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1、,项目8 用单位荷载法计算静定结构位移,了解结构产生位移的原因，并在功的概念下，理解做功的广义力与广义位移的对应关系；理解刚体的虚位移原理；会用由刚体虚位移原理导出的单位荷载法(图乘法)，计算简单静定结构(梁、刚架、桁架)的位移。,学 习 指 导,目 录,任务8.1 结构位移的概念任务8.2 变形体的虚功原理任务8.3 用虚功原理求静定结构的约束反力和内力刚 体的虚位移原理任务8.4 用虚功原理求支座位移引起静定结构的位移 刚体的虚力原理任务8.5 用虚功原理求静定结构在荷载作用下的位移 变形体的虚力原理(积分）,目 录,任务8.6 用虚功原理求静定结构在荷载作用下的 位移变形体的虚力原理(图
2、乘)任务8.7 用虚功原理求温度变化时静定结构的位 移变形体的虚力原理任务8.8 功的互等定理、位移互等定理、反力互 等定理和位移反力互等定理,任务8.1 结构位移的概念,8.1.1 结构位移产生的原因,任务8.1 结构位移的概念,8.1.2 结构位移的种类,图8-1,任务8.1 结构位移的概念,8.1.3 计算位移的目的,为力法解超静定结构、动力和稳定的计算打下基础,结构制造和施工的需要(施工控制),为了校核结构的刚度(刚度条件),任务8.1 结构位移的概念,8.1.3 计算位移的目的,图8-2,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.1 常力做功与常力偶做功、广义力及广义位移,图8-3,任务
3、8.2 变形体的虚功原理,8.2.1 常力做功与常力偶做功、广义力及广义位移,力和力偶都可能做功，故将其统称为广义力。在功的定义表达式中，力在其线位移上做功，力偶在其角位移上做功，故将线位移和角位移统称为广义位移。这样可以统一表述为：功是广义力与广义位移的乘积，功是有正负的代数量，单位是牛顿 米，即N m。,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.2 外力虚功,位移的双脚标符号,图8-4,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.2 外力虚功,外力的实功和虚功,图8-5,这种由力在本身引起的位移上所作的功称为实功。,对于实功，引用关系式，有,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.2 外力虚功,外力的
4、实功和虚功,图8-6,由力在其他因素引起的位移上作的功称为虚功，产生这种功的力和位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态量。,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.2 外力虚功,外力的实功和虚功,图8-7,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.2 外力虚功,计算虚功的两种状态,图8-8,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.3 变形体的虚功原理,设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在相应位移上所做的外力虚功T恒等于整个变形体各个微段内力在变形上所做的内力虚功W，即,虚功原理,任务8.2 变形体的虚功原理,8.2.4 虚
5、功原理的两种应用,虚位移原理,虚力原理,当选择真实状态的广义力和虚拟状态的广义位移计算虚功时，就可以由虚功原理 求出真实状态的广义力。,当选择真实状态的广义位移和虚拟状态的广义力计算虚功时，就可以由虚功原理 求出真实状态的广义位移。,任务8.3 刚体的虚位移原理,【例8-1】求如图8-9所示支座B的反力及D截面的内力。,图8-9,任务8.3 刚体的虚位移原理,(1)计算支座反力FRB。,图8-10,图8-11,任务8.3 刚体的虚位移原理,(1)计算支座反力FRB。,任务8.3 刚体的虚位移原理,(1)计算支座反力FRB。,现直接用式，即用单位虚位移法计算支座B的反力，其过程如下：,任务8.3
6、 刚体的虚位移原理,(2)求D截面的弯矩。,图8-12,图8-13,任务8.3 刚体的虚位移原理,(2)求D截面的弯矩。,任务8.3 刚体的虚位移原理,(3)求D截面的剪力,图8-14,图8-15,任务8.3 刚体的虚位移原理,(3)求D截面的剪力,现直接用式，计算D截面的剪力,任务8.3 刚体的虚位移原理,“施加相应的单位虚位移”是指与所求反力或内力(广义力)能够构成功的广义位移。,任务8.4 刚体的虚力原理,【例8-2】用虚功原理计算如图8-22所示简支梁支座B产生竖直向下位移c时，引起的跨中截面D的位移 D。,图8-22 图8-23,任务8.4 刚体的虚力原理,由于静定结构支座产生位移时
7、，犹如机构运动，不产生内力，因此，内力虚功等于零，虚功原理退化为刚体的虚力原理，即,任务8.4 刚体的虚力原理,用两种状态来计算外力虚功T，如果用带有顶标横线的字母表示虚拟状态的量，用不带有顶标横线的字母表示真实状态态的量，那么以上计算可表示为,任务8.4 刚体的虚力原理,【例8-3】用虚功原理计算如图8-24所示静定梁支座A产生转角=0.01rad，支座D产生向下竖直位移c=20mm时，引起的自由端截面E的竖直位移E。,图8-24,任务8.4 刚体的虚力原理,图8-25,取副梁BDF为研究对象，求产生线位移的连杆支座D的支座反力，有,任务8.4 刚体的虚力原理,再取整体为研究对象，求出产生角
