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1、第15章 结构的稳定计算,15-1 两类稳定问题概述,15-2 两类稳定问题计算简例,15-3 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,15-4 无限自由度体系的稳定静力法,15-5 无限自由度体系的稳定能量法,15-6 无限自由度体系稳定的常微分方程求解器法,15-7 刚架的稳定矩阵位移法,15-8 组合杆的稳定,15-9 拱的稳定,15-10 考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析,15-11 用求解器求临界荷载和失稳形态（略）,15-12 小结,稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消 失后，能回到原来的平衡位置。,不稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰 消失后，继续偏离。,中
2、性平衡状态：由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。,失稳：随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡位置可能 有稳定平衡状态转化为不稳定平衡状态。,1 分支点失稳,FP1Pcr时，压杆处于稳定的直线平衡状态,FP2Pcr时，压杆可能处于直线的平衡状态。曲线的平衡状态。,分支点：两条平衡路径的交点。,2 极值点失稳,在荷载极值点处，平衡路径由稳定平衡变为不稳定平衡。,特征：平衡形式不出现分支现象。,（1）按大挠度理论,倾斜位置的平衡条件为,15-2 两类稳定问题计算简例,1 单自由度完善体系的分支点失稳,考虑,得,第一个解：,第二个解：,A点为分支点。,路径的平衡是不稳定平衡。,稳定验算时，通常考虑初始
3、缺陷，按不完善体系进行。,（2）按小挠度理论,若,则倾斜位置的平衡条件为,得,路径的平衡是随遇平衡。,小挠度理论能够给出临界荷载的正确结果，不能反映倾角较大时，平衡路径的下降趋势。,（1）按大挠度理论,平衡条件为,2 单自由度非完整体系的极值点失稳,解得,由,得,解得,非完善体系的失稳形式是极值失稳。,（2）按小挠度理论,若,得平衡条件为,解得,与大挠度理论相比，对于非完整体系，小挠度理论未能给出临界荷载会逐渐减小的结论,一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。,分支点失稳的特征是在交叉点出现平衡形式的二重性。,极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值
4、点。,结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确结论。,小挠度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。,3 几点认识,确定临界荷载的方法,静力法：根据临界状态的静力特征提出的方法。,能量法：根据临界状态的能量特征提出的方法。,15-3 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者的交叉点，求出临界荷载。,新平衡位置的平衡条件为,考虑,得,1 静力法,在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值条件，求出临界荷载。,弹簧应变能为,荷载势能为,体系的势能为,2 能量法,应用势能驻值条件：,得,取非零解，得,讨论势能,是位移的二次抛物线,
5、临界状态的能量特征：势能为驻值，且位移有非零解。,FPk/l,势能EP恒为正，体系在原始平衡状态时，势能为极小。原始平衡状态是稳定的。,FP=k/l,势能EP恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态。,FPk/l,势能EP恒为负，体系在原始平衡状态时，势能为极大。原始平衡状态是不稳定的。,例15-1 试用两种方法求图示体系的临界荷载FPcr。,解(1)静力法,变形状态的平衡条件为,即,由,得两个特征值,最小的特征值为临界荷载,特征向量,特征向量,（2）能量法,D点的水平位移为,弹性支座的应变能为,荷载势能为,体系的势能为,应用势能驻值条件,得,势能驻值条件等价于位移表示的平衡方程。,能量法求多
