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1、结 构 力 学,Structural Mechanics,主讲：姚金阶,三峡大学水环学院工程力学系,第5章 结构位移的计算,5.1 概述,一、结构的位移,1、线位移,结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。,（1）水平线位移：H,（2）铅直线位移：V,2、角位移：,3、“相对位移”与“绝对位移”,第5章,2、计算超静定结构必须考虑位移条件。,4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为“广义力”。,1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmaxl/600。,二、计算结构位移的目的,3、施工技术的需要。,第5章,
2、4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。,4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。,满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。,三、计算位移的有关假定,3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。,2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。,1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。,第5章,5.2 虚功原理与位移计算一般公式,一、基本概念,1、功：一般来说，力所作的功指力与力方向上位移乘积，大小与作用点移动路线的形状、路程的长短有关。,2、实功：力由于自身所引起的位移而作
3、功。,实功的计算式：,第5章,实功计算公式,第5章,3、虚功：当位移与作功的力无关时，且在作功的过程中，力的大小保持不变，这样的功称为虚功。,式中为总位移D在力P方向的投影。,虚功的计算式为：,4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：,（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，它应满足变形协调条件。,（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，它应满足静力平衡条件。,第5章,实功：,虚功：,虚功强调作功的力与位移无关。,FP1,FP2,1,2,11,21,12,22,1/2FP111,1/2FP222,FP112,FP221,设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合
4、约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。,二、变形杆件体系的虚功方程,虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。其具体表达式为：,当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为：,第5章,变形体系虚功方程具体形式：,外力虚功：,微段ds的内虚功dWi：,整根杆件的内虚功：,根据虚功方程W=Wi，所以有：,结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：,说明：1）只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。2）上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。3
5、）考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。,三、结构位移计算的一般公式 单位荷载法,1虚功方程的意义及应用,1）意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的乘积。,2）虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，以计算结构的未知力（如支座反力等）。,3）虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，以计算结构的未知位移（如挠度、转角等）。,第5章,1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。,对上述两种状态应用虚功原理：,即：,2、单位荷载法,第5章,2、计算结构位移的一般公式（欲求CV）,给定位移、变形,虚设平衡力系,5.3 荷载作用下静定结构的位移计算,一、位移计算公式的建立,根据
6、材力公式：,因无支座移动：,第5章,求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。,二、如何施加单位荷载（求线位移、角位移、相对位移）,第5章,例1：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载下内力,3）位移公式为,ds=Rd,钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见细长杆剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.,2）实际荷载下内力,三、位移计算公式的简化,1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：,2、桁架（只考虑轴力影响）：,第5章,3、拱：一般只考虑弯曲变
7、形,4、组合结构：,第5章,对扁拱（压力线与拱轴接近）：,例2 试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料相同，截面抗弯模量为EI。,第5章,解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯矩表达式,（2）荷载作用下（图1）的弯矩表达式,AB段：,BC段：,AB段：,BC段：,（3）将以上弯矩表达式代入求位移公式,第5章,例题3 试求图示桁架C点的竖向位移CV。各杆材料相同。,第5章,解：（1）在C点加一单位力，作出单位力作用下的桁架内力图（右图）,（2）作出荷载作用下的桁架内力图（左图）,第5章,练习题：试求图示连续梁C点的竖向位移CV和A截面的转角A,截面抗弯模量为EI。,答案：,
