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1、,材 料 力 学复 习,第二章 轴向拉伸与压缩,轴向拉伸（压缩）强度条件：,轴向拉伸（压缩）时的变形：,（胡克定律）,剪切强度条件：,挤压强度条件：,F,l,l,a,a,a,1,2,A,B,C,D,SMB=0 FN1 a F a+FN2 2a=0（a）,解：1)计算各杆轴力(受力图如图1示),2)变形几何关系(位移图如图示),Dl2=2Dl1(b),3)物理关系,代入(b),SFy=0 FB+FN2 F a-FN1=0,例1.图示结构中，水平梁为刚性梁，杆1和杆2的抗拉刚度相同，F=100kN,A=200mm2,许用应力=160 MPa，试求1)在力作用下杆1和杆2的轴力;2)校核杆的强度。,
2、例1.图示结构中，水平梁为刚性梁，杆1和杆2的抗拉刚度相同，F=100kN,A=400mm2,许用应力=160 MPa，试求1)在力作用下杆1和杆2的轴力;2)校核杆的强度。,F,l,l,a,a,a,1,2,A,B,C,D,SMB=0 FN1 a F a+FN2 2a=0（a）,解：1)计算各杆轴力(受力图如图1示),联立(a)(c)解之,Dl2=2Dl1(b),2)杆的强度校核,杆1：,杆2：,由上知：杆1和杆2均满足强度要求,例2 设横梁为刚性梁，杆 1、2 长度相同为 l，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。试求：杆 1、2的轴力。,解：1)计算各杆轴
3、力,SMA=0 FN1a+FN2 2a F 2a=0,FN1+2FN2 2F=0(a),2)变形几何关系,Dl2=2Dl1(b),3)物理关系,代入(b),例2 设横梁为刚性梁，杆 1、2 长度相同为 l，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。试求：杆 1、2的轴力。,解：1)计算各杆轴力,SMA=0 FN1a+FN2 2a F 2a=0,FN1+2FN2 2F=0(a),代入(b),联立(a)(c)解之,例3.已知结构如图示，梁AB为刚性，钢杆CD直径 d=20 mm，许用应力=160 MPa，F=25 kN。求：(1)校核CD杆的强度；(2)确定结构的许可
4、载荷 F；(3)若F=50 kN，设计CD杆的直径。,解：(1)校核CD杆的强度,CD杆轴力FNCD：,SMA=0 FNCD2a F 3a=0,FNCD=1.5F,CD杆应力 CD：,CD CD杆强度足够。,(2)确定结构的许可载荷 F,F=33.5 kN,(3)若F=50 kN，设计CD杆的直径。,圆整，取直径 d=25 mm。,例4.已知支架如图示，F=10 kN，A1=A2=100 mm2。两杆许用应力=160 MPa，试校核两杆强度。,截面法：取销B和杆1、2的一部分分析,解：1)计算两杆轴力,2)校核两杆强度,受力：F、轴力FN1、FN2,SFx=0 FN2 FN1 cos 45=0
5、,FN1=1.414 F=14.14 kN,SFy=0 FN1 sin45 F=0,FN2=F=10 kN(图中方向相反),AB杆：,BC杆：,综上：两杆均满足强度要求,例5.图示结构，BC杆 BC=160 MPa，AC杆 AC=100 MPa，两杆横截面面积均为 A=2 cm2。求：结构的许可载荷 F。,解：(1)各杆轴力,FNAC=0.518F FNBC=0.732F,F 3.86 104 N=38.6 kN,SFx=0 FNBC sin30 FNAC sin 45=0,SFy=0 FNBC cos30 FNAC cos 45 F=0,(2)由AC杆强度条件：,0.518F A AC=21
6、04 100 106,F 4.37104 N=43.7 kN,(3)由BC杆强度条件：,0.732F A BC=2104 160 106,(4)需两杆同时满足强度条件：应取较小值，F=38.6 kN,例6 杆 1、2、3 用铰链连接如图，各杆长为：l1=l2=l、l3，各杆 面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。F、a 已知。求各杆的轴力。,解：1)计算各杆轴力,SFx=0 FN1sina+FN2sina=0,SFy=0 2FN1cosa+FN3 F=0(a),FN1=FN2,A1,2)变形几何关系,Dl1=Dl3 cosa(b),3)物理关系,(b),代入(b),
7、联立(a)(c)解之,第三章 扭 转,例题：3-1，3-2，3-4 习题：3-8,3-11,3-14,外力偶矩Me的计算公式：,圆轴扭转的强度条件：,P:kWn:r/min,圆轴扭转的刚度条件：,极惯性矩Ip 和抗扭截面系数Wt,实心圆截面：,空心圆截面：,2.59、一螺栓将拉杆与厚为8的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力均为=80MPa，=60MPa，bs=160MPa。若拉杆的厚度d=16mm，拉力F=120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。（14分）,解：1)按拉伸强度要求设计拉杆的宽度,拉杆的轴力FN=F,其强度条件为,解上式得,2.59、一螺栓将拉杆与厚为8的两块盖板相连接。
