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1、主讲：李雪飞,中国剩余定理在RSA算法中应用的研究实验,研究背景,RSA 签名是一种最常用的数字签名方法。然而，RSA 算法中的大数的模幂运算比较费时，这一直是制约着RSA 发展的瓶颈。早期，人们建议使用较小的加密指数或解密指数以加快加密或解密(签名)等基本运算，但是，1990 年Wiener提出当私钥d 小于模数N1/4 时，RSA 密码系统是不安全的。,2023年7月19日,2,中国剩余定理,2023年7月19日,3,孙子算经中的题目：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？,中国剩余定理,孙子算经中的解法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数
2、二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。,中国剩余定理,(CRT)3,4,5设p1,p2,ps是两两互素的正整数,即GCD(pi,pj)=1(ij),对于任意整数d1,d2,ds(0dipi-1,i=1,2,s),同余式方程组 xd1(modp1)xd2(modp2)xds(modps)在0到N=pi内有惟一解。,2023年7月19日,5,中国剩余定理,根据高斯算法，中国剩余定理的解为X=(b1M1y1+b2M2y2+bkMkyk)mod N，其中N=nln2nk，Mi=N/ni=n1n2ni-1ni+1nk，i=1,2,k,yi满足yi=
3、Mi-1 mod ni。由此可见，中国剩余定理为对高位宽(如1024bit)大数的模幂运算转化成对低位宽(如512bit)相对较小的数进行模幂运算提供了可能。,2023年7月19日,6,中国剩余定理用于RSA,2023年7月19日,7,基于中国剩余定理，RSA 模幂运算可转化为以下运算过程：（1）计算Cp=C mod p，Cq=C mod q；（2）计算Mp=CpDp mod p，Mq=CqDqmod q；其中Dp=D mod(p-1)，Dq=D mod(q-1)，对于给定素数p、q及密钥而言是常数，可以预先计算出来。（3）计算Sp=Mp(q(p-1)mod N)mod N，Sq=Mq(p(q
4、-1)mod N)mod N；其中，q(p-1)mod N 和p(q-1)mod N 是仅仅决定于素数p、q 和模N 的常数，可以预先计算出来。（4）计算M=(Sp+Sq)mod N,中国剩余定理用于RSA,2023年7月19日,8,假定模数N 的二进制长度为k，则其两个素因子p和q的长度分别为k/2，出于安全性考虑，私钥d的二进制长度应与模数N相当，也为k。dp、dq、p-1 mod q、q-1mod p可预先计算好，二进制长度均为k/2。从上述运用中国剩余定理计算模幂的过程可知S 计算过程的主要工作花在计算Cp 和Cq上，最后，一步合成C只是两次乘法和一次加法运算，在计算时间复杂度时可忽略
5、不计。,中国剩余定理用于RSA,2023年7月19日,9,使用传统算法计算Cp 和Cq需要3/2*(k/2)次k/2比特的模乘运算，总共需要s1=2*3/2*(k/2)*(k/2)2=3/8*k3次位操作。如果不用中国剩余定理，直接计算需要s2=3/2*k3次位操作。因此，使用中国剩余定理计算模幂乘比不使用大约快了4倍。,四素数RSA算法,在传统双素数SA 密码算法基础上，把素数个数取为4，算法依然成立，其描述如下:1)随机选取4 个不同的大素数p，q，r和s，计算n=pqrs，(n)=(p1)(q1)(r1)(s1)。2)取加密密钥e=65537，计算出私钥d，满足de1 mod(n)。3)
6、加密解密过程与传统算法一样，仍为:加密算法c=E(m)me mod n解密算法m=D(c)cd mod n,2023年7月19日,10,中国剩余定理用于四素数RSA算法,运用中国剩余定理，对消息摘要D 的数字签名可转换为以下运算过程:1)计算mp=D mod p，mq=D mod q，mr=D mod r，ms=D mod s;2)计算dp=d mod(p1)，dq=d mod(q1)，dr=d mod(r1)，ds=d mod(s1);3)计算M1=mpdp mod p，M2=mpdq mod q，M3=mrdr mod r，M4=msds mod s;4)计算S=(M1(qrs)p1+M2
7、(prs)q1+M3(pqs)r1+M4(pqr)s1)mod n，即得出签名S。,2023年7月19日,11,四素数RSA算法的复杂度,假定模数N 的二进制长度为k，则其四个素因子p、q、r和s的长度分别为k/4，出于安全性考虑，私钥d的二进制长度应与模数N相当，也为k。dp、dq、dr、ds、p-1 mod qrs、q-1mod prs、r-1 mod pqs、s-1mod pqr可预先计算好，二进制长度均为k/4。从上述运用中国剩余定理计算模幂的过程可知S 计算过程的主要工作花在计算Cp、Cq、Cr和Cs上，最后，一步合成C只是16次乘法和3次加法运算，在计算时间复杂度时可忽略不计。使用
8、传统算法计算Cp、Cq、Cr和Cs需要3/2*(k/4)次k/4比特的模乘运算，总共需要s1=4*3/2*(k/4)*(k/4)2=3/16*k3次位操作。,2023年7月19日,12,四素数RSA算法,2023年7月19日,13,RSA算法实现,2023年7月19日,14,RSA算法实现,2023年7月19日,15,1 Yunfei Li,Qing Liu,Tong Li.Design and Implementation of an Improved RSA AlgorithmJ,International Conference on E-Health Networking,Digital
9、 Ecosystems and Technologies,2010,3903932 费晓飞，胡捍英.CRT-RSA 算法安全性分析M.微计算机信息,2009.(1-3):37383 武滨，使用中国剩余定理提高RSA算法效率安全性分析及改进方法J.网络与安全技术,2006,(3):7880.4 肖振久，胡驰，陈虹.四素数SA 数字签名算法的研究与实现J.计算机应用,2013,33(5):13741377.5 张宏，刘方园.四素数RSA 加密算法的研究与分析J.为计算机信息,2010,26(5-3):2930.6 李云飞，柳青，赫林，周保林.一种有效的RSA 算法改进方案J.计算机应用,2010,30(9):23932397.7柳青,李云飞,周保林,彭华.基于多素数的批处理RSA算法的研究J.计算机应用研究2011.28(2):714-716 8 贺毅朝，刘建芹，陈维海.中国剩余定理在RSA解密中的应用J.河北省科学院学报,2003,20(3):138143.,2023年7月19日,16,参考文献,2023年7月19日,17,谢谢观看,
