《模拟滤波器的设计》PPT课件.ppt

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1、机械测试信号分析与处理,第八章 模拟滤波器设计,讲授：谷立臣,THE ANALYSIS AND PROCESS OF MECHANIC TEST SIGNAL,8.1 滤波器的基本概念,滤波器的定义：在信号处理时，通常都会遇到有用信号中混入(叠加)噪声的问题，消除或减弱噪声对信号的干扰，是信号处理中的一种最基本且重要的技术。根据有用信号与噪声不同的特性，抑制不需要的噪声或干扰，提取出有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的装置称为滤波器。,8.1 滤波器的基本概念,滤波器的分类：根据滤波器所处理的信号不同，可以分以下两类：模拟滤波器 数字滤波器 从功能上总的可以分为四类：低通（LP）、高通（HP

2、）、带通（BP）、带阻（BS）每类滤波器有模拟滤波器（AF）和数字滤波器（DF）两种形式。对数字滤波器，从实现方法上，由有限长冲激响应(Finite impulse response digital filter)所表示的数字滤波器被称为FIR滤波器，具有无限冲激响应(Infinite impulse response digital filter)的数字滤波器则称作IIR滤波器。,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,当输入滤波器的噪声和有用信号具有不同频带时，使噪声衰减或消除，并对信号中某些需要的成分传输而得到输出的滤波器为频率选择滤波器。当噪声与有用信号的频带重叠时，使用频率选择滤波器不可

3、能实现抑制噪声，得到需要的有用信号的目的，这时需要采用另一类广义滤波器，如维纳滤波、卡尔曼滤波等。这一类滤波技术是从统计的概念出发，对所提取的有用信号从时域进行估计，在统计指标最优的意义下，估计出最优逼进的有用信号，噪声也在统计指标最优意义下得以衰减或消除。模拟滤波器处理的输入、输出信号均为模拟信号，是一线性时不变模拟系统，它分成两类：由放大器、电阻R和电容C构成的有源滤波器及由R、C或和电感L构成的无源滤波器。,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,滤波器的工作原理：图1 低通滤波器的工作原理 图中，输入电压ui(t)是一含高频信号噪声的信号，通过RC低通滤波器后，高频分量受到抑制得不到输出，

4、只输出有用的且比较光滑的低频信号，滤波器这种选择特性是由它的频率响应特性所决定的,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,滤波特性分析：RC网络的微分方程：进行拉氏变换，并整理后可得到滤波器的传递函数：滤波器的频率响应函数：得到幅频特性和相频特性为：,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,低通滤波器的幅频和相频特性：由图可知，当 时，取得相对较大的幅值，表明允许低频信号通过；而当 时，值相对减小，高频信号衰减大，RC网络不允许高频信号通过，被过滤掉。由相频特性可知，通过的低频信号相对原输入信号有一定相移。,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,模拟滤波器系统框图：一般模拟滤波器系统如上图所示，是一线性

5、非时变系统。,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,一般线性非移变离散系统的数学模型：,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,上图中RC网络的微分方程为：以差分近似代替上式中的微分：简化：显然，按上述差分方程进行运算，当等于连续系统输入的抽样值时，离散系统的输出就近似等于它的抽样值，实现了模仿的目的。所以上式成为这一离散系统的数学模型。,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,模拟滤波器的重要用途：模拟滤波器是现代控制系统中的重要部件。最常见的应用例子，是传感器输出信号中混有噪声干扰的情况，在传感器及测试电路中，可以在工艺上使布线尽量合理，元件布局合理，并采用屏蔽技术等措施来防止噪声进入系统，但信号中

