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1、第三章 习题课,主要内容,1.二维随机变量,设E一随机试验,样本空间S=e,X、Y是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机变(向)量.,2.二维随机向量(X,Y)的分布函数,性质：,(1)F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数；,(2)0 F(x,y)1,且 F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(,)=1；,(3)F(x,y)关于 x 和 y右连续;,(4)对于任意x1 x2,y1 y2,有 F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0.,3.边缘分布,4.随机变量独立性的定义,1.联合分布律：,离散型的二维随机变量(X,Y),性
2、质：,分布函数：,Y,X,2.边缘分布律,3.条件分布律,4.独立性,连续型的二维随机变量,1.联合概率密度及性质,2.边缘概率密度,X 的边缘概率密度,Y 的边缘概率密度,边缘分布函数,3.条件概率密度,4.独立性,(3)若,且X与Y相互独立,则,X+Y 仍服从正态分布,且,且相互独立,则,推广:若,(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,(2)若,X与Y相互独立,则,(1)若,则,正态分布随机变量的一些常用性质,(1)Z=X+Y 的分布,分布函数:,概率密度:,当X 和Y 相互独立:,两个随机变量的函数的分布,(2)当X 和Y 相互独立时:,M=max(X,Y)的分
3、布函数,N=min(X,Y)的分布函数,第3章作业中的问题,作业1.二、4.已知X和Y的分布律为 X-1 0 1 Y 0 1 且 PXY=0=1.求X与Y的联合分布律.,解：,X,Y,-1 0 1,0,1,由 PXY=0=1,得 PXY0=0,而 PXY0=PX=-1,Y=1+PX=1,Y=1=d+f=0,于是 d=0，f=0.,a b cd e f,0,0,0,第3章作业中的问题,作业2.2.,解：,设(X,Y)的概率密度为,求:(1)常数C；(2)边缘概率密度,(3)条件概率密度,第3章作业中的问题,作业2.5.,解：,设二维随机变量(X,Y)在矩形区域,上服从均匀分布.记,(1)求U与V
4、的联合分布；(2)U与V是否相互独立?,U与V的是离散型随机变量,V,0 1,0,1,a b C d,0,U,y=x,x=2y,第3章作业中的问题,作业3.一、填空题,设X与Y为两个随机变量,则.,2.设X和Y相互独立,且XN(0,1),Y N(1,1),则()(A)(B)(C)(D),作业3.二、选择题,第3章作业中的问题,作业3.三、4.,解：,打靶，弹着点的坐标A(X,Y)相互独立，且都服从N(0,1).规定 点A落在区域 得2分；点A落在区域 得1分；点A落在区域 得0分.以记打靶得分.写出X,Y的联合概率密度，求Z的分布律.,X,Y的联合概率密度,Z 0 1 2,p1 p2 p3,、
5、填空题,1.设(X,Y)在由 x轴,y轴及直线 y=2x+1所围成的域上服从均匀分布,则,0.5,2.设(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y),则,3.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,则PY=1|X=2=_,Y 1 2 31 1/16 3/8 1/162 1/12 1/6 1/4,X,13/24,9/13,4.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,Y 1 2 31 1/6 1/9 1/18-1 1/3 a b,若X和Y独立,则 a=_,b=_.,1/2 1/9+a 1/18+b,1/31/3+a+b,2/9,1/9,X,5.设X和Y是两个独立的随机变量,其分布密度分别为
6、:,则(X,Y)的联合分布密度是_,6.设X和Y是两个随机变量,且,则,答:Pmax(X,Y)0=1-Pmax(X,Y)0,=1-PX0,Y0,=PX 0+PY 0-PX 0,Y 0,5/7,7.设X和Y是都服从正态分布N(0,2),且,则,1/3,答:PX0,Y0,=1-PX0 Y0,=1-PX0-PY0+PX0,Y0,二、选择题,1.设(X,Y)的联合概率密度是则X与Y为()的随机变量(A)独立同分布(B)独立不同分布(C)不独立同分布(D)不独立也不同分布,2.设 X,Y 是相互独立的随机变量,其分布函数分别为,则 的分布函数是(),(A)(B),3.设 X,Y 是相互独立的随机变量,且
7、都服从0,1上的均匀分布,则服从区间或区域上的均匀分布随机变量是(),(C)(D),4.随机变量X与Y相互独立且同分布则下列各式中成立的是(),5.随机变量X与Y相互独立,且则Z=X+Y仍服从正态分布,且有(),6.设XN(0,1),Y N(1,1),且相互独立,则,1.设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其 概率密度为,若各周的需求量相互独立,求两周需求量的概率密度.,解 设X,Y分别表示第一、二周的需求量，,则两周的需求量为 Z=X+Y,三 计算题,z,o,x,2.一射手进行射击，击中目标的概率为p，射击到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行的射击次数，Y表示射击的总次数，试求X
8、与Y的联合分布律和边缘分布律.,解：,依题意,X=m,Y=n表示:前m-1次不中,第m击中,第m+1,n-1次不中,第n次击中.又每次射击是独立的,3.设(X,Y)的密度函数为,y=x,(1)求X,Y的边缘分布密度,并判断其独立性;(2)求(X,Y)的条件分布密度.,4.设随机变量X关于Y的条件密度函数为:,当0y 1时,而Y 的密度函数为,求,答：47/64,5.设X与Y相互独立,且X与Y分别服从区间(-1,1),(0,1)内的均匀分布,求方程 无实根的概率.,t2+2Xt+Y=0无实根 X2 Y0,PX2 Y0=2/3,解：,6.已知随机变量X与Y相互独立,XN(0,1),Y服从0,2上的
9、均匀分布,求PXY.,y=x,答案：,7.设某种鸡下蛋的个数X()，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，记Y表示此鸡的下一代的个数.试求X与Y的联合分布律，并证明 Y(p).,解：,即Y(p),练习题 1,在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只桔子，2只苹果，3只香蕉.今从袋中随机抽出4只，以X记桔子数，Y苹果数，求X与 Y联合分布律.,答：,X,Y,0 1 2 3,0 1 2,0 3/70 9/70 3/70,2/70 18/70 18/70 2/70,3/70 9/70 3/70 0,练习题 2,某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7：558：00，而火车这段时间开出的时间Y的密度函数
10、为求此人能及时上火车的概率.,答：,1/3,自 测 题,1.设随机变量(X,Y)的密度为,(1)系数A;(2)(X,Y)的分布函数;(3)(X,Y)的边缘分密度;(4)(X,Y)的条件密度;(5)概率PX+Y1,PYX,PY1/2|X1/2.,试求:,2.设(X,Y)的联合分布为,求:(1)X 和Y 的边缘分布律 及条件分布律.,(2)PX+Y2,PYX.,3.把4个球随机地放入3个盒子中.设随机变量X,Y分别表示放入第一个，第二个盒子中的球的个数,求二维随机变量(X,Y)的边缘分布.,0 1 2 3 40 1/91 4/91 6/91 4/91 1/911 4/91 12/91 12/91
11、4/91 02 6/91 12/91 6/91 0 03 4/91 4/91 0 0 04 1/91 0 0 0 0,X,Y,16/91 32/91 24/91 8/91 1/91,16/91 32/91 24/91 8/91 1/91,0 1 2 3 4,01234,X,Y,1/91 4/91 6/91 4/91 1/914/91 12/91 12/91 4/91 06/91 12/91 6/91 0 04/91 4/91 0 0 01/91 0 0 0 0,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,(1)求常数A,B,C;(2)求(X,Y)的概率密度;(3)求(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度;(4)X和Y是否相互独立?,
