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1、第一章函数极限连续,第二节极限的概念,一、数列的极限,二、函数的极限,三、无穷大量,定义设函数 un=f(n),其中 n 为正整数,一、数列的极限,若存在一个常数 M 0，使得|un|M(n=1,2,)恒成立，,或存在两个数 M 和 m，使得 m un M(M 称为上界,m 称为下界)，,若数列 un 满足 un un+1(n=1,2,)或 un un+1(n=1,2,)则分别称 un 为单调递增数列或单调递减数列，,则称数列 un 为有界数列，或称数列有界；,这两种数列统称为单调数列.,例如 un:,为单调递减数列;,为单调递增数列；,是有界数列，但不是单调数列.,又如,而,前面三个数列都有
2、一种共同的现象，即当 n 无限变大时，它们都无限地接近于 1，这就是极限现象.,显然，数列 un 无限地接近于 1，可用数列 un与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述.,如果用符号 e 表示任意小的正数，那么就可用|un-1|e 表示.,于是,数列 un 的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，就有|un-1|e.,一般地，当 n 无限变大时，数列 un 无限接近于一个常数 A 的极限现象可定义如下：,定义如果当 n 无限变大时，数列 un 与 A 之差的绝对值小于任意小正数 e，即|un A|e，,此时亦称数列收敛，记作,那么称当 n 趋向无穷大时，数列 un以 A 为极限，(或数列 un
3、 趋向于 A).,前面三个数列的极限可分别表示为,几点说明:,(1)在数列 un 趋向于 A 的过程中，它的变化较复杂.,还可举出其他变化的例子.这种变化的多样性如不注意，易在概念上发生 错误.,(2)对于 n 无限变大这句话,也可用一个式子来表示，,如果记 N 为一个充分大的正整数，那么当 n N 就表示了这个意思，N 表示了n 无限变大的程度，,恒有|un A|e.,(3)数列极限的几何解释,存在一充分大正整数 N，当 n N 时，点 un 都落在点 A 的 e 邻域内，而不管 e 有多么小(如图)，,形象一点讲，数列 un 会密集在点 A 的周围.,A,A-e,A+e,uN+1,uN+2
4、,如果把数列 un 中每一项都用数轴 Ox 上一个点来表示，那么数列 un 趋向于 A 可解释为:,定理若数列收敛，则数列有界.,并非所有数列都是有极限的，,例如,当 n 时,它们均不与一个常数 A 无限接近，所以这些数列没有极限,没有极限的数列称为发散数列或称数列发散.,二、函数的极限,当 x 无限接近于 1 时，,显然，当 x 1 时,趋向于什么？,函数,一般地，当 x 无限接近于 x0 时，函数 f(x)趋向于 A 的定义如下：,定义如果当 x 无限接近于 x0 时，恒有|f(x)-A|e(e 是任意小的正数)，,则称当自变量 x 趋向于 x0 时，函数 f(x)趋向于 A，记作,几点说
5、明：,(1)与数列极限相似，f(x)趋向于 A 的过程中，可以有大于 A 的，可以有小于 A 的，也可以有等于 A 的.,(2),x 是不能等于 1 的，因为 x=1 处函数没有定义.一般地，在自变量 xx0 过程中是不能等于 x0 的.,(3)自变量 x x0 也可以用不等式表示.,如果用 d 记作充分小的正数.那么 x 无限接近 x0，可由 x0 的 d 空心邻域表示，即 0|x-x 0|d.d 表示 x 与 x0 接近的程度.,这样，,就是指，当 0|x-x 0|d 时恒有|f(x)-A|e.,A-e f(x)A+e,(4)几何解释.,A,A+e,A-e,y=f(x),x0-d,x0+d
6、,x0,不管它们之间的距离有多么小.只要 x 进入 U(,是指：当 0|x-x0|d 时，恒有|f(x)-A|e.即,作两条直线 y=A-e 与 y=A+e.,d)内，曲线 y=f(x)就会落在这两条直线之间.,左、右极限统称为函数 f(x)的单侧极限.,有时我们仅需要考虑自变量 x 大于 x0 而趋向于 x0(或 x 小于 x0 而趋向于 x0)时，函数 f(x)趋向于 A 的极限，,此时称 A 是函数 f(x)的右极限(或左极限)，记作,即,显然 x x0 时，f(x)的极限存在的充分必要条件是：f(x)在 x0 处的左、右极限存在且相等.,例 2试求函数,解(1)因为,函数 f(x)在
7、x=0 处左、右极限存在但不相等，,所以当 x 0 时，f(x)的极限不存在.,(2)因为,函数 f(x)在 x=1 处左、右极限存在而且相等，所以当 x 1 时，f(x)的极限存在且,自变量 x 除了 xx0 的变化过程外，还有其他的变化过程，,也是指当 x N(N 是充分大的正数)时，恒有|f(x)-A|e(e 是任意小的正数).,当 x 无限变大时，函数 f(x)趋向于A，,几何意义是：作两条直线 y=A+e 和 y=A-e，,A+e,A,A-e,N,不管它们之间的距离有多么小，当 x 变到充分大之后即 x N 时，曲线 y=f(x)落在这两条直线之间.,前者是指当-x 无限变大时，f(
8、x)趋向于 A，,而后者是指,例如,例 3,解,例 4,解,解,例 5,例 3,4 和 5 说明了下列几种重要现象：,(1)函数 f(x)在 x0 处极限存在，但函数 f(x)在 x0 处可以没有定义(如例 3).,(2)函数 f(x)在 x0 处虽然有定义，且在 x0 处有极限，但两者不等，,(3)函数 f(x)在 x0 处有定义，也有极限且两者相等.,定理 若 x x0(或 x)时，函数 f(x)的极限存在,则函数 f(x)在 x0 的一个空心小邻域内(或|x|充分大范围内)有界.,三、无穷大量,若函数 y=f(x)的绝对值|f(x)|在 x 的某种趋向下无限增大，则称 y=f(x)为在 x 的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.,当 x x0 时，f(x)为无穷大量，记作,当 x 时，f(x)为无穷大量，记作,若在 x 的某种趋向下，f(x)恒正地无限变大，或者恒负，但绝对值无限变大，则记为,有时，所研究的无穷大量具有确定的符号，,
