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1、3.1 磁感应强度3.2 恒定磁场的基本方程3.3 磁矢量位3.4 磁偶极子3.5 磁介质中的场方程3.6 恒定磁场的边界条件3.7 标量磁位,第三章 恒定电流的磁场,3.1 磁感应强度,毕奥-萨伐尔定律,在真空中载有电流 的回路 上任一线元 对另一载有电流 的回路 上任一线元 的作用力表示为：,这里：与 称为电流元矢量，是 到 的距离矢量，可以表示为：,回路 受到回路 的作用力为：,应理解为第一条回路在空间产生磁场，第二条回路在这一磁场中受力，即公式可改写为：,令,单位：特斯拉(T),若电流不是线电流，而是具有空间分布的,电流元 在外磁场 中的受力可统一表示为：,如果是面电流 产生的磁场，有
2、,可以用上式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是,如果空间还存在外电场E，电荷q受到的力还要加上电场力。这样，就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受到的电磁力为,上式称为洛仑兹力公式。,1.磁场的散度,1）磁通量：磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量，单位为Wb，,3.2 恒定磁场的基本方程,若S是一个封闭曲面：,现在以载流回路 产生的磁感应强度为例，计算恒定磁场在一个闭曲面上的通量，,上式中，故可将其改写为,再由矢量恒定式：,则有：,因梯度场为无旋场：,应用高斯定理,2.真空中恒定磁场的旋度,安培环路定律,安培
3、根据毕奥萨伐定律总结出磁感应强度与电流的一般规律:真空中磁感应强度沿闭合路径的线积分等于该闭合路径包围电流的代数和乘以0,取与回路成右螺旋关系的电流为正,反之为负。数学表示式为,安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。,如图所示,电流的代数和,根据斯托克斯定理,上式中S是由闭合路径包围的任一曲面,设J为体电流面密度.,再由：,可得：,同样基于S的任意性：,安培环路定理的微分形式,安培环路定理的微分形式说明：磁场是有旋场，其漩涡源就是电流。,对于对称分布的电流，可以采用安培环路定律的积分形式，从电流计算出磁场。,例3.1 半径为a的无限长直导线，载有电流，计算导线内外的磁感应强度。,解
4、：取导线中轴线与Z轴重合，建立圆柱坐标系，由对称性可 知，磁场的分布与 无关，只是 的函数，且只有 分量。,取积分路径为以 为半径的圆，依据安培环路定理：,由电流的分布为：,当 时，有：,可以得到：,当 时，有：,可以得到：,3.3 恒定磁场的矢量磁位,3.4.1 矢量磁位A,根据场论恒等式,又由于,可以得到：,为确保矢量磁位的唯一性，引入库仑规范：,对于无源区矢量磁位满足的拉普拉斯方程为：,对于有源区矢量磁位满足的泊松方程为：,根据矢量恒等式,在直角坐标系中，有：,从而可以得到矢量磁位A(r)满足的泊松方程的分量形式：,类似于,与静电场中电位满足的泊松方程进行对比，可以得到磁矢位分量的解为：
5、,将其写为矢量形式，有：,如果电流分布在表面S上,则,如果电流分布在细导线回路中,则得,说明：以上三个计算磁矢位的公式，均假定电流分布在 有限区域，且磁矢位的零点取在无穷远处(与静 电位的积分公式类似)。,矢量磁位解的形式隐含着一个重要的性质,就是恒定电流分布在有限空间的条件下,A的散度是零,即,另外，引入矢量磁位可以简化磁通量的计算：,例 3 1 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。,解：,r a,ra,从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即,ra时，,由于 处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出：,将磁矢位代入公式，得,可以求出导线内、外的磁场分别为,导体外部的磁感应强
6、度为,由边界条件可得：,例 3.2 试计算小电流环（磁偶极子）在远处产生的矢量 磁位和磁感应强度。,图 3.3 磁偶极子磁场 的计算,分析：,xoz,解,圆环上的电流元Idl在场点P产生的矢量磁位可表示为,式中,如果 时，,由图可知：,式中，S是细导线圆环的面积，而IS是载流回路磁矩的模值。,3.4 磁偶极子,1.磁偶极子定义：一个载有恒定电流的小型闭合回路。,2.磁偶极子的磁矩,对上式取旋度，有：,3.磁偶极子的磁场,1）磁偶极子的磁力线是没有头尾的闭合曲线。,2）位于外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场的作用力及其力矩：,3.5 磁介质中的基本方程,1 物质的磁化,1）抗磁性物质与顺磁性物质,
7、2）磁化强度矢量,图 3-14 磁化电流示意图,2 磁化介质产生的场,设介质内部 处体积 内的磁偶极矩为，它在 处产生的磁矢位为：,体积为 的全部极化介质，在 处产生的磁场为：,M相当于一个体电流密度,称为束缚体电流密度,用Jm来表示:,而M 对应一个面电流密度,称为束缚面电流密度,用 表示:,例 3-7 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3-15 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。,图 3 15 例 3-7用图,解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=M0ez，由磁化
8、电流的计算公式：,在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，,在界面r=a上，n=er,3 磁场强度,磁介质中的磁场应由传导电流和束缚电流共同产生,真空中安培环路定律的微分形式应改写为,上式可变形为：,令,称H为磁场强度。,(A/m),1）磁场强度的引入,引入磁场强度后，安培环路定律的积分与微分形式可分别表示为为：,2）B和H的关系,其中系数m称为介质的磁化率,是一个无量纲的常数,它取决于材料。顺磁介质中m0,抗磁介质中m0,真空中m=0。,令,于是,式中，r=1+m，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B
