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1、研究生有限元法授课大纲,2 杆系结构有限元,4 空间与轴对称问题,5 板弯曲有限元分析,6 壳弯曲有限元分析,3 平面问题有限元分析,理论-公式-程序-实际应用,1 绪论、弹性力学基本方程、虚位移原理、最小势能原理,7 广义变分原理,有限元法考核方式,2 一个有限元程序（MATLAB语言编写）,时间：第19周前全部完成,3 口试,1 有限元学习报告（打字）,第20周 考试结束,第1章 有限元法绪论,第1节 概述 Clough-The finite element method,起源:50年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner,Clough 60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域
2、,实质:对力学模型进行近似数值计算的方法,将无限自由度问题变成有限自由度问题,分析过程:结构离散化,确定位移模式,单元特性分析 整体分析,解方程,输出计算结果,其他处理,杆系结构,学习方法:与矩阵位移法对比相同与不同之处 了解基本原理,各种方法的共性与实质 通过自编程序进一步熟悉原理,连续体,应用状况:标准通用软件SAP2000,ANSYS,各种专用程序,第2节 弹性力学基本方程,一、平衡方程,二、几何方程,三、本构关系,四、协调方程,五、边界条件(应力,位移),位移,应力,续第2节 弹性力学基本方程矩阵表示,位移列阵,体积力列阵,应力列阵,应变列阵,表面外法线方向余弦矩阵,微分算子列阵,表面
3、力列阵,已知位移列阵,第3节 虚位移原理,弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条件的虚位移，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。,总虚变形功：,对于平面问题：,虚位移原理,总外力虚功：,第4节 最小势能原理,在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。,总 势 能：,即：形变势能的变分表达式与虚变形功的表达式完全相同。,最小势能原理,形变势能：,外力势能：,形变势能变分:,外力势能变分:,即：外力势能的变分表达式与外力虚功负值的表达式完全相同。,第2章 杆系结构有限元,第1节 等直杆单元分析,位移
4、列 阵,由结点位移得,设位移模式,其中:,待定参数为:,结点位移表示的位移模式为:,形函数矩阵为:,1、用结点位移表示单元的位移模式,2、用结点位移表示应变和应力,第1节 等直杆单元分析续1,3、用虚位移原理导出梁单元的刚度矩阵,第1节 等直杆单元分析续2,1、分布轴力p(x)的移置,第2节 等效结点力计算,等效结点力原分布荷载按照虚功相等的原则移置到单元结点上的力,2、分布扭转力矩m(x)的移置,3、分布横向力q(x)的移置,第3节 单元刚度矩阵的坐标变换,坐标转换矩阵,第3章 平面问题有限元分析,第2节 矩形双线性单元,第3节 收敛准则 多项式位移模式阶次的选择,第1节 三角形常应变单元,
5、第4节 六结点三角形单元,第5节 四结点四边形等参单元,第6节 八结点四边形等参单元,第3章 平面问题有限元分析,第1节 三角形常应变单元,一、离散化,将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。,每个部分称为一个单元，连接点称为结点。,三角形网格划分,结点力,单元结点力,结点位移,单元结点位移,二、位移模式与形函数,第1节 三角形常应变单元(续1),代数余子式,I 二阶单位阵,N 形函数矩阵,第1节 三角形常应变单元(续2),三、应变,四、应力,应变矩阵为常量，单元内应变是常数,应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。,第1
6、节 三角形常应变单元(续3),五、单元刚度矩阵,第1节 三角形常应变单元(续4),六、等效结点力、载荷列阵,第1节 三角形常应变单元(续5),七、形函数的性质,第1节 三角形常应变单元(续6),八、面积坐标,第2节 矩形双线性单元,矩形单元,矩形单元结点位移、结点力列阵,一、位移模式与形函数,正方形规则单元,正方形单元与矩形单元的关系,形函数的性质：本点处值为1，它点处值为0,第2节 矩形双线性单元(续1),二、应变,三、应力,平面应力问题,第2节 矩形双线性单元(续2),四、单元刚度矩阵,第3节 收敛准则 多项式位移模式阶次的选择,一、收敛准则,1、位移模式必须包含单元的刚体位移,满足条件1
7、、2的单元为完备单元,二、多项式位移模式阶次的选择按照帕斯卡三角形选,2、位移模式必须能包含单元的常应变,3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调,满足条件3的单元为协调单元,几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关,帕斯卡三角形,多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。,第4节 六结点三角形单元,一、位移模式与形函数,取三角形顶点和边中点作结点，位移模式为：,用面积坐标表示的形函数为：,二、应变,第4节 十结点三角形三次单元,确定位移模式和形函数,取三角形各边三分点和面积坐标相等的内点作为结点十结点三角形单元。,第5节 四结点四边形等参单元,一