8、各零件材料相同，许用应力均为=80MPa，=60MPa，bs=160MPa。若拉杆的厚度d=16mm，拉力F=120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。（14分）,2)按剪切强度要求设计螺栓的直径,螺栓所承受的剪力Fs=F/2,应满足剪切强度条件,解上式得,2.59、一螺栓将拉杆与厚为8的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力均为=80MPa，=60MPa，bs=160MPa。若拉杆的厚度d=16mm，拉力F=120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。（14分）,3)按挤压强度要求设计螺栓的直径,挤压强度条件为,解上式得,1)按拉伸强度要求设计拉杆的宽度,b=93.75mm,2)按剪切强度要
9、求设计螺栓的直径,d=35.7mm,比较以上三种结果，取,d=47mm,b=94mm,例1.实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起.已知：P7.5kW,n=100r/min,许用切应力40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。,解：轴所传递的扭矩,扭转,实心圆轴的强度条件,实心圆轴的直径:,扭转,空心圆轴的强度条件,空心圆轴的外径:,例2 已知一传动轴为钢制实心轴，许用切应力=30 MPa，=0.3/m，G=80 GPa，n=300 r/min，主动轮输入 PA=500 kW，从动轮输出 PB=150 kW，PC=150 kW，PD=200 kW。试按
10、强度条件和刚度条件设计轴的直径 D。,解：1.应先作出轴的扭矩图，确定Tmax，(1)计算外力偶矩,(2)各段扭矩,BC段：截面1-1,S Mx=0 T1+MB=0,T1=MB=4.775 kNm,CA段：截面2-2,S Mx=0 T2+MB+MC=0,T2=MB MC=9.55 kNm,AD段：截面3-3,S Mx=0 T3 MD=0,T3=MD=6.336 kNm,(3)绘制扭矩图,CA 段为危险截面：,4.775,9.55,6.336,|T|max=9.55 kNm,T1=4.775 kNm,T2=9.55 kNm,T3=6.336 kNm,(kNm),CA 段：|T|max=9.55
11、kNm。,2.设计轴的直径 D(1)强度条件,(2)刚度条件,D 12.34 cm，圆整，取 D=12.5 cm,例3 某传动轴转速 n=500 r/min，输入功率 P1=370 kW，输出 功率分别 P2=148 kW及 P3=222 kW。已知：G=80 GPa，=70 MPa，=1/m。试确定：,解：(1)外力偶矩、扭矩图,7.066,4.24,作扭矩图：,(1)AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2？(2)若全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？,由强度条件：,(2)AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2,由刚度条件：,7.066,4.24,取 AB段直
12、径：d1=85 mm，BC段直径：d2=75 mm,(3)若全轴选同一直径时,取：d=85 mm,(4)主动轮与从动轮如何安排合理,将主动轮A设置在从动轮之间：,此时轴的扭矩图为：,|T|max=4.24 kNm,轴的直径：d=75 mm,较为合理。,7.066,4.24,4.24,2.826,第 四 章 弯 曲 内 力,剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图,弯曲内力,剪力Fs:构件受弯时，作用线平行于其横截面的内力。,剪力和弯矩的符号规则:,弯矩M:构件受弯时作用面垂直于其横截面的内力偶矩。,弯矩 M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(
13、x)图为一向右下方倾斜的直线.,q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系,1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x)0,弯曲内力,2.梁上无载荷区段，q(x)=0,FS(x)图为一条水平直线.,M(x)图为一斜直线.,当 FS(x)0 时,向右上方倾斜.,当 FS(x)0 时,向右下方倾斜.,5.最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上.梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x)=0 的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.,3.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.,4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集