9、和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。,4 磁介质中恒定磁场的基本方程,磁介质中描述磁场的基本方程为：,相应的微分形式为：,例 3 8 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 3-16 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。,图 3-16 同轴线示意图,当ra时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得,解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小
10、只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律，求出各区的磁场强度H，然后由H求出B和M。,考虑这一区域的磁导率为0，可得,(r a),(r a),当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得,(arb),当brc时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为,则,当rc时，这一区域的B、H、M为零。,3.6 恒定磁场的边界条件,1 B的法向分量,仿第二章推导方法即可得,设底面和顶面的面积均等于S。将积分形式的磁通连续性原理(即S BdS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋于零，得,2 H的切向分量,将介质中积分形式的安培环路定律,应用在这一回路，得,界面上
11、的电流可以看成面电流，进而,于是有,考虑到l=bn,得,使用矢量恒等式,则有：,由上式可得：,当介质表面不存在面电流分布时:,式中1、2分别为磁场强度H与交界面法线方向的夹角,将上两式相除则得,磁场经过介质分界面时要突变,当然包含方向的改变,根据式 和式,可改写为,3.7 标量磁位,恒定磁场和静电场不同,它是有旋场,因而不能用标量位函数来表示。但是在没有传导电流的区域中,H的旋度等于零,在这种无传导电流的区域中,可写为,上式m称为磁场的标量位,简称标量磁位或磁标位,式中负号是为了与静电场相对应而人为地引入的。,在没有传导电流的分界面上,采用与静电场类似的方法，由H1t=H2t及B1n=B2n可
12、得标量磁位满足,在均匀介质中,3.8 自感与互感,3.8.1 自感,在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量也是与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和。称总磁通为磁链，用表示。,若当穿过回路的磁链 是由回路本身的电流I 产生的，则磁链与电流的比值,称为自感，单位是H(亨利)。自感的大小决定于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率。,回路导线的截面积为有限值，所以穿过导线外部的磁链称为外磁链，用 表示，由它计算的自感称为外自感，穿过导线内部的磁链称为内磁链，用 表示，由内磁链算出的自感称为内自感。,外自感的计算,1 外自感的计
13、算,其中：,则穿过以l为边界的面积上的磁链是,根据外自感的定义可得,计算单匝线圈导线回路的内自感时,通常回路尺寸比导线截面积尺寸大得多,则导线内部的磁场可近似地认为与无限长直导线内部的磁场相同。设导线的半径为a,磁导率为0,则应用安培环路定律算得导线内距轴线处的磁通密度是,2 内自感的计算,导线内部磁力线是以轴线为中心的同心圆,在导线长度为l范围内,穿过处厚度为d的矩形截面的磁通为di=Bds=B l d,由此可得,故总磁链为,因而一段长度为l的圆柱形导体的内自感是,单位长度的内自感为,它与导体半径无关。,3.8.2 互感,两回路间的互感,第 2 回路对第 1 回路 的互感应为,回路 1 对回
14、路 2 的互感(或称互感系数),根据定义,计算互感系数M21可首先计算回路电流I1与第2回路相交链的磁链,则,所以,同样可求得回路 2 对回路 1 的互感系数,例 3-9 求无限长平行双导线(如图 3-21所示)单位长外自感。,图 3-21 平行双导线,解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为,磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为,所以单位长外自感为,3.9 磁场能量,类似于静电场的能量可以用D和E表示，磁场能量也可用磁场矢量B和H表示，,磁场能量密度为：,在均匀，线性，各向同性的媒质中：,例 4.11 一半径为a(m)的圆形截面
15、的无限长直铜线,通过电流为I(A),在铜线外套一个与之同轴的磁性材料制成的圆筒,圆筒内、外半径分别为c(m)和b(m),相对磁导率r=2000。试求:圆筒内的磁场强度和磁通密度;通过圆筒中每单位长度的总磁通量;圆筒中的磁化强度M;圆筒中的束缚电流密度;圆筒壁内外的磁场。,解(1)应用安培环路定律:,式中I仅为传导电流的代数和。在磁性圆筒横截面上取一半径为的圆作为闭合路径l,则,于是,(2)通过圆筒中每单位长度的总磁通量为：,（3）圆筒中的磁化强度M;,(4)材料中束缚体电流密度是,内、外表面的束缚面电流密度是:,(5)当a时,则,则,解法1：,则,解法2:磁性圆筒产生的磁场等效为在真空中束缚电流 产生的磁场。,则,由上计算表明,b处的磁场和没有圆筒时的场相同,这是由于磁性圆筒内、外表面束缚电流相互抵消的缘故。而磁性圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流,所以,
