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1、最大流问题,给定一个有向图G(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs，仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。,基本概念,3,5,1,1,4,2,3,5,2,vs,v2,v1,v3,v4,vt,对于G中的每一个弧(vi,vj)，相应地给一个数cij（cij0），称为弧(vi,vj)的容量。我们把这样的D称为网络（或容量网络），记为G(V,E,C)。,所谓网络上的流，是指定义在弧集E上的函数ff(vi,vj)，并称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量，简记为fij。,3,1,5,2,1,0,1,0,4,1,2,2,3,1,5,2,2,1,vs,v
2、2,v1,v3,v4,vt,标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二是流量,可行流、可行流的流量、最大流。,可行流是指满足如下条件的流：,（1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj),有,（2）平衡条件：,对中间点，有：,（即中间点vi的物资输入量等于输出量）,对收点vt与发点vs，有：,（即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量），W是网络的总流量。,可行流总是存在的，例如f=0就是一个流量为0的可行流。所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。一个流f=fij，当fij=cij，则称f对边(vi,vj)是饱和的，否则称f对边(vi,vj)不饱和。最大流问题实际上是一
3、个线性规划问题。但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求解。,给定容量网络G(V,A,E)，若点集V被剖分为两个非空集合V1和V2，使 vsV1，vtV2，则把弧集(V1,V2)称为（分离vs和vt的）割集。,显然，若把某一割集的弧从网络中去掉，则从vs到vt便不存在路。所以，直观上说，割集是从vs到vt的必经之路。,3,5,1,1,4,2,3,5,2,vs,v2,v1,v3,v4,vt,注：有向边也称为弧。,对教材P259定义21的解释,vs,v1,v4,v3,vt,v2,边集（vs,v1），（v1,v3），（v2,v3），（v3,vt），（v4,vt）是G的割集。其顶点分别属于两个互
4、补不相交的点集。去掉这五条边，则图不连通，去掉这五条边中的任意1-4条，图仍然连通。,割集的容量(简称割量)最小割集,割集(V1,V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量的和称为割集容量。例如下图中所示割集的容量为5,3,5,1,1,4,2,3,5,2,vs,v2,v1,v3,v4,vt,在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为最小割集（最小割）。,对于可行流ffij，我们把网络中使fijcij的弧称为饱和弧，使fij0的弧称为非零流弧。,设f是一个可行流，是从vs到vt的一条链，若满足前向弧都是非饱和弧,后向弧都是都是非零流弧,则称是（可行流f的）一条增广链。,3,1,5,2,1,
5、0,1,0,4,1,2,2,3,1,5,2,2,1,vs,v2,v1,v3,v4,vt,若是联结发点vs和收点vt的一条链，我们规定链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分成两类：前向弧、后向弧。,对最大流问题有下列定理：定理1 容量网络中任一可行流的流量不超过其任一割集的容量。定理2（最大流-最小割定理）任一容量网络中，最大流的流量等于最小割集的割量。推论1 可行流f*fij*是最大流，当且仅当G中不存在关于f*的增广链。,求最大流的标号法,标号法思想是：先找一个可行流。对于一个可行流，经过标号过程得到从发点vs到收点vt的增广链；经过调整过程沿增广链增加可行流的流量，得新的可行流。重复这一过
6、程，直到可行流无增广链，得到最大流。,标号过程:(1)给vs标号(-,+)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。(2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和弧(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj)，其中l(vj)minl(vi),cij fij，vj成为已标号未检查的点；若有非零弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj)，其中l(vj)minl(vi),fji，vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点。(3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点，表明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查