14、中力偶的值，但剪力图无变化.,弯曲内力,剪力、弯矩与分布载荷间的关系及特点：,外力,无外力,均布载荷,集中力处,集中力偶处,FS图特征,M图特征,水平直线,斜直线,向下突变,无变化,斜直线,抛物线,产生折点,向下突变,作梁 FS 图、M 图步骤：,(1)求梁约束力；,(2)分段写FS 方程、M 方程；,(3)分段作 FS 图、M 图；,(4)确定|FS|max、|M|max 及其所在截面位置。,例1、作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并写出|Fs|max和|M|max.,解：(1)约束力FA、FB,解上两式得：,qa,qa2,(2)FS 方程、M 方程,AB段：,FS=FA=qa(0 x a),当
15、x=0时：,Fs=qa,M=0,当x=a时：,Fs=qa,M=qa2,(0 x a),例1、作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并写出|Fs|max和|M|max.,解：(1)约束力FA、FB：,qa,qa2,(2)FS 方程、M 方程,AB段：,FS=FA=qa(0 x a),(0 x a),当x=a时：,Fs=qa,M=qa2,当x=2a左时：,BC段：,F,FS=FA q(x-a)=2qa-qx(a x 2 a),(a x 2a),例1、作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并写出|Fs|max和|M|max.,解：(1)约束力FA、FB：,qa,qa2,(2)FS 方程、M 方程,AB段：,FS=F
16、A=qa(0 x a),(0 x a),当 x=3a 时：,当 x=2a右 时：,BC段：,FS=FA q(x-a)=2qa-qx(a x 2 a),(a x 2a),CD段：,FS=q(3a-x)-FD=q(3a-x)-2qa(2a x 3 a),(2a x 3a),|FS|max=2qa,|M|max=1.5qa2,例2.求下列各图示梁的剪力方程和弯矩方程,并画出剪力图和弯矩图。,解：求支反力,写出剪力方程 和弯矩方程,F,YO,L,根据方程画剪力图 和弯矩图,(a),解：写出剪力方程 和弯矩方程,根据方程画剪力图 和弯矩图,L,q,(b),例3 作图示简支梁的 FS 图、M 图,并写出|
17、Fs|max 和|M|max。,解：(1)约束力FA、FB,SMB(F)=0 FAl+Fb=0,FA=Fb/l,SFy=0 FA+FB F=0,FB=F FA=Fa/l,(2)FS 方程、M 方程,AC段：,FS=FA=Fb/l(0 x a),(0 x a),CB段：,FS=FA F=Fa/l(a x l),(a x l),AC段：,FS=FA=Fb/l(0 x a),(0 x a),CB段：,FS=FA F=Fa/l(a x l),(a x l),(3)作FS 图、M 图,AC段：x=0，FS=0 x=a，FS=Fb/l,Fb/l,CB段：x=a，FS=Fb/l x=l，FS=Fa/l,Fa
18、/l,AC段：,FS=FA=Fb/l(0 x a),(0 x a),BC段：,FS=FA F=Fa/l(a x l),(a x l),(3)作FS 图、M 图,AC段：x=0，M=0,CB段：,x=a，,x=a，,x=l，M=0,Fb/l,Fa/l,由FS 图可知：,称|FS|max、Mmax 所在截面为危险截面。,注意：|FS|max、|M|max不一定为同一 截面。,另外：,C截面：x=a，,CB段：|FS|max=Fa/l,由M 图可知：,在集中力作用处，FS图上有突变，突变值等于集中力数值，突变方向与集中力方向相同。,Fb/l,Fa/l,例4 作图示简支梁的 FS 图、M 图。,解：(
19、1)约束力FA、FB,SMB(F)=0 FA=Me/l,SFy=0 FB=Me/l,(2)FS 方程、M 方程,AC段：,FS=FA=Me/l(0 x a),(0 x a),CB段：,FS=FA=Me/l(a x l),(a x l),(3)FS 图、M 图,AC段：,FS=FA=Me/l(0 x a),(0 x a),CB段：,FS=FA=Me/l(a x l),(a x l),Me/l,FS 图：为一水平线。,M 图：,AC段：为一斜直线。,x=0，M=0,CB段：为一斜直线。,x=a，,x=l，M=0,x=a，,可知：,x=a+,另外：,在集中力偶作用处，M 图上有突变，突变值等于集中力
