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1、,第六节 方形镜共焦腔的行波场,一、方形镜对称共焦腔的行波场 厄米-高斯光束,1、推导方法,菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式,腔内、外任一点的场,镜面上的场,2、腔中的场分布),在厄米-高斯近似下,E0，Amn,0 均为常数,0:基模高斯光束腰斑半径,特点:(1)Emn(x,y,z)是由腔的一个镜面上的场产生，并沿着腔的轴线而传播的行波场。,(2)考虑到镜的适当透过率后，Emn(x,y,z)也适用于腔外的场。,二、振幅分布和光斑尺寸,1、振幅分布,(1)基模,基模截面是高斯函数,(2)最初几阶横模,2、光斑尺寸振幅下降为最大值1/e时的光斑半径,(1)基模:振幅下降为最大值1/e时的光斑半径,特点:
2、a、光斑半径随z按照双曲线规律变化。,b、当 z=0 时，达到最小值,且有：,基模高斯光束的腰斑半径,c、当 时，即在镜面上时，有：,(x,y),z,(2)高阶模：坐标均方差的四倍,三、模体积,1、定义：描述某一腔模在腔内扩展的空间体积。,2、意义：模体积大。对激活介质能量的提取就大，对模式振荡作贡献的粒子数越多，就有可能获得大的输出功率。,决定一个模式能否振荡，能获得多大的输出功率，与其它模式的竞争情况等。,3、对称共焦腔基模的模体积：看成底半径为0，高为L的圆柱体。,四、等相位面的分布,1、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程,2、等相面特点,(1)近似为抛物面,顶点在：z=z0,焦距为：,
3、(2)在 的范围内,等相面近似为,球面,与腔轴交于z0处的等相面曲率半径为:,(3)有,说明等相面是凹面向着腔心的，且 R 随 z 0而变。,(4)当 时，。,即反射镜面本身与两个等相面重合。,(5)当 时，。腔心和无穷远处,(6)在等相面处方一个相应曲率半径的反射镜片，共焦场分布不受影响。,的等相面为平面。,五、远场发散角(全角),1、定义：双曲线两渐近线间的夹角。,基模：,弧度,高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！,第七节 圆形镜共焦腔,圆形镜共焦腔模式的积分方程有严格的解析解超椭球函数！,数学上，对超椭球函数的研究还不如长椭球函数！这里只讨论菲涅耳数N足够大时的近似解。,一、拉
4、盖尔高斯近似,1、当 时，可用拉盖尔高斯近似,(1)镜面上的场分布：本征函数拉盖尔高斯函数(用极坐标),归一化常数,说明:cos 和 sin 可 任取其一，但当m=0时，只能取cos，否则本征函数无意义。,缔合拉盖尔多项式,(2)缔合拉盖尔多项式,(3)前几阶镜面场函数,与方形镜的情形一样,2、与 本征值,说明：N越大，用拉盖尔高斯近似的误差越小！,二、拉盖尔高斯近似下共焦腔模的特征,1、模的振幅分布,(1)基模,与方形镜的情形一样,光斑半径,花样特点：无节线，在 r=0 处振幅最大。,(2)高次模：与对应的本征函数一样。,m、n的意义?,TEMmn的光斑尺寸：场振幅下降为最外面一个极大值的1
5、/e的点与镜面中心的距离。,特点：阶次越高，光斑半径越大。,2、模的相位分布,因 为实数，则等相位面也为镜面。,3、单程相移和谐振频率,几何相移,附加相移,(1)单程相移,(2)谐振频率,可见，相移特点以及频率的高度简并都与方形镜的类似！,(3)频率间隔：也与方形镜的一样。,(4)单程衍射损耗,数值迭代表明，损耗仍然与N、m、n相关！而且在菲涅耳数相同时，圆形镜共焦腔的损耗要大方形镜的几倍。,三、圆形镜共焦腔的行波场,圆形镜共焦腔的行波场特性的推导方法与方形镜相同,其基模光束的特征也完全相同。,四、对称共焦腔的模式小结,1、对称共焦腔在高斯近似下(在N1时),自再现模可以用厄米高斯或拉盖尔高斯
6、函数近似描述场分布。其中人们较多关心基模情况，对应的行波为基模高斯光束。,2、只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。,3、衍射损耗低；模简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化;等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。,第八节 一般稳定球面镜腔的模式特征,处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。,一、将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的理由,1、任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价。,等价的含义：二者有相同的行波场。以共焦腔模式空间分布，尤其是其等相面的分布规律为依据。,在共焦场
7、的任意两等相面处放上相应曲率半径的球面反射镜，原共焦场分布不受影响，由此可以逻辑地建立起无穷多个新的谐振腔稳定腔。,理解：若有焦距为 f 的共焦腔,则其任意两等相面可构成稳定腔.,共焦腔面,C1,C2,C3,C4,z,z1,z2,自己证明!,2、任意一个稳定球面腔唯一地等价于某一共焦腔,目标：由 R1,R2,L z1,z2,f，且必须有 f 2 0。,自己证明,3、等价条件,以拉盖尔高斯或厄米高斯近似为前提。即只有稳定腔的孔径足够大，腔中的场集中在铀线附近时，等价结论才正确。,二、镜面上的光斑尺寸(基模情况),1、思路：由 R1,R2,L z1,z2,f(从而知道),(2.8.6),非对称,三
8、、模体积,(2.8.9),1、基模,2、高阶模,一股稳定腔高阶模的模体积与基模的比与腔长相同的共焦腔的高阶模与基模的模体积之比相等。,特点：随着腔趋向稳定区的边界，稳定腔的模体积急剧增大。在稳定区的内部，一般稳定球面腔的模体积与腔长相同的共焦腔的模体积有相同的数量级，场也是集中在腔的轴线附近。,四、等相面的分布,将对应的等价共焦腔的 f 代入下列公式即可,五、谐振频率,思路：将z1、z2、f代入等价共焦腔的单程相移函数,谐振条件,谐振频率,六、衍射损耗,1、共焦腔的衍射损耗特点,每一横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定！,共焦腔的菲涅耳数正比于镜的面积与镜面上光斑的面积之比。该比值越大，
9、单程衍射损耗就越小。,2、稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律,(1)理由：由于它们的行波场结构完全相同，而且反射镜都构成场的等相位面。,(2)结论：当满足 时，两腔的单程衍射损耗相等。,稳定腔镜的线度和镜面光斑尺寸,等价腔镜的线度和镜面光斑尺寸,(3)稳定球面腔的有效菲涅耳数,当 时：,结论:(1)每一个反射镜各有个有效菲涅耳数，即使a相同，相应的有效有效菲涅耳数也不一定相同。,(2)在求得了有效菲涅耳数以后，即可按共焦腔的单程衍射损耗曲线来查得一般稳定腔的损耗值。一般地说，两个反射镜上的损耗是不同的，平均单程损耗为：,(3)一般地说，两个反射镜上的损耗是不同的，则平均单程损耗为：,七、基模远场发散角,1、共焦腔,2、稳定腔：将对应的等价共焦腔的 f 算出后代入上式即可。,作业：P98-99:7,8(第2、3小问),9,