6、仍可能含有不可忽略的噪声，此时常采用模拟滤波器抑制这些噪声，使有用信号能通过而输出。在数字式控制系统中，模拟滤波器也是重要的组成部件。在A/D变换前，常常需要设置一个模拟滤波器进行预滤波以限制信号带宽，去掉高于1/2抽样频率以上的高频分量，防止频谱混叠现象的发生，称为抗混叠滤波器或预抽样滤波器。,8.3 滤波器设计基本理论,8.3.1 信号通过线性系统无失真传输的条件 信号无失真传输是指信号通过系统后，输出信号的幅度是输入信号的比例放大，出现的时间允许有一定的滞后，但没有波形上的畸变，如图85所示。输入信号x(t)与输出信号y(t)之间的关系为（89）,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,上式

7、为信号无失真传输的时域条件，对其作傅氏变换，并用傅里叶变换的延时特性，可得出输入与输出信号的频谱关系为滤波器的频率响应：即：上式为线性系统无失真传输的频域条件。,8.2 模拟和数字滤波器的基本概念,要使信号通过滤波器这样的线性系统传输不失真，就要求信号在全部频带上，系统的幅频特性|H()|为一常数，而相频特性（）与频率成正比。这一条件用图表示，如图86所示。图86 无失真传输系统的幅频相频特性,8.3.2 滤波器的理想特性与实际特性,滤波器的理想特性可归纳为：有用信号频带内，应该是常值幅频，线性相频；有用信号频带外，幅频立即下降到零，相频特性如何无关紧要；特性分为通带和阻带：通带：信号能通过滤

8、波器的频带;阻带：信号受滤波器抑制的频带。,8.3.2 滤波器的理想特性与实际特性,滤波器的四种理想特性：,8.3.2 滤波器的理想特性与实际特性,理想滤波器的冲击响应：理想低通滤波器的频率特性为：理想低通滤波器的冲击响应h(t)，设K=1，则h(t)为：,8.3.2 滤波器的理想特性与实际特性,理想低通滤波器的冲击响应：由图可见，在t=0时输入（t），响应要延迟tD后才达到最大值，而在t0时，冲击响应h(t)0，这就意味着，在激励未加上之前就存在冲击响应。这是违反因果性的，这种滤波器在物理上是不可实现的。另外，从图中还可以看出，当低通滤波器的截止频率C很低时，响应h(t)中的/C很大，谱瓣显

9、得很宽，与输入（t）相比，失真就很大；当C增加时，谱瓣变窄，即tD（/C）tD+（/C）；当C时，h(t)（ttD）。,8.3.2 滤波器的理想特性与实际特性,实际低通滤波器的特性：低通滤波器的实际特性除存在通带和阻带外，在通带和阻带之间设置了一个过渡带，而不是突然下降，但在通带内不是完全平直，而是近似理想的幅度特性，并与理想特性的偏差在规定的范围内，在阻带内幅度特性也不是零值，而是衰减至规定的偏差范围内，对于过渡带内的幅度衰减一般不提要求。,8.4.1 模拟滤波器的一般设计方法：根据设计的技术指标即滤波器的幅频特性，确定滤波器的传递 函数H(S)；设计实际网络(通常为电网络)实现这一传递函数

10、.,8.4 模拟滤波器的设计,8.4 模拟滤波器的设计,幅度特性函数|H()|的确定：由于 而 则 又 那么 从而 当已知幅度平方函数A(2)时，以 代入，即可得到变量S2的有理函数A(-s2),然后求出其零极点并作适当分配，分别作为H(S)和H(-S)的零极点，就可以求得H(S)。,8.4 模拟滤波器的设计,零极点的分配：图中的对称形式称为相限对称，字符P表示极点，R为零点，在j轴上零点处括号中的数字表示零极点的阶次，如表示二阶，上标、下标的字符表示相对称的零极点，如P1、P1为一对对称极点.,8.4 模拟滤波器的设计,例8.1 设，试求H(S).解：若按稳定性的要求选取极点，按最小相位条件

