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1、第1章 行列式,行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用克莱姆法则.,2,第1章 行列式,n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则行列式的一个简单应用数学实验,3,第1.1节 n阶行列式的定义,本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义转置行列式,返回,4,1.二阶与三阶行列式,(1)二阶行列式,为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：,5,上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，
2、引进如下记号：,称其为二阶行列式.,据此，解中的分子可分别记为：,6,例1 解二元线性方程组,解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式,方程组有惟一解.又,于是方程组的解为,7,(2)三阶行列式,称为三阶行列式.,三元素乘积取“+”号；三元素乘积取“-”号。,主对角线法,8,例2 计算三阶行列式,解:由主对角线法，有,9,例3 解线性方程组,解：系数行列式,方程组有惟一解.又,于是方程组的解为,10,思考与练习（三阶行列式）,方程化简为(x-1)2=4,其解为x=3或x=-1；,答案,11,2.排列及其逆序数,(1)排列,由自然数1,2,n,组成的一个有序数组i1i2in称为一个n级排列.,如
3、：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：,123 132 213 231 312 321,（总数为 n!个）,注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)构成逆序.,12,(2)排列的逆序数,定义：在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为(i1i2in).,奇偶排列:若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.,=3=2,例4(2413)(312),例5(n(n-1)321)(135(2n-1)(2n)(2n-
4、2)42),=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2,=2+4+(2n-2)=n(n-1),13,对换：,在一个排列i1isit in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1itis in,这种变换称为一个对换,记为(isit).,例6,结论：对换改变排列的奇偶性.任意一个n级排列与标准排列12n都可以经过一 系列对换互变.,14,的证明,对换在相邻两数间发生，即设排列 jk(1)经j,k对换变成 kj(2)此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减
5、少1)若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列 ji1isk(3)经j,k对换变成 k i1is j(4)易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：k经s+1次相邻对换成为 kj i1is j经s次相邻对换成为 ki1is j 即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.|,15,思考练习（排列的逆序数）,1.(542163)(24(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)31）2.若排列的x1x2xn逆序数为I，求排列xn xn-1x1的逆序数.,答案,详解,继续,16,思考练习（排列的逆序数详
6、解）,方法1 在排列x1x2xn中，任取两数xs和xt(st),则它们必在排列x1x2xn或xnxn-1x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列x1x2xn中取两数的方法共有,依题意，有,故排列 x1x2xn 与 xnxn-1x1 中逆序之和为,此即,17,方法2,n个数中比i大的数有n-i个(i=1,2,n),若在排列x1x2xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1x1中对i构成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为,li+(n-i)-li=n-i(i=1,2,n),此即,18,3.n阶行列式定义,分析：,(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个
7、元素的乘积构成，除符号外可写为,(ii)符号为,“+”123 231 312（偶排列）“-”321 213 132（奇排列）,(iii)项数为 3！=6,19,推广之，有如下n 阶行列式定义,定义：n阶行列式,是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积,并冠以符号 的项的和.,(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；(iii)表示对所有的 构成的n！个排列求和.,20,例4 证明上三角行列式,证：由定义,和式中,只有当,所以,上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.,21,例5 计算,解,由行列式定义,和式中仅当,22,由于
8、数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明,定理:n阶行列式D=Det(aij)的项可以写为,其中i1i2in和j1 j2 jn都是n级排列.,或,另一定义形式,另一定义形式,推论:n阶行列式D=Det(aij)的值为,23,4.转置行列式,定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若,24,用定义计算,思考练习（n阶行列式定义）,答案,25,第1.2节 n阶行列式的性质,对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易,但对一般的、高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的
9、.因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算.,返回,26,性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）,证：事实上,若记 DT=Det(bij),则,解,例1 计算行列式,27,性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.,推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0.性质3 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即,推论(1)D中一行(列)所有元素为零，则D=0；(2)D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.,28,性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为
10、对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即,证,29,性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即,30,例2 计算行列式,解,31,解,32,解,33,例3 计算n阶行列式,解(2),解(3),解(1),34,解(1),注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有,返回,35,解(2),注意到行列式各行元素之和等于,有,返回,36,解(3),返回,箭形行列式,37,例4 证明,证,38,证,39,2.证明,1.计算行列式,思考练习（行列式的性质）,40,思考练习（行列式性质答案）,41,=右边,思考练习（行列式
11、性质答案）,42,第1.3 节 行列式按行（列）展开,1.行列式按一行（列）展开,余子式与代数余子式,在n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,返回,返回,43,例1 求出行列式,解,44,行列式按一行（列）展开定理,n阶行列式,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,45,证,(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即,而 A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;,46,(ii)当D的第
12、i行只有元素aij0时，即,将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列,经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后,aij 位于第1行、第1列,即,(iii)一般地,由(i),47,由(ii),48,推论 n阶行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即,49,证,考虑辅助行列式,0=,50,例2 计算行列式,解,法1,法2,选取“0”多的行或列,51,例3 计算行列式,解,计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.,52,例4 计算n阶行列式,解,53,解,54,例5 证明范得蒙行
13、列式（Vandermonde),证,用数学归纳法,55,假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形.,56,57,例6 已知4阶行列式,解,法1,法2,利用行列式的按列展开定理，简化计算.,58,59,思考练习（按行展开定理）,计算行列式,60,思考练习（按行展开定理详解1）,61,思考练习（按行展开定理详解2）,62,2.拉普拉斯（Laplace）定理,k阶子式 在n阶行列式中，任意选定k行、k列（1kn）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的
14、一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而,为其代数余子式.这里i1,i2,ik,j1,j2,jk分别为 k阶子式N的行标和列标.,63,在n阶行列式,拉普拉斯（Laplace）定理,任意取定k行(1 kn),由这k行元素组成的k阶子式N1,N2,V t 与它们的代数余子式 的乘积之和等于D，即,64,解,例7 计算行列式,65,一般地,66,第1.4节 克莱姆法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克莱姆法则）如果n元线性方程组,则方程组有惟一解,的系数行列式,返回,返回,67,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程
15、组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即,定理的结论有两层含义：方程组（1）有解；解惟一且可由式(2)给出.,68,证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式(2)给出的是方程组(1)的解.,69,下面证明解惟一.设xj=cj(j=1,2,n)为方程组(1)的任意一个解，则,以D的第j列元素的代数余子式 A1j,A2j,Anj依次乘以上式各等式，相加得,从而 Dcj=Dj 由于D0,因此,即方程组的解是惟一的.,70,推论1 如果线性方程组(1)无解或有两个不同解，则D=0；,的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.,可以证明,系数行列式D=0，是上述方程组有非零解的充分必要条件.,推论2 如果齐次线性方程组,71,例1 解线性方程组,解 系数行列式,72,例2 若齐次线性方程组,解 系数行列式,方程组有非零解，则D=0.于是=3或=0.,有非零解，求值.,73,例3,解,74,第1.5节 数学实验,利用命令Det可以计算行列式.例1 计算行列式,返回,75,