8、位移的固定支座A的约束反力偶，有,根据虚功原理，有,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.1 内力虚功的计算,图8-26,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.1 内力虚功的计算,变形体的虚功原理表达式,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.2 线弹性材料的虚功原理,平均切应变,弯曲应变,轴向应变,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.2 线弹性材料的虚功原理,k的取值如下所示：即截面形状系数k在截面为矩形时等于1.2；圆形时等于10/9；工字型时等于总截面面积除以腹板面积。,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.2 线弹性材料的虚功原理,对线弹性材料，
9、变形体的虚功原理可表示为,经计算结果表明：对不同的性质的杆，3种内力对内力虚功的贡献不一样，故不同的结构可按如下公式计算内力虚功，即可满足一般工程实践的需要。,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.2 线弹性材料的虚功原理,梁和刚架：(仅取内力虚功中的一项)桁架：组合结构：拱：微弯曲杆(同梁)：(也仅取一项),任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,【例8-4】用虚功原理计算如图8-27所示自由端受集中力作用的悬臂梁自由端B截面的竖直位移和转角(梁的抗弯刚度为EI)。,图8-27,任务8.5 变形体的虚力
10、原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,(1)为计算B截面的实际竖直位移，应该假设原结构的一个力状态。,图8-28,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式，有,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,(2)为计算B截面的实际转角位移，应该假设原结构的一个力状态。,图8-29,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的
11、虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,【例8-5】用基于虚功原理的单位荷载法(积分)计算如图8-30所示跨中D受集中力作用简支梁跨中截面D的绕度和铰支端B转角(梁的抗弯刚度为EI)。,图8-30,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,解 对梁用变形体虚功原理只计及弯矩的内力虚功，故写出弯矩表达式。以题目所示真实状态作为位移状态，则位移
12、状态的弯矩方程为,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,(1)为计算D截面的实际竖直位移，应该假设原结构的一个力状态。,图8-31,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式，有,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,(2)为计算B截面的实际转角位移，应该假设原结构的一个力状态。,图8-32,任务8.5 变形体的虚
13、力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,将两个弯矩表达式代入变形体虚功方程式，有,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,通过以上两个例题，对于线弹性材料的变形体虚功原理式,在用单位荷载法计算静定结构的位移时，可以改写为如下形式,任务8.5 变形体的虚力原理(积分),8.5.3 用线弹性材料的虚力原理按单位荷载法)计算静定结构在荷载作用下的位移计算,在工程上，对不同结构又可以简化为,梁和刚架：(仅取内力虚功中的一项)桁架：组合结构：拱：微弯曲杆(同梁)：
14、(也仅取一项),任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.1 图乘法公式及其应用条件,杆段必须是等截面直杆,1,杆段必须为同一种材料组成,2,M图和MP图中至少有一为直线图,3,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.1 图乘法公式及其应用条件,图8-33,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.1 图乘法公式及其应用条件,又在图示坐标系，弯矩图MP总面积A的形心C的x坐标为于是，,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.2 常用图形的面积和形心位置,在荷载作用下，梁和刚架的位移计算可用图乘法计算：,对于凸抛物线，对于凹抛物线，,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.
