《《线性相关性》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《线性相关性》PPT课件.ppt（33页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、一、线性组合,二、向量组的等价,3.3 线性相关性,三、线性相关性,四、极大无关组,设,一、线性组合,定义,称,向量 可表成向量组 的一个线性组,注：,1)若，也称向量 与 成比例.,为向量组 的一个线性组合,合，如果存在一组数 使得,也称向量 可由向量组 线性表出.,2）零向量0可由任一向量组的线性表出.,3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.,4）任一 维向量 都是向量组,也称为 n 维单位向量组,的一个线性组合,事实上，有对任意皆有,若能，写出它的一个线性组合,解：设，即有方程组,（1）,例1 判断向量能否由向量组线性表出.,对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,所以方程
2、组(1)有解它的一般解为,得(1)的一个解，,令,从而有,1、定义,二、向量组的等价,向量组等价.记为,若向量组 中每一个向量,若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个,可以经向量组 线性表出；,向量组之间的等价关系具有：,1)反身性：A A,2)对称性：,3)传递性:,2、性质,设A=，B=，C=为三个向量组,三、线性相关性,1、线性相关,注：特殊情形,2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.,定义1：如果向量组 中有一向量,称为线性相关的.,可经其余向量线性表出，则向量组,1）向量组 线性相关 成比例.,定义1：向量组 称为线性相关,的，如果存在 P 上不全为零的数,使,在 时，定义1与定
3、义1是等价的.,注：,例2 判断下列向量组是否线性相关.,定义2：若向量组 不线性相关，则称,若不存在 P 中不全为零的数，使,向量组 为线性无关的.,2、线性无关,即,则称向量组 为线性无关的.,必有,换句话说，,则称向量组 为线性无关的.,1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；,3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.,个向量可由其余向量线性表出.,3、线性相关性的有关性质,2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量,组一定线性相关.,唯一地线性表出.(习题3),都线性无关.,4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向,量组也线性相
4、关；,一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组,线性无关的充要条件是齐次线性方程组,只有零解；,的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.,6）向量组,（2）,特别地，对于n 个 n 维向量,行列式,行列式,线性无关.,线性相关；,的缩短组.,7）若向量组,线性无关，则向量组,也线性无关.,的延伸组；,注：,8）向量组线性相关的基本性质定理,定理2 设 与 为两个,i)向量组 可经 线性表出；,则向量组 必线性相关.,ii),向量组，若,要证 线性相关，即证有不全为零的数,使,证：,由i)，有,作线性组合,中，方程的个数 s 未知量的个数 r，,所以（3）有非零解.,则也使,推论2任意 n1
5、 个 n 维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数,的向量.,（任意 个 n 维向量必线性相关.）,例2判断向量组,是否线性无关？若线性相关，求一组非零数,使,解：,设,即有方程组,解之得,为任意数,所以线性相关.,令,则有,使,设,即,解之得,证：,1、极大线性无关组,极大线性无关组，简称极大无关组.,定义,线性表出；,四、极大线性无关组秩,3）一个向量组的极大无关组不是唯一的.,注,5）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,6）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,7）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同 个数的向量.,4）向量组和它的任一极大无关组等价.
6、,1）全为零向量的向量组没有极大无关组.,2）含有非零向量的任意向量组一定存在极大无关组.,定义向量组A的极大无关组所含向量个数称为这个,性质：,一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同；,它的秩它所含向量个数.,向量组的秩.记为 rank(A),R(A),or r(A).,2、向量组的秩,1）一个向量组线性无关的充要条件是,2）等价向量组必有相同的秩.,（习题12）,例4设,1）证明：线性无关.,2）把扩充成一个极大无关组.,1）证：,由于不成比例，,2）解：,线性无关.,由,即,线性相关.,即 可经线性表出.,由,解得,线性无关.,即 不能由线性表出.,即,知，,再由行列
7、式,存在不全为零的数使,线性相关.,故即为由 扩充的一个极大无关组.,例5求向量组,的极大无关组.,解：,作矩阵,对矩阵A作初等行变换化为阶梯形,由矩阵 B 知线性无关且为极大无关组.,附,求向量组的极大无关组的一般步骤：,则就是一个极大无关组.,第一步：作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步：用初等行变换化矩阵A为简化的阶梯阵 J.,若 J 中有 r 个非零行，则秩,设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为,阶梯形矩阵：满足下列两个条件的矩阵：1）每一行的首非零元素的列表随着行的增加而严格增加；2）零行（元素全为零的行）（如果存在）在非零行的下面。简化的阶梯形矩阵：满足下列两条件的阶梯形矩阵：1）每一行的首非零元素为1；2）首非零元所在列的其余元素全为零。性质：任一个非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形矩阵和简化的阶梯形矩阵。,