20、偶矩数值，突变方向与集中力偶矩对其右侧梁的作用效果而定。,Me/l,由例题可知 FS 图、M 图的一些特征：,(1)梁上无均布载荷 q 作用处，FS 图为一水平线，M 图为一直 线，常为斜直线；,(2)在 q 作用处，FS 图为斜直线，M 图为一抛物线；,(3)在集中力 F 作用处，FS 图上有突变，M 图上有一折点；,(4)在集中力偶 Me 作用处，FS 图上无影响，M 图上有一突变；,(5)|M|max可能发生在集中力或集中力偶作用处。,例5.一简支梁受均布载荷作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,解：（1）计算梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB
21、 三段.AC和DB上无载荷，CD段有向下的均布载荷.,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,AC段 水平直线,CD段 向右下方的斜直线,DB段 水平直线,最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上.,（2）剪力图,AC段 向上倾斜直线,CD段 向上凸二次抛物线,DB段 向下倾斜直线,（3）弯矩图,在FS=0的截面上弯矩有极值,（4）对图形进行校核,在AC段，剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.,在CD段，方向向下的均布载荷作用,剪力为向下倾斜的直线，弯矩图为向上凸二次抛物线.,在DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.,最大弯矩发生在FS=0的截面E上.说明剪力图和弯矩图是
22、正确的.,例6.作梁的内力图(剪力图和弯矩图).,解:(1)支座反力,将梁分为AC、CD、DB、BE 四段.,(2)剪力图,AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线(),DB段 水平直线(-),EB段 水平直线(-),AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线(),F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x,x=5m,（3）弯矩图,CD段,AC段,DB段,BE段,20,16,6,6,+,20.5,(4)校核,Fs(kN),M(kNm),x,x,第 五章 弯 曲 应 力,书上例题习题:5-12,5-16,5-17,梁弯曲正应力强度条件,抗拉压强度不等的材料（截面上承受的是负弯矩时）,抗拉压
23、强度不等的材料:（截面上承受的是正弯矩时）,惯性矩Iz 和抗弯截面系数Wz,实心圆截面：,空心圆截面：,矩形截面：,解：(1)作 FS、M 图,例1 图示矩形截面木梁，已知 b=0.12m，h=0.18m，l=3m，材料=7 MPa，=0.9 MPa。试校核梁的强度。,可知：FSmax=5400 N Mmax=4050Nm,(2)校核梁的强度,=6.25 MPa,=0.375 MPa,梁安全。,例2 图示减速箱齿轮轴，已知 F=70 kN，d1=110mm，d2=100 mm，材料=100 MPa。试校核轴的强度。,12.25,9.8,解：(1)作M 图，确定危险截面,C截面：Mmax=12.
24、25 kNm，为危险截面,D截面：MD=9.8 kNm，但其直径较小，也可能为危险截面。,(2)强度校核,C截面：,=93.9 MPa,D截面：,=99.9 MPa,梁满足强度要求。,（kNm）,解：(1)作 M 图,确定危险截面,例3 图示T形截面铸铁梁，已知 Iz=8.8410-6m4，y1=45mm，y2=95mm，材料 t=35 MPa，s c=140 MPa。试校核梁的强度。,可知危险截面：D 截面、B 截面,D 截面：最大正弯矩 MD=5.56 kNm,5.56kNm,B 截面：最大负弯矩 MB=3.13 kNm,=59.8 MPa,c,梁安全。,|MD|MB|，|y2|y1|,|
25、sa|sd|即最大压应力 为D 截面上a点。,而最大拉应力为D 截面上b点或B 截面上c点，由计算确定。,stmax=33.6 MPa t,注意：若将梁倒置，则,stmax=59.8 MPa t,梁不安全。,(2)校核梁的强度,5.56kNm,例4 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为 t=30MPa，许用压应力为c=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.,解：,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,M(kNm),x,(1)作M 图，确定危险截面,a.先求支反力,b.作弯矩图如图示,C截面（上压下拉）,M(kNm),x,综上:梁安全,B截面（上拉下压）,(2)校核梁的强度,祝大家学习愉快,
