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1、二、无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,第四节 无穷小与无穷大,第一章,四、学习无穷小与无穷大的意义,定义1 若,一、无穷小,当,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小.,(1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小.,(2)变量是否为无穷小与变化过程有关.,一、无穷小,定理1(无穷小与函数极限的关系),定理2 有限个无穷小的代数和是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 有限个无穷小之积为无穷小.,推论1 常数与无穷小之积为无穷小.,一、无穷小,若在定义2中将式改为,则记作,则称函数,当,时为无穷大,记作,定义2 若任给 M 0,一切满足不等式,的X,总有
2、,使对,(正数X),总存在,二、无穷大,注意,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种过程;,2.函数为无穷大,必定无界;但反之不真.,例如:函数,不是无穷大.,3.若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,二、无穷大,1.无穷大与有界变量的代数和是无穷大.,2.无穷大与非零常数的乘积是无穷大.,3.无穷大与无穷大的乘积是无穷大.,注意 1.无穷大与无穷大之和不一定是无穷大.,但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大.,无穷大的性质,2.无穷大与有界变量的乘积不一定是无穷大.,二、无穷大,二、无穷大,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,由定理4,关于无穷大的问题都可转化为
3、无穷小来讨论.,定理4 在自变量的同一变化过程中,说明,三、无穷小与无穷大的关系,对一个函数而言,在自变量的某个变化过程中,其,四、学习无穷小和无穷大的意义,无穷小恰为极限存在时的特殊情况,无穷大是极限不,要么有极限,要么无极限,二者必居其一,且仅居其一.,存在时的特殊情况.只要抓住这两种特殊情形,就可以,有助于解决一般性的问题.,练 习,一、极限的四则运算法则,二、复合函数的极限运算法则,三、极限的计算方法,第五节 极限运算法则,第一章,一、极限的四则运算法则,定理1,注意 使用运算法则前提,参与运算的极限都存在.,推论,一、极限的四则运算法则,定理2,说明 若定理中,则类似可得,二、复合函
4、数的极限运算法则,1.直接利用极限运算法则,三、极限的计算方法,小结 代入法,例如,三、极限的计算方法,2.无穷小与有界变量乘积仍为无穷小,三、极限的计算方法,3.无穷小与无穷大的关系,4.分解因式约去零因子(零因子约分法),例5 计算,例6 计算,三、极限的计算方法,5.有理化约去零因子,例7 计算,例8 计算,三、极限的计算方法,例9 计算,6.分子、分母同除以无穷大量法,三、极限的计算方法,例11,为非负常数),三、极限的计算方法,三、极限的计算方法,7.无穷大减无穷大:通分或者有理化,三、极限的计算方法,三、极限的计算方法,极限计算的思路分析,无穷小与有界变量乘积为无穷小,无穷小与无穷大的关系,4.分解因式约去零因子,直接利用极限运算法则,5.有理化约去零因子,7.通分或者有理化,状态归类晓定者仅三条悟得转化术极限知多少,(转化为确定型),极限计算 小结,6.分子、分母同除以一个无穷大,
