型分析 问题分析,模型分析与假设,比例性,可加性,连续性,xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比,xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比,x1对目标函数的“贡献”与x2取值无关,x1对约束条件的“贡献”与x2取值无关,x1 x2取值连续,A1,A
4、2每公斤的获利是与各自产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数,A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数,加工A1,A2的牛奶桶数是实数,线性规划模型,假设加工A1,A2的牛奶桶数分别是x1,x2,x1桶牛奶生产A1,x2桶牛奶生产A2,获利 243x1,获利 164 x2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,每天获利,约束条件,非负约束,线性规划模型(LP),时间480小时,至多加工100公斤A1,模型求解,图解法,约束条件,目标函数,z=c(常数)等值线,在B(20,30)点得到
5、最优解,目标函数和约束条件是线性函数,可行域为直线段围成的凸多边形,目标函数的等值线为直线,最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。,模型求解,软件实现,LINGO,MAX=72*X1+64*X2;X1+X2=50;12*X1+8*X2=480;3*X1=100;END,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.000000 3)0.
6、000000 2.000000 4)40.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=2,DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?,No,20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。,结果解释,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.000000 3)0.000000 2.000000
7、 4)40.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=2,原料无剩余,时间无剩余,加工能力剩余40,三种资源,“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）,MAX=72*X1+64*X2;X1+X2=50;12*X1+8*X2=480;3*X1=100;END,结果解释,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.0
8、00000 3)0.000000 2.000000 4)40.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=2,最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量,原料增加1单位,利润增长48,时间增加1单位,利润增长2,加工能力增长不影响利润,影子价格,35元可再买到1桶牛奶，要买吗？,35 48,应该买！,聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？,2元！,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECR
9、EASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,最优解不变时目标函数系数允许变化范围,DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?,Yes,x1系数范
10、围(64,96),x2系数范围(48,72),A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划,x1系数由24 3=72增加为303=90，在允许范围内,不变！,(约束条件不变),结果解释,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGE
11、S ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,影子价格有意义时约束右端的允许变化范围,原料最多增加10,时间最多增加53,35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？,最多买10桶!,(目标函数不变),自来水输送,生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；,运输问题,各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等
12、限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。,其他费用:450元/千吨,应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？,若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？,例2 自来水输送,收入：900元/千吨,支出,总供水量：160,确定送水方案使利润最大,问题分析,总需求量：120+180=300,总收入900160=144,000(元),收入：900元/千吨,其他费用:450元/千吨,支出,引水管理费,其他支出450160=72,000(元),供应限制,约束条件,需求限制,线性规划模型(LP),目标函数,水库i 向j 区的日供水量为 xij（x34=0）,决策变量,模型建立,确定3个水库向4个
13、小区的供水量,模型求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)24400.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 30.000000 X12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 50.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 0.000000 10.000000 X22 50.000000 0.000000 X23 0.000000 20.000000 X24 10.000000 0.000000 X31 40.000000 0.000000 X32 0.000000 10.0
14、00000 X33 10.000000 0.000000,利润=总收入-其它费用-引水管理费=144000-72000-24400=47600（元）,引水管理费 24400(元),目标函数,总供水量(320)总需求量(300),每个水库最大供水量都提高一倍,利润=收入(900)其它费用(450)引水管理费,供应限制,B,C 类似处理,问题讨论,确定送水方案使利润最大,需求约束可以不变,求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0
15、.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000,这类问题一般称为“运输问题”(Transportation Problem),总利润 88700（元）,如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作何
16、改变？,练习1 汽车厂生产计划,汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。,制订月生产计划，使工厂的利润最大。,练习：汽车生产计划和原油采购与加工,应如何安排原油的采购和加工？,练习2 原油采购与加工,市场上可买到不超过1500吨的原油A：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。,设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3,汽车厂生产计划,模型建立,线性规划模型(LP),模型求解,3）模型中增
17、加条件：x1,x2,x3 均为整数，重新求解。,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 0.731183 3)0.000000 0.003226,结果为小数，怎么办？,1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。,2）试探：如取x1
18、=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。,但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？,IP可用LINDO直接求解,整数规划(Integer Programming,简记IP),“gin 3”表示“前3个变量为整数”，等价于：gin x1gin x2gin x3,IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632,max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)632.0000VARIABLE
19、VALUE REDUCED COST X1 64.000000-2.000000 X2 168.000000-3.000000 X3 0.000000-4.000000,模型求解,IP 结果输出,其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：,方法1：分解为8个LP子模型,汽车厂生产计划,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。,x1,x2,x3=0 或 80,x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610,LINDO中对0-1变量的限定：int y1int y2int y3,方法2：引入0-1变量，化为整数规划,M为大的正数，可取1000,OBJE
20、CTIVE FUNCTION VALUE 1)610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000-2.000000 X2 150.000000-3.000000 X3 0.000000-4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。,x1=0 或 80,最优解同前,NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。,方法3：化为非线性规划,非线性规划（Non-Li
21、near Programming，简记NLP）,实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。,x1=0 或 80,应如何安排原油的采购和加工？,例2 原油采购与加工,市场上可买到不超过1500吨的原油A：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。,决策变量,目标函数,问题分析,利润：销售汽油的收入-购买原油A的支出 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂,原油A的购买量,原油A
22、,B生产汽油甲,乙的数量,c(x)购买原油A的支出,利润(千元),c(x)如何表述？,原油供应,约束条件,x 500吨单价为10千元/吨；500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨 x 1500吨，超过1000吨的6千元/吨。,目标函数,目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解。,汽油含原油A的比例限制,约束条件,x1,x2,x3 以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数,目标函数,只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2,
23、方法1,非线性规划模型，可以用LINGO求解,模型求解,x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3,500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨,x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3,方法1：LINGO求解,Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12 0;2*x12-3*x22 0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end,Objec
24、tive value:4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 500.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00,LINGO得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？,用库存的5
25、00吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。,y1,y2,y3=1 以价格10,8,6(千元/吨)采购A,增加约束,方法2,0-1线性规划模型，可用LINDO求解,y1,y2,y3=0或1,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000,购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元。,x1,x2,x3 以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数,优于方法1的结果,