11、来选取零点，零极点应全部选在左半平面则滤波器传递函数应为,8.4 模拟滤波器的设计,例8.2 若一模拟滤波器的单位冲激响应，试问：如果输入滤波器的信号为 那么从滤波器输出的信号y(t)是什么？解 由 可得 图812 滤波器的幅频,8.4 模拟滤波器的设计,输入信号的频谱如图813所示：图813 输入信号的幅频特性 显然，H()反映的是一个低通滤波器，输入信号中高于2的高频分量被抑制，所以滤波器的输出为：上式反变换后可得输出（滤波器允许传输）的时域信号为,8.4.2 模拟滤波器的设计,1.巴特沃思滤波器的设计：巴特沃思滤波器幅度平方函数为：（8-24）巴特沃思滤波器的MATLAB调用函数为：Z,

12、P,K=buttap(n)n:阶数 z,p,k:滤波器零点、极点和增益。其幅度平方函数随变化的曲线如下图所示：,8.4.2 模拟滤波器的设计,由上图可知，巴特沃思滤波器的幅度平方函数具有下列特点：通带内具有最大平坦幅度特性，而且在正频率范围内，随频率升高而单调下降。阶次愈高，特性愈接近矩形。传递函数无零点。它的极点成等角度分布在以|S|C为半径的圆周上，这个圆称为巴特沃思圆。,8.4.2 模拟滤波器的设计,由式(8-24）可得：由上式可求得其极点应为2n个，即：经整理变换，可得：设滤波器阶次为4，即n=4,可以得到8个极点。根据前述极点分布的原则，滤波器的传递函数H(s)的极点应在s平面的左半

13、部，从而可以直接写出H(s)为：,8.4.2 模拟滤波器的设计,设直流（即0）增益为1，可由H(s)|S=0=1求出系数K，引入归一化频率经整理可得：或：上述两个表达式中极点和分母多项式中的系数已经被计算好，可直接根据滤波器的阶次查表得出。,8.4.2 模拟滤波器的设计,例8.3 试确定一低通巴特沃思滤波器的传递函数H(s)。要求在通带截止频率fC=2KHz(C=22103rad/s)处，衰减C3dB,阻带始点频率fZ=4KHz(Z=24103rad/s)处,，衰减Z15dB，各项指标如下图所示。,8.4.2 模拟滤波器的设计,解 巴特沃思滤波器的幅度平方函数为：（）的一般表示式为：从而按给定

14、的阻带指标 并变换，得：将已知的数据代入上式，得：令n3，滤波器在4kHz处的衰减将优于-15dB，写出H(s)的表示式：,8.4.2 模拟滤波器的设计,8.4.2 模拟滤波器的设计,本例中的3阶巴特沃思滤波器,可以用一个一阶与二阶有源滤波器串连实现,如下图所示：由运算放大器电路原理可以求出两个串联环节的传递函数分别为：,8.4.2 模拟滤波器的设计,综合以上各式,可以写出如下方程组：在解上述方程组时,可以先按标准系列值选定一些电阻值.,8.4.2 模拟滤波器的设计,例8.4 设计一低通巴特沃思滤波器的传递函数。要求通带边界频率fP=100Hz(P=2100rad/s)处，幅度衰减P1dB,阻

15、带始点频率fZ=150Hz(Z=2150rad/s)处，幅度衰减Z15dB.解 由于通带边界频率处衰减不为3dB,因此要同时根据通带和阻带的衰减要求，联立方程求解C和n，由已知的设计要求有代入已知数据可得：,8.4.2 模拟滤波器的设计,取n7，700，通过查表8.3并代入归一化频率，最后可得这一巴特沃思滤波器的传递函数为,8.4.2 模拟滤波器的设计,例8.5 试用MATLAB语言绘制巴特沃思低通模拟滤波器的平方幅频相应曲线，滤波器的阶数分别为2，5，10，20。解 例的MATLAB程序 n=0:0.01:2for i=1:4 switch i case 1 N=2;case 2 N=5;c