8、、母单元的形函数,母单元,三、位移模式,四边形单元,二、坐标变换,由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，故称等参数单元（等参元）,四、导数的坐标变换,其中：,第5节 四结点四边形等参单元（续1）,五、面积微元的坐标变换,第6节 八结点四边形等参单元,一、母单元的形函数,母单元,三、位移模式,八结点四边形单元,二、坐标变换,第4章 空间与轴对称问题有限元分析,第2节 四面体等参数单元,第3节 八结点六面体等参数单元,第1节 四面体常应变单元,第4节 二十结点六面体等参数单元,第5节 轴对称三角形单元,第6节 轴对称等参数单元,第4章 空间与轴对称问题有限元分析,第1节 四面体常应变单元
9、,一、位移模式与形函数,代数余子式,四面体单元,第1节 四面体常应变单元(续1),I 三阶单位阵,N 形函数矩阵,二、应变矩阵,三、应力矩阵,四、单元刚度矩阵,五、单元等效结点荷载,第2节 四面体等参数单元,二、坐标的等参变换,四面体单元,一、体积坐标,三、四面体十结点单元,第3节 八结点六面体等参数单元,一、形函数,三、位移模式,二、坐标变换,第4节 二十结点六面体等参数单元,一、形函数,三、位移模式,二、坐标变换,第4节 二十结点六面体等参数单元(续1),I 三阶单位阵,N 形函数矩阵,五、应变矩阵,六、应力矩阵,四、导数的坐标变换,七、单元刚度矩阵,第4节 二十结点六面体等参数单元(续2
10、),八、单元等效结点荷载,第5节 轴对称三角形单元,二、应变,一、位移模式,三角形环形单元内的应变不是常数！,代数余子式,第5节 轴对称三角形单元(续1),四、单元刚度矩阵,三、应力,第5节 轴对称三角形单元(续2),五、等效结点力,第6节 轴对称等参数单元,三、导数坐标变换,一、形函数与位移模式,母单元,二、坐标变换,第6节 轴对称等参数单元(续1),六、单元刚度矩阵,五、应力,四、应变,七、等效结点力,第6节 轴对称等参数单元(续2),第5章 板的弯曲有限元分析,第2节 矩形12自由度单元,第3节 三角形单元,第1节 薄板弯曲理论基础,第4节 其他,第5章 板的弯曲有限元分析,第1节 薄板
11、弯曲理论基础,一、薄板基本假设,二、基本方程,第1节 薄板弯曲理论基础(续1),第2节 矩形12自由度单元,矩形单元,矩形单元结点位移、结点力列阵,一、位移模式与形函数,第6章 壳的弯曲有限元分析,第2节 矩形12自由度单元,第3节 单元,第1节 薄板弯曲理论基础,第4节 单元,第5节 单元,第6节 单元,第4章 空间与轴对称问题有限元分析,第1节 四面体常应变单元,一、位移模式与形函数,代数余子式,四面体单元,第1节 四面体常应变单元(续1),I 三阶单位阵,N 形函数矩阵,二、应变矩阵,三、应力矩阵,四、单元刚度矩阵,五、单元等效结点荷载,第2节 四面体等参数单元,二、坐标的等参变换,四面
12、体单元,一、体积坐标,三、四面体十结点单元,第3节 八结点六面体等参数单元,一、形函数,三、位移模式,二、坐标变换,第4节 二十结点六面体等参数单元,一、形函数,三、位移模式,二、坐标变换,第4节 二十结点六面体等参数单元(续1),I 三阶单位阵,N 形函数矩阵,五、应变矩阵,六、应力矩阵,四、导数的坐标变换,七、单元刚度矩阵,第4节 二十结点六面体等参数单元(续2),八、单元等效结点荷载,第5节 轴对称三角形单元,二、应变,一、位移模式,四、应力,三角形环形单元内的应变不是常数！,第5节 轴对称三角形单元(续1),五、单元刚度矩阵,第7章 广义变分原理,第2节 泛函及其变换格式,第3节 含可
13、选参数的广义变分原理,第1节 虚力原理与最小余能原理,第4节,第5节,第6节,第7章 广义变分原理,第1节 虚力原理与最小余能原理,广义变分原理：研究如何将有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理。,一、虚力原理,给定位移状态协调的充分必要条件是，对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立：,二、最小余能原理,变形体的总余能：,在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充分必要条件是，变形体的总余能取驻值最小余能原理。,虚位移原理等价于平衡条件；虚力原理等价于变形协调条件。,第1节 虚力原理证明（续1）,一、必要性证明,已知位移状态协调、虚应力是任意平衡的，虚力原理成立。,二、充分
14、性证明,已知对一切自平衡的虚应力虚功方程恒成立。与应力对应的位移协调,第1节 虚力原理证明（续2）,根据格林公式，可得,第1节 虚力原理证明（续3）,第2节 泛函及其变换格式,一、概述,1、变量的分类泛函变量、增广变量,泛函中所显含的自变函数，称为泛函的泛函变量,2、泛函所满足条件的分类强制条件、自然条件、增广条件,泛函中除泛函变量之外，对所讨论问题应包含的函数，称为泛函的增广变量,3、两泛函间关系的分类广义等价、等价、互等,泛函中泛函变量必须事先满足的条件，称为强制条件,由泛函的变分等于零所导出的条件（欧拉方程），称为自然条件,泛函中泛函变量与增广变量或两增广变量间应满足的条件，称为增广条件
15、,两泛函所包含的变量相同，所满足的全部条件相同，则此两个泛函广义等价,若两广义等价的泛函其所包含的变量对应且相同，所满足条件也对应相同，则此两泛函等价,若两等价泛函间只相差一个比例系数，则此两个泛函为互等,4、泛函的变换格式放松格式、增广格式、等价格式,有一个泛函变成另一个泛函有3种常用的格式：放松格式、增广格式、等价格式。,第2节 泛函及其变换格式（续1）,二、放松格式拉氏乘子法,余能原理的数学表示：,强制条件为：,利用拉氏乘子将强制条件吸收到泛函中的泛函变换，即为放松格式。,第2节 泛函及其变换格式（续2）,三、增广格式高阶拉氏乘子法,二类变量的广义余能原理（Hellinger-Ressner原理）：,将增广条件构造二次型引入少变量无条件泛函，从而获得多变量无条件泛函的泛函变换，即为增广格式。,第2节 泛函及其变换格式（续3）,三、等价格式,利用自然条件构造二次型。将无条件泛函变为含可选参数的无条件泛函，即为等价格式变换。,第3节 含可选参数的广义变分原理,由自然条件构造14个二次型,利用等价格式建立新泛函：,第3节 含可选参数的广义变分原理（续1）,