7、过，表明这时的可行流就是最大流，算法结束。调整过程：在增广链上，前向弧流量增加l(vt)，后向弧流量减少l(vt)。,下面用实例说明具体的操作方法：例,(3,3),(5,1),(1,1),(1,1),(4,3),(2,2),(3,0),(5,3),(2,1),vs,v2,v1,v3,v4,vt,(3,3),(5,1),(1,1),(1,1),(4,3),(2,2),(3,0),(5,3),(2,1),vs,v2,v1,v3,v4,vt,在图中给出的可行流的基础上，求vs到vt的最大流。,(-,+),(vs,4),(-v1,1),(-v2,1),(v2,1),(v3,1),(3,3),(5,2)
8、,(1,0),(1,0),(4,3),(2,2),(3,0),(5,3),(2,2),vs,v2,v1,v3,v4,vt,(vs,3),(-,+),得增广链，标号结束，进入调整过程,无增广链，标号结束，得最大流。同时得最小截。,下图中已经标示出了一个可行流，求最大流,-,vs,3,vs,4,v2,4,-v4,2,v4,3,如图已经得到增广链，然后进行调整。,调整后的可行流如下图：,-,vs,3,vs,1,v2,1,-v4,1,v3,1,v5,1,如图已经得到增广链，然后进行调整。,调整后的可行流如下图：,-,vs,3,如图所示最小割集的容量（即当前可行流的流量），就是最大流的流量。注：用该方法
9、可以同时得到最小割集，即图中连结已标号的点与未标号的点的边集。,具有实际背景的例子,国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一家旅行社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行情看好，要求参加的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱辗转取道它地也愿参加此游。旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此问题。很快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此资料，总社要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如何取道转机。下面是各办事处已订购机票的详细情况表：,用图来描述就是,发点vs=成都，收点vt=北京。前面已订购机票情况表中的数字即是各边上的容量（允许通过的最大旅客量），当
10、各边上的实际客流量为零时略去不写，以零流作为初始可行流。,利用标号法（经5次迭代）可以得到从成都发送旅客到北京的最大流量如图所示,重,武,昆,上,广,西,郑,沈,京,成,30,10,0,6,12,2,8,0,12,5,10,6,10,10,6,0,0,0,10,8,0,18,10,10,0,W(f*)=10+6+12+30+12+10+5=85,多个发点多个收点的情形,对于多发点多收点的容量网络的最大流问题可以通过添加两个新点vs与vt扩充为新的单发点与单收点的容量网络的方式解决。,x1x2.xm,y1y2.yn,vs,vt,+,+,其中vs到各已知点，以及各已知点到vt的弧的容量取为+。,最
11、大匹配问题,考虑工作分配问题。有n个工人，m件工作，每个工人能力不同，各能胜任其中某几项工作。假设每件工作只需一人做，每人只做一件工作。怎样分配才能使尽量多的工作有人做，更多的人有工作做？,该问题用图论的语言可以描述为：在图中，x1,x2,xn表示工人，y1,y2,ym表示工作，有向边(xi,yj)表示工人xi胜任工作yj，因此得到一个二部图。,如果记X=x1,x2,xn，Y=y1,y2,ym，则该二部图可记为G=(X,Y,E)，而上述的工作匹配问题就是：在图G中找一个边集E的子集，使得这个子集中任意两条边没有公共端点，最好的方案就是要使得该子集中的边数达到最大。,定义：对于二部图G=(X,Y
12、,E)，M是边集E的一个子集，如果M中的任意两条边没有公共端点，则称M是图G的一个匹配（也称对集）。,M中任意一条边的端点v称为（关于M的）饱和点，G中的其他顶点称为非饱和点。,若不存在另一匹配M1使得|M1|M|，则称M为最大匹配。,下面的二部图表示了一个匹配问题,它有如下两个最大匹配：,最大匹配问题可以化为最大流问题求解。化的方式类似于多发点多收点问题，具体做法是：,在原二部图中添加两个点vs和vt，其中vs有以它为起点，以X中各点为终点的有向边；连结vt有以它为终点，Y中各点为起点的有向边。并且在这样的图中各边上的容量取为1。若一条边上的流量为1，则表示一个相应的分配。如下图,这样最大匹
13、配问题就化为对上图的网络的最大流问题。,例,有5位求职者和5项工作岗位，这5位求职者各自能胜任的工作如图所示，问如何安排才能实现最大就业?,首先将原图扩充成一个容量网络，其中每边的容量均为1。然后用标号法来求最大流。,-,+,vs,1,vs,1,vs,1,vs,1,vs,1,x1,1,x1,1,x1,1,y1,1,1,1,1,-,+,vs,1,vs,1,vs,1,x2,1,x2,1,y4,1,vs,1,1,1,1,1,1,1,-,+,vs,1,vs,1,vs,1,x3,1,x3,1,y5,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,-,+,vs,1,vs,1,x5,1,x4,1,-y4,1,x2,1,-y1,1,x1,1,x1,1,y2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,最大匹配为(省略了最后一步的标号过程):,