6、自由度体系临界荷载FPcr的步骤：,（1）写出势能表达式，建立势能驻值条件。,（2）应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求出荷载的特征值FPi。,（3）FPcr=minFPi。,讨论势能EP的正定性,15-4 无限自由度体系的稳定静力法,与有限自由度体系的区别：平衡方程是微分方程,弹性曲线的微分方程,改写为,其中,解,引入边界条件，得,非零位移条件,展开，得,例15-2 试求图示排架的临界荷载和柱AB 的计算长度。,解,在临界状态下，弹性曲线的微分方程为,弹性支座的刚度系数,并可改写为,其中,上式的解为,引入边界条件，得,讨论,（1）I2=0，k=0,因EI1为有限值，故,方程最小根为,计算
7、长度为,（2）I2=，k=,方程最小根为,计算长度为,（3）,若I2=I1，k=3EI1/l3,计算长度为,用试算法求得,例15-3 试求图示阶形柱的特征方程。,解 弹性曲线微分方程,改写为,式中,解为,引入边界条件，由非零解条件，得,若,则,15-5 无限自由度体系的稳定能量法,令压杆的变形曲线为,弯曲应变能为,以图示体系为例说明,与FP相应的位移,荷载势能为,体系的势能为,由势能驻值条件，得,令,则,矩阵形式为,简写成,由非零解条件，得,最小根即为临界荷载,例15 试用能量法求图示两端简支的中心受压柱临界荷载。,解（1）假设挠曲线为抛物线,求得,由势能驻值条件，得,由非零解条件，得,（2）
8、取跨中横向集中力作用下的挠曲 线作为变形曲线,求得,若,则,(3)假设挠曲线为正弦曲线,（4）讨论,挠曲线为抛物线时，误差最大，因其与实际曲线差别太大；,横向集中力下的挠曲线，误差小，因其与实际曲线接近；,正弦曲线是失稳的真实变形曲线，求得的是精确解。,例15-5 试求图示结构的临界荷载。,解 假设变形曲线为,应变能为,体系的总势能为,与精确解相比，误差为5.5%,外力作的功,例156 试求图示两端简支变截面压杆的临界荷载。,解（1）设变形曲线为,（2）设变形曲线为,由驻值条件，得,由非零解条件，得,其展开式为,求出最小根，即得出临界荷载,两次计算结构非常接近,15-6 无限自由度体系稳定的常
9、微分方程求解器法,例157 计算图示两段变截面柱的临界荷载。,上下段刚度比越小，临界荷载越小。,157 刚架的稳定矩阵位移法,1 压杆的形状函数,设位移曲线为,由边界条件得,代入位移表达式中，得,或写成,2 压杆单元的刚度矩阵与几何刚度矩阵,压杆单元的刚度方程为,通常的刚度矩阵；,几何刚度矩阵，表示轴力对刚度的影响；,压杆单元的势能由两部分组成,根据势能偏导数定理求杆端力，得,得,写成矩阵形式,或,得,3 结构的稳定计算,对于压杆单元，应采用相应的单元刚度矩阵。,利用刚度集成法，得结构的整体刚度方程为,由于失稳前各杆只承受轴力，故荷载向量为0,临界状态的特点是0，故,展开后，最小根为临界荷载P
10、cr。,例158 试求图示刚架的临界荷载和柱的计算长度。,解（1）以对称形式丧失稳定,单元：一端有转角，另一端固定的压杆。,单元：两端有转角的普通单元。,整体刚度方程为,有非零解的条件为,柱的计算长度为,i1=i2，n=1时,（2）以反对称形式丧失稳定,单元为两端有转角的普通单元。单元刚度方程为,整体刚度方程为,由位移不等于零，得,（3）讨论,反对称变形形式相应的临界荷载较小。,对称变形形式相应的临界荷载与精确值相比，误差较大。要提高精度，需将单元划分细些。,158 组合杆的稳定,1 缀条式组合杆,按桁架计算，丧失稳定时，桁架各杆只引起附加轴力,令失稳曲线为,组合杆轴线上任意点的弯矩为,剪力为
11、,组合杆柱肢的轴力和缀条的轴力按桁架近似计算，可得,桁架的应变能为,将轴力代入后，得,实际中，可取,将和号用积分代替，即,考虑到,应变能可改写成,荷载势能为,式中,当缀条倾角、面积都相同时，则,组合截面对形心轴的惯性矩,时，则,有交叉缀条的组合杆，计算时缀条面积应加倍。,组合杆和临界荷载和计算长度的特点,临界荷载的公式可采用统一的形式：,惯性矩为I的实腹杆的临界荷载,组合杆的折减系数,缀条面积很小时，即,缀条面积很大时，即,知道了临界荷载后，可求出计算长度,实际中，略去水平缀条影响，且=30060o，近似取,得到简化后的计算长细比公式,0按回转半径为r=b/2实腹杆算出的长细比。,2 缀板式组
12、合杆,可按刚架作为计算简图。介绍以能量法为基础的近似计算。,变形状态可分解为两部分：,第一部分：整体变形。挠曲线为,第二部分：作为一个刚架在结间还产生局部弯曲变形。,应变能也由两部分组成：,整体变形时的应变能为,M：组合杆的整体弯矩,结间附加弯矩引起的应变能为,分别为柱肢的惯性矩和缀板的惯性矩。,组合杆的整体弯矩和整体剪力分别为,于是,设柱肢反弯点在节间高度中点，则,因节间数目较多，可认为,于是,因此,外力势能为,由势能驻值条件，得,组合杆的计算长度为,考虑缀板刚度比柱肢刚度大得多，利用,得，组合杆的计算长细比公式为,进一步简化用1代替0.83，得,159 拱的稳定,1.圆拱受均匀静水压力时的
