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1、2.1 极限概念,2.1.1 极限思想,2.1.2 数列的极限,2.1.3 函数的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,极限思想,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,数列的极限,其中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项。例如：,在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点.,注意：,2.数列可看成是以自然数为自变量的函数：,xn=f(n).,播放,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通
2、过上面演示实验的观察:,定义1.8对于数列，如果当无限变大时，趋于一个常数,则称当趋于无穷大时，数列以为极限，记作,亦称数列收敛于；如果数列没有极限，就称是发散的,或，,观察下面数列的变化趋势，哪些数列收敛？哪些数列发散？如果收敛，写出它们的极限,练习一,2.1.3 函数的极限,数列极限是一般函数极限的特殊情况.数列是定义在自然数集上的一个函数，其自变量是离散的，而不是连续的.其自变量的变化过程只有一种，即趋于无穷大，记作但是，考察一般函数的极限时，自变量的变化过程可以是连续的，并出现了多种可能性.例如：,(1)当自变量绝对值无限增大，即沿轴的正向和负向同时远离原点时，记作,(2)当自变量无限
3、增大(或无限减小)时，记作,(或),(3)当自变量从的两侧趋向于时，记作,(4)当自变量从的左侧(的右侧)趋向于时，记作,(或),x、y的变化趋势：,x:x趋向正无穷大（x+）,y:y无限接近于常数0(y0),再看函数 图象,即对函数,当 时,定义1.9如果当且无限增大时，函数趋于一个常数，则称当时函数以为极限记,或,由例1知，对于函数，有,例2.已知函数，试由函数的图像判断趋向负无穷大时函数的变化趋势。,由图可见，对函数，当 时,定义1.9如果当且的绝对值无限增大时，函数趋于一个常数，则称函数当时以为极限记作,或,由例2知，对于函数，有,例3.已知函数，判断当和时，函数的极限。,解作的图象,
4、和可以写成,例3结论又可写成,定义1.9如果当的绝对值无限增大时，函数趋于一个常数，则称当时函数以为极限记,或,例4求,解当时，即,例5求,解函数的图象如图所示当时，无限变小，函数值趋于1；时，函数值同样趋于1，所以有,例6.已知函数，讨论当是否有极限，为什么？,如图,由图可知：时，时，,例7.已知函数，讨论当是否有极限，为什么？,如图,时，某一固定的常数A时，某一固定的常数A,由图可知：,观察下列极限是否存在，如存在请写出极限,练习二,定义1.10设函数在点的某个邻域(点本身可以除外)内有定义，如果当趋于(但)时，函数趋于一个常数，则称当趋于时，以为极记作或，亦称当时，的极限存在否则称当时，
5、的极限不存在,2.时函数的极限,注意:,()定义中 表示 从小于 和大于 的两个方向趋近于（）定义中考虑的是 时函数 的 变化趋势,并不考虑在 处 的情 况,例8 根据极限定义说明：,(2),(1)，,解(1)当自变量趋于时，作为函数的也趋于，于是依照定义有,(2)无论自变量取任何值，函数都取相同的值，那么它当然趋于常数，所以,例9 考察函数，写出当 时函数的极限,并作图验证.,解：,例10 利用图像考察和 的值,解,作的图像,作的图像,解,例11 求极限，并作图观察,练习三：求下列极限,定义1.11设函数在点右侧的某个邻域(点本身可以除外)内有定义，如果当趋于时，函数趋于一个常数，则称当趋于
6、时，的右极限是记作,3.左极限与右极限,或,设函数在点 左侧的某个邻域(点本身可以除外)内有定义，如果当趋于时，函数 趋于一个常数，则称当趋于时，的左极限是记作,或,定理1.1当时，以为极限的充分必要条件是在点处左、右极限存在且都等于即,试判断 是否存在,，,，,左、右极限各自存在且相等，所以存在，且,解先分别求当时的左、右极限：,解当 时，即；当时，故，即 左极限存在，而右极限不存在,由充分必要条件可知 不存在,例12 判断 是否存在,解,例13 讨论函数 当 和 时的极限,例14,解,讨论函数 当 时的极限是否存在,练习四,求下列函数当 时的左、右极限，并指出当 时极限是否存在,返回目录,
7、4.设函数，作出函数的图形。试问以及是否存在？,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,
