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1、主要内容（1.5学时）,一、协方差(重点)二、相关系数（重点）三、不相关与独立的关系（重点）四、矩、中心矩简介,第三节 协方差与相关系数,一、协方差（重点）,1、引入背景,二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？n维变量间的关系,举例：,（1）不同地区气温间的关系；,（2）人的身高、体重间的关系；,（3）不同股票收益率间的关系；,（4）公司经营业绩与资本结构间的关系。,(X,Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y),协方差为X,Y偏差 X-E(X)与Y-E(Y)乘积的数学期望,(3)当X，Y相同时，Cov(X,X)=D(X)=Var(X).
2、,2、协方差的定义,说明：,(2)Cov(X,Y)0，正相关；Cov(X,Y)0,负相关。=0，不相关,(4)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),(2)对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(3)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b是常数,3、协方差的主要性质,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(最常用计算方法),(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),(6)若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.不相关,证:(1)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)
3、E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),(3)Cov(aX,bY)=EaX-E(aX)bY-bE(Y),=ab cov(X,Y),=Eab X-E(X)Y-E(Y),(4)Cov(X1+X2,Y)=EX1+X2-E(X1+X2)Y-E(Y),=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),=EX1-E(X1)Y-E(Y)+E X2-E(X2)Y-E(Y),(6)X与Y独立 E(XY)=E(X)E(Y),Cov(X,Y)=0.,二、相关系数（重点）,1、相关系数的定义,说明：,(2)相关系数无量纲，消除了量纲不同对相关程度的影响。,(3)与Cov(X,Y)同号。0,正相关；0,负相关；=0,不相关,
4、2、相关系数的性质,结论：,0D(Y-tX)=t2D(X)-2t Cov(X,Y)+D(Y),D(Y-tX)=,证1:(1)根据方差的性质，对于任意实数t,三、不相关与独立的关系（重点）,1、若X与Y独立，则X与Y不相关。,X与Y独立，Cov(X,Y)=0,2、X与Y不相关,X与Y不一定独立。,反例：见下页,3、(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立 X与Y不相关,即对正态分布来说，独立与不相关等价。,反例（P87-例2）设(X,Y)的分布律为：,从而COV(X,Y)=0,不相关,PX=-1PY=0=1/8 PX=-1,Y=0,X,Y不独立。,四、矩、中心矩简介,设X和Y是随机变量,数学期望E(X)：一阶原点矩。,方差D(X)：二阶中心矩。,协方差Cov(X，Y)：二阶混合中心矩。,本节重点总结,1、协方差、相关系数的定义、性质及计算。2、不相关与独立间的关系。,