16、ase 3 N=10;case 4 N=20;end,8.4.2 模拟滤波器的设计,z,p,k=buttap(N);%巴特沃思滤波器原型设计函数，n:阶数;z,p,k:%滤波器零点，极点和增益b,a=zp2tf(z,p,k);%零极点增益转换为传递函数H,w=freqs(b,a,n);%模拟滤波器频率响应函数magH2=(abs(H).2;%幅度平方函数hold onplot(w,magH2);axis(0201);endxlabel(w/wc);ylabel(H(jw)2);grid,8.4.2 模拟滤波器的设计,图817 不同阶次巴特沃思滤波器的幅度平方函数,8.4.2 模拟滤波器的设计,

17、2.切比雪夫滤波器设计：切比雪夫滤波器的特点：切比雪夫滤波器阻带衰减特性比巴特沃思滤波器下降要快，其幅度特性在通带内具有等波纹的形状。切比雪夫滤波器的MATLAB调用函数为Z,P,K=cheblap(n,Rp)n:阶数 Rp:通带波纹系数 z,p,k:滤波器零点、极点和增益 图819 切比雪夫不同阶次的幅度平方函数,8.4.2 模拟滤波器的设计,切比雪夫多项式 令经横等变形、移项整理得：上式即为“三项递推公式”，利用它可求任意阶次的切比雪夫多项式。,8.4.2 模拟滤波器的设计,110阶的切比雪夫多项式：,8.4.2 模拟滤波器的设计,15阶切比雪夫多项式曲线：,8.4.2 模拟滤波器的设计,

18、切比雪夫多项式有以下特点：当n 为偶数时，Cn(x)为偶次式，n为奇数时，Cn(x)为奇次式。当x在1x1范围变化时，多项式值在+11间变化，呈等起伏波动特性。X=1时，Cn(x)1，x=0,若n为奇数，Cn(x)0，为偶数，Cn(x)1或1。当1时，Cn(x)的值随 增大而迅速增大，n越大，其增长越快。,8.4.2 模拟滤波器的设计,型切比雪夫滤波器N阶幅度平方函数：式中：切比雪夫多项式，n=1,2,，为正整 数，是滤波器阶次；c通带截止角频率，这里是指被通带波纹所 限制的最高频率，c3dB；为一小于1的整数，表示通带内幅度波动 的程度。可以看出：切比雪夫滤波器幅度平方函数不仅与阶次有关，而

19、且与也有关。,8.4.2 模拟滤波器的设计,例8.6 绘制出阶数分别为2，4，6，8的切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅频响应曲线。解 写出其MATLAB程序如下：绘制切比雪夫低通滤波器幅度平方函数的MATLAB程序n=0：0.01：2；for i=1:4 switch i case 1 N=2；case 2 N=4；case 3 N=6；case 4 N=8；end,8.4.2 模拟滤波器的设计,Rp=1;滤波器通带波纹系数z,p,k=cheblap(N,Rp);设计切比雪夫模拟低通滤波器原型函数，z,p,k分别为滤波器的零点、极点和增益b,a=zp2tf(z,p,k);零点、极点和增益转换为传

20、递函数H,w=freqs(b,a,n);模拟滤波器的频率响应magH2=(abs(H).2;幅度平方函数 Outputposplot=10num2str(i);定义字符串变量subplot(posplot)plot(w,magH2,k);ylabel(|H(jw)2|);title(N=num2str(N);gridend,8.4.2 模拟滤波器的设计,绘出的切比雪夫不同阶次的幅度平方函数：,8.4.2 模拟滤波器的设计,例8.7 设计一个切比雪夫低通滤波器的传递函数H(s)，要求为通带边界频率fc=2kHz(c=22103rad/s),通带波纹11dB,阻带始点频率fz=4kHz(z=421