15、6.2 常用图形的面积和形心位置,二次抛物线的面积和形心位置如图8-34所示。,图8-34,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.3 折线分段图乘与变截面分段图乘,图8-35,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.3 折线分段图乘与变截面分段图乘,图8-35,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.4 复杂图形分块图乘(面积和形心位置难确定),图8-36,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,【例8-6】求如图8-37(a)所示承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。,图8-37,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例
16、,【例8-7】求如图8-38(a)所示悬臂梁自由端挠度。,图8-38,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,【例8-7】求如图8-38(a)所示悬臂梁自由端挠度。,如图8-38(b)所示，有,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,【例8-7】求如图8-38(a)所示悬臂梁自由端挠度。,如图8-38(c)所示，有,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,【例8-8】求如图8-39(a)所示伸臂梁悬臂端转角(跨内外分段、分块)。,图8-39,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移
17、举例,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,【例8-9】求如图8-40(a)所示刚架D截面的竖直位移。,图8-40,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,【例8-10】求如图8-41(a)所示三铰刚架铰C左、右两截面的相对转角，EI=常数。,图8-41,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,【例8-11】求如图8-42(a)所示组合结构位移(注意：区分梁式杆与链杆公式)。,图8-42,任务8.6 变形体的虚力原理(图乘),8.6.5 图乘法计算位移举例,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.1 基本
18、分析,静定结构温度变化时不引起内力，但结构产生会变形和位移，可应用单位荷载法的位移公式来求解。,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.2 温度变化时变形微元分析，应变 和曲率 的计算,图8-43,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.2 温度变化时变形微元分析，应变 和曲率 的计算,当材料线膨胀系数为，微段ds变形为：,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,计算温度变化引起的位移公式,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,【例8-12】如图8-44所示，各杆均为矩形截面，高为h，材料的热膨胀系数为，各杆内侧升温为10，外侧温度不变
19、，求温度变化引起截面C的水平位移。,解(1)根据题意，在C截面虚设水平单位荷载。(2)画单位荷载作用下的内力图。,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,图8-44 图8-45,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,(3)计算每根杆件的平均温变t0和内外侧温差t。,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,(4)求C点的水平位移。,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,【例8-13】试求如图8-46(a)所示刚架C点的竖向位移。a=4m，=0.00001，各杆截面为矩形，截
20、面高度h=40cm，各杆内外侧温度变化如图8-46(a)所示，在集中力P作用下产生的弯矩图和剪力图如图8-46(b)和图8-46(c)所示。,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,图8-46,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,【例8-14】如图8-47所示刚架里面温度上升，外面温度不变，求K点的竖向位移。各杆具有相同的矩形截面，其高为。,图8-47,任务8.7 变形体的虚力原理,8.7.3 计算温度变化引起的位移公式,任务8.8,8.8.1 线弹性体系的功的互等定理,任务8.8,8.8.1 线弹性体系的功的互等定理,图8-48,任务8.8,8.8.1 线弹性体系的功的互等定理,(1)首先，令状态的力状态在状态的对应位移上做虚功。,(2)其次，令状态的力状态在状态的对应位移上做虚功。,任务8.8,8.8.1 线弹性体系的功的互等定理,(3)结论。,功的互等定理,图8-49,任务8.8,8.8.2 线弹性体系的位移互等定理,图8-50,任务8.8,8.8.3 反力互等定理,图8-51,图8-52,任务8.8,8.8.4 位移反力互等定理,图8-53,谢 谢！,