13、稳定,荷载较小时，处于无弯矩状态；荷载超过临界荷载时，发生分支点稳定。,第一步：研究圆拱屈曲后的受力状态，推导用弯矩表示的稳定微分方程,（a）,屈曲后微段平衡方程,令,（c）,（b）,（d）,由（e）中第二式可得,再代入第一式，得,（f）,再利用（e）中第三式，得,曲率半径增量与弯矩有如下关系：,由此得,（h）,式（h）代入（g），得,用M表示的圆拱在均匀静水压力作用下的稳定微分方程。,第二步：研究圆拱屈曲后的变形状态，推导用位移表示的稳定微分方程,A点的切线和法线方向的位移分量,B点的切线和法线方向的位移分量,拱的轴向应变,由切向位移产生的,由法向位移产生的,总轴向应变为,若忽略轴向变形(=
14、0),则,截面A的转角,由切向位移产生的,由法向位移产生的,截面A总的转角为,变形后曲率的增量为,弯矩与曲率增量的弹性关系为,故得,用M表示的圆拱在均匀静水压力作用下的稳定微分方程。,将M与位移的关系式代入上式，得,用u表示的圆拱在均匀静水压力作用下的稳定微分方程。,方程的一般解为,第三步：解微分方程，得到位移、弯矩一般解,式中,于是可得,由u、v、M边界条件得到关于系数Ci的代数方程。由系数不全为零，方程的系数行列式D=0，得到圆拱问 题的特征方程；解此特征方程，得到临界荷载。,第四步：引入边界条件，求临界荷载,例15-9 试求两铰圆拱的临界荷载qcr。,解,由边界条件,反对称变形形式,由M
15、为 奇函数条件，得,得,最小临界荷载为,对称变形形式,利用边界条件,得,令系数行列式为零,计算结果表明，对称变形时的临界荷载值比反对称变形时的要大得多，所以起控制作用的是反对称变形时的临界荷载值。,展开后，得,解出 可求对称变形失稳时的临界荷载。,例15-10 试求圆环的临界荷载。,解,即,上式要求,故,由上式可求得,时，得最小临界值,2.拱的临界荷载系数和计算长度,拱的临界荷载系数,若等截面圆拱受均匀静水压力作用时的最小临界荷载的表达式写成,则，K1临界荷载系数。与拱的高跨比有关。,同理，可得到其它类型拱在其他荷载作用下的临界荷载系数。,拱的计算长度系数,若将拱的临界力表示成,式中，FNcr
16、为临界轴力，s0为拱的计算长度。,对于均匀静水压力作用的等截面圆拱，计算长度系数为,对于受水平均布竖向荷载作用的等截面抛物线拱，计算长度系数为,1510 考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析,1 单杆的纵横弯曲问题微分方程精确解,变形状态的平衡微分方程为,改写成,式中,式（a）的解为,引入边界条件，得,故,引进符号,故跨中最大位移为,跨中最大弯矩为,最大位移和弯矩表达式中，第二项是考虑纵向荷载对横向荷载影响后的放大系数。,当FN与临界荷载相比很小时，纵向压力的影响可不计；当FN趋于临界荷载时，放大系数趋于无穷大，杆件丧失稳定。,例题1511 求图示排架在水平和竖向荷 载共同作用下的二阶效应。,解
17、,变形后的微分方程为,上式可改写为,解为,引入边界条件，得,故,最大横向位移和最大弯矩分别在 x0 和 xl 处，为,横梁、竖柱不考虑轴向变形；有压力的单元用压杆的单元刚度方程；非压杆单元用普通单元刚度方程；有横向荷载，整体刚度方程有荷载向量。,2.刚架的二阶分析有限元法,例1512 试对图示刚架进行二阶分析。,解 刚架的单元、编码和坐标如图所示。按位移法计算时，独立的结点位移为v1、2、3,单元、为一端有侧移、转角，他端固定的压杆单元。,单元为两端有转角的普通单元。单元刚度方程为,单元刚度方程,整体刚度方程（位移法平衡方程）为,对称刚架、对称竖向荷载、反对称横向荷载；反对称变形，32。,具体
18、数据：,Hl6.0m；E210GPa，I2370cm4；i2 i1EI/H829.5kNm。,荷载取下面两组值：,（a）FN0，FP10kN。此为一阶分析，供比较用。（b）FN500kN，FP10kN。,将以上第二组数据代入整体刚度方程，得,得,单元、上端的杆端力,单元、下端的杆端力,单元的杆端力,FN=0,FN=500kN,侧移放大到1.945倍;截面1弯矩放大到1.776倍;截面2弯矩放大到1.921倍;,15-12小结,假定和主要方法,本章讨论的稳定问题都采用了小位移理论。,临界状态的静力特征是平衡的二重性。基本方程都是关于位移的齐次代数（微分）方程。,临界状态的能量特征是特征荷载作用下势能为驻值，且位移有非零解。能量法结果比精确解偏高。,主要内容,讨论了两类稳定的概念，通过简例说明了计算方法的特点。有助于了解小挠度理论分支点稳定问题的地位和应用范围；,介绍了矩阵位移法分析刚架的稳定应用计算机分析复杂结构稳定的通用方法。,用静力法讨论了拱的稳定问题供水利和桥梁专业选用。,讨论了纵横荷载作用时的二阶分析是非其次方 程的解。极值点的稳定分析是此方程的无限大解，分支点稳定分析是此方程的齐次方程的解。,用能量法讨论了组合杆的稳定问题钢结构设计中有用的内容。,