8、答案：,(1),(2),第5章,本节重点：,本节习题：5-2 5-8 5-10,5.5 图 乘 法,一、图乘法应满足的条件,1、杆件为等截面直杆。,2、EI为常数。,第5章,Mi=xtg,y0=x0tg,二、图乘公式推导,28,说明：1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0与的取值：y0一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。,29,三、常见图形的几何性质,例1求A点水平及垂直位移,解1（1）绘出荷载作用下
9、的弯矩图（Mp图）,（2）为求C点的竖向位移，在C处加一单位力，绘出（Mk1图）,（Mp图）,（Mk1图）,例题2 试求左图所示刚架C点的竖向位移CV和转角C。各杆材料相同，截面抗弯模量为:,第5章,（2）为求C点的转角，在C处加一单位力偶，绘出（Mk2图）,（Mp图）,（Mk2图）,第5章,四、使用乘法时应注意的问题 1、yo必须取自直线图形,MK图,MP图,yo,第5章,MK图,MP图,1,y1,2、当MK为折线图形时，必须分段计算；,2,y2,第5章,MK图,MP图,1,y1,3、当杆件为变截面时亦应分段计算；,2,y2,第5章,4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧时，
10、取负号。,MK图,MP图,P,yo,P,yo,第5章,MK图,MP图,1,y1,2,y2,5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；,第5章,MK图,MP图,6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。,a,b,c,d,l,第5章,MK图,MP图,6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。,a,c,d,l,第5章,例3：求图示梁中 B结点的竖向位移及 B两侧截面的相对转角位移。,解：（1）求B点竖向位移,先画弯矩 和,例4 求AB两点的相对水平位移。,6,3,),EI=常数,使用乘法时应注意的问题小结：1、yo必须取自直线图形；2、当MK为折线图
11、形时，必须分段计算；3、当杆件为变截面时亦应分段计算；4、图乘有正负之分；5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。,第5章,本节重点：,本节习题：5-18 5-19 5-22(I,2I)5-23 5-24(I=),44,5-6 温度变化时的位移计算,静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。,1.是温度改变值，而非某时刻的温度。,45,2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。,截面上、下边缘温差：,对于矩形截面杆件，。,杆轴线处温度改变值：,46,
12、3.微段ds的应变,拉应变,弯曲应变,剪应变,4.位移计算公式,47,小结：,2）,例题1 图示简支刚架内侧温度升高25C，外侧温度升高5C，各截面为 矩形，h=0.5m,线膨胀系数=1.010-5,试求梁中点的竖向位移 DV。,第5章,例题2 三铰刚架，支座B发生如图所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。,解：在要求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移公式计算位移：,（图2）,第5章,50,5-7 互等定理,互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。,一、虚功互等定理,考察同一结构的状态I
13、和状态II。,51,令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：,令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：,52,二、位移互等定理,定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。即 12=21,定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。,53,由功的互等定理可得：,在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：,或,于是,所以,54,55,例1 验证位移互等定理。,56,所以,例
14、6-6-2 验证位移互等定理。,57,解：,所以,58,三、反力互等定理,反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。,根据功的互等定理有：,59,在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即,或,所以,得,60,例6-6-3 验证反力互等定理。,可见：r12=r21,定理 在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。,61,四、位移反力互等定理,根据功的互等定理有：,令,62,位移反力互等定理在混合法中得到应用。,所以,由此得到,即,
15、定理 在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数，但二者符号相反。,63,例 验证位移反力互等定理。,补例1、试绘制图示结构内力图。,二、试绘制图示结构弯矩图。,第5章,第5章,第5章,补例2、试求图示桁架指定截面之内力。,第5章,A,B,C,D,P,P,0,E,1,1,（1）作1-1截面，研究其左半部：,（2）研究结点D：,（3）研究结点E：,K,第5章,P,P,1,2,3,4,a,a,a,a,a,a,A,B,C,P,P,0,3,3,（1）作1-1截面，研究其右半部：,（3）研究结点C：,1,1,2,2,
16、D,n,0,0,0,0,0,（2）作2-2截面，研究其右半部：,作3-3截面，研究其左半部：,第5章,1,2,3,4,P,P,a,a,2a,a,（2）作1-1截面，研究其右半部：,（1）研究结点A：,（3）研究结点C：,（4）研究结点G：,第5章,P,a,a,a,a,a,2a,1,2,3,1,1,P,3P/4,3P/4,A,C,D,G,F,E,B,补例3、试求图示结构A点的竖向位移。,q,a,B,A,EI,补例4、试求图示结构B点的水平位移。,qa,a,a,a,EI,EI,EI,A,B,第5章,（1）图乘法的适用条件是什么？,（2）图乘法的公式是怎样的？说明各符号的物理意义。如何图乘？,（3）使用图乘法时应注意什么问题？,复习思考,图乘法应满足的条件,1、杆件为等截面直杆。,2、EI为常数。,第5章,返回,图乘法公式及其物理意义,第5章,返回,使用乘法时应注意的问题 1、yo必须取自直线图形；2、当MK为折线图形时，必须分段计算；3、当杆件为变截面时亦应分段计算；4、图乘有正负之分；5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。,第5章,返回,
