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1、定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、维向量的概念,例如,二、维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.,向量,三、向量空间,空间,叫做 维向量空间,时，维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的 维超平面,确定飞机的状态，需要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角
2、,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,课堂讨论,在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明,四 有限个向量的向量组,1、矩阵的列向量组合行向量组都是只含有有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总是可以构成一个矩阵.m个n维列向量组成的向量组A构成 矩阵：m个n维行向量组成的向量组B构成 矩阵：总之，含有限个向量的有序 向量可以与矩阵对应。,五 向量组的线性组合,定义：给定向量组，对于任何一组实数，表达式：称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。给定向量组 和向量b，如果存在一组数，使得：则称向量B能由向量
3、组A线性表示。,定理1 向量b能由向量组 线性表示的充要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩。为了理解和证明定理1，引入概念线性表示和向量组等价.向量组B能由向量组A线性表示，如果向量组B中的每个向量都能够由向量组A线性表示。向量组A和向量组B等价，如果向量组A与向量组B能相互线性表示。,证明：把向量组A和B所构成的矩阵依次记作 及，若B组中的每个向量，存在数 使得从而有,这里，称为这一线性表示的系数矩阵.由此，若，则矩阵 的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵：,同时C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵：设矩阵A与B行等价，即矩阵A经初等行变换变成矩
4、阵B，则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量组都能由A的行向量组线性表示。由初等变换可逆，知矩阵B也可以经过初等行变换为A，从而A的行向量组也能由B 的行向量组线性表示。从而，A的行向量组与B的行向量组等价。,定理2 向量组 能由向量组 线性表示的充要条件是：推论：向量组 与向量组 等价的充要条件是：其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。,例1 设 证明：向量b能由向量组 线性表示并求出表示式。解：根据定理1，要证矩阵 与矩阵 的秩相等.为此把B化成 最简形 可见,向量b能由向量组 线性表示。于是，由上述行最简形，可得方程的通解为从而得表示式其中c可任意取值。,向量的表示方法：行向量与列向量；,向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；,向量在生产实践与科学研究中的广泛应用,四、小结,维向量的概念，实向量、复向量；,若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,思考题,如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,思考题解答,答36维的,