21、03rad/s),在z处幅度衰减z15dB。解 通带波纹的定义1为由切比雪夫多项式可知，有 则幅度平方函数经数学变换并代入已知数据得：,8.4.2 模拟滤波器的设计,下面根据 处的衰减指标确定阶次n：由已知 将它们代入切比雪夫幅度平方函数表达式即可解得阶次n 整理，代入已知数据得：取整选n=3，查表，并以归一化频率s/C代替s得：,8.4.2 模拟滤波器的设计,例8.8 试用MATLAB程序，确定一个模拟低通滤波器的阶数N和截止频率Wc。设计指标为：通带边界频率200，阻带边界频率300，通带波纹为1dB，在Z处，幅度衰减大于18 dB。解 设计切比雪夫低通滤波器的MATLAB程序wp=200

22、*pi;ws=300*pi;Rp=1;%通带波纹Rs=16;%阻带衰减%计算滤波器阶数 ebs=sqrt(10(Rp/10)-1);%波纹系数 A=10(Rs/20);%A为参变量,8.4.2 模拟滤波器的设计,Wc=wp;%截止频率 Wr=ws/wp;g=sqrt(A*A-1)/ebs;%g为参变量N1=log10(g+sqrt(g*g-1)/log10(Wr+sqrt(Wr*Wr-1);%滤波器阶数计算N=ceil(N1);%N取整数运行上述程序后，可得滤波器的截止频率Wc和阶数N为：Wc=628.3185N 4,第7章 习 题7.1 判断下列各序列是否为周期序列，如是则确定其周期。7.2

23、 画出序列 的图形，并求其 变换，指出其收敛域。7.3 求矩形序列 的 变换，指出其收敛域。7.4 确定下列序列的 Z变换及其收敛域。7.5求双边序列，的双边变换及其收敛域，画出序列及其收敛域图形。7.6 直接写出变换，所对应的序列。,7.7 画出的零极点图，并问在以下三种收敛域下，那一种是左边序列、右边序列或双边序列，并求出其对应序列：第8章 习题1图中RC低通网络的微分方程为 其离散近似差分方程 为 T为采样周期，(1)如T=0.1RC，输入 用递推解法求输出响应，描出10个采样点的波形；(2)当输入为 时，并设初始条件为零，直接解微分方程得到连续输出，求在相应的抽样点上的输出值，并与 做

24、比较。,解：(1)当T=0.1RC时，原式可化简为 用递推法求解:(2)首先解：得到,将c换成变量u得则 代入原方程：所以 随着n的在增大，y(nT)越接近于y(t)。,2用Z变换法求解1.中的差分方程。解：对差分方程两边取Z变换，并整理得,3已知一个线性非移变因果系统，用差分方程 描述。（1）求系统函数,画出零极点图，指出其收敛域；（2）求单位抽样响应；（3）判定系统稳定性，如果不稳定，则求满足上述差分方程的一个稳定的（但非因果）系统的单位抽样响应。解：（1）对差分方程两边取单边Z变换，得 其中零点为0，极点为，收敛域：（因果系统）,（2）,（3）因果系统稳定的条件是极点都在单位园内，此系统

25、极点,在单位圆外，故系统不稳定。,满足差分方程的稳定（但非因果）系统得单位抽样响应为,解：（1）,（2）,（3）,（4）,5已知滤波器幅度平方,（2）,（3）,（1）,分别求出各自的传递函数,解：（1）=按稳定性的要求选取极点，按最小相位条件选取零点，零极点应全部选在左平面，则滤波器传递函数为,（2）=按稳定性的要求选取极点，按最小相位条件选取零点，零极点 应全部选在左平面，则滤波器传递函数为,（3）=按稳定性的要求选取极点，按最小相位条件选取零点，零极点 应全部选在 左平面，则滤波器传递函数为,16利用教材中的表格，确定三阶巴特沃思低通滤波器的传递函数，设其3dB截止频率为1kHz。解：巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数为 其中 查表,