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1、科学计算软件 第八章,微分运算,8.1 极限的计算,Mathematica中使用Limit命令来计算极限，它总是力求确定极限的准确值Limitfx,x-a:计算 的值例1 计算 Limit(x5-32)/(x3-8),x-2Factorx5-32Factorx3-8,8.1 极限的计算,可以利用Direction选项确定左、右极限的计算Direction-1:计算左极限，即x从左边趋近于aDirection-1:计算右极限，即x从右边趋近于aLimit的默认值为Direction-Automatic，除了在无穷远点外，方向为右极限。对于非连续函数，最好指定Direction，采用默认值可能会得
2、到不正确的结果,8.1 极限的计算,例2 考虑极限如果没有选定方向，默认计算右极限LimitAbsx/x,x-0LimitAbsx/x,x-0,Direction-1LimitAbsx/x,x-0,Direction-1,8.1 极限的计算,例3 Mathematica也可以计算无穷极限及在无穷远点处的极限Limit1/x,x-0,Direction-1Limit1/x,x-0,Direction-1Limit(2x2+3x+4)/(x2+1),x-Infinity,Direction-1,8.1 极限的计算,例4 当x趋向某点时极限不存在，但f(x)有界时，Limit命令会返回一个区间min
3、,max，表示值的范围在此区间之内LimitSin1/x,x-0LimitTan1/x,x-0,习题解答,8.6 如果每年支付利息n次，年利率为r，那么p美元在t年后变为p(1+r/n)nt美元，假设如果连续计息（n-infinty）,那么t年后钱数为多少？Limitp(1+r/n)(n t),n-Infinity,习题解答,8.7 函数的导数定义为极限 利用这个定义计算f(x)=Logx+x5+sinx的导数fx_=Logx+x5+Sinx;Limit(fx+h-fx)/h,h-0,习题解答,8.8 函数的2阶导数可以用 极限计算得到。利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx的2阶导数,
4、习题解答,利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx的2阶导数fx_=Logx+x5+Sinx;Limit(fx+h-2fx+fx-h)/h2,h-0,8.2 导数的计算,如果fx表示一个函数，那么它的导数表示为fx。高阶导数用fx、fx.等表示例5 fx_=x5+x4+x3+x2+x+1fxfxfx,8.2 导数的计算,撇号也可作用到内置函数上。如果不给出参数，Mathematica就返回一个纯粹函数，表示所要求的导数(有关纯粹函数见附录A1)SqrtSqrtxSqrtSqrtx,8.2 导数的计算,用撇号表示高阶导数并不方便Dfx,x：返回f相应于变量x的导数Dfx,x,n：返回f相应于
5、变量x的n阶导数例7Dx5+x4+x3+x2+x+1,xDx5+x4+x3+x2+x+1,x,2Dx5+x4+x3+x2+x+1,x,3,8.2 导数的计算,计算导数，也可以使用模板上的偏导符号 返回相应于x的n阶导数例8D(x5+x4+x3+x2+x+1),x,3,8.2 导数的计算,Derivativen是一个算子，它作用到一个函数上，得到一个新的函数，即函数的n阶导数Derivativenf用纯粹函数的形式给出f的n阶导数Derivativenfx计算f在x点的n阶导数，x为具体数或为符号在Mathematica内部，f被转化为Derivative1f,8.2 导数的计算,例9fx_:=
6、x5+x4+x3+x2+x+1;Derivative1fDerivative1fx,8.2 导数的计算,计算导数在特定点的多种方法，注意:=的用法例10fx_=(x2-x+1)5;f1Dfx,x,2/.x-1g:=Derivative2f g1fx_=x3g1,8.2 导数的计算,作为符号计算软件，Mathematica可以方便的进行公式推导，包括导数的运算法则例 11Clearf,gDfx+gx,xDfx gx,xDfx/gx,x/TogetherDfgx,x,8.2 导数的计算,例12 证明函数fx=(x3+2x2+15x+2)SinPi x在区间0,1上满足罗尔定理，求出定理中所声称的点
7、cfx_=(x3+2x2+15x+2)SinPi xf0f1FindRootfc=0,c,0.5Plotfx,f.640241,x,0,1,中值定理,令f为有限闭区间a,b上的连续函数，并在开区间(a,b)上可微，则存在一个数c，介于a与b之间，使得f(b)-f(a)=f(c)(b-a)罗尔定理与中指定理都保证至少存在一个数c，实际中可能存在满足条件的多个数,中值定理,例13 对于函数fx_=Sqrtx+Sin2Pi x，求出使得中值定理在区间0,2上成立的c值fx_=Sqrtx+Sin2Pi xa=0;b=2;m=(fb-fa)/(b-a);Plotfx-m,x,0,2,PlotRange-
8、8,8,中值定理,FindRootfc=m,c,.3FindRootfc=m,c,.7FindRootfc=m,c,1.3FindRootfc=m,c,1.7,习题解答,8.11 在同一坐标系中绘出f(x)=x4-50 x2+300及其导数在-10GrayLevel0,Dashing.015,PlotLegend-fx,fx;,习题解答,8.12 给定函数f(x)，其图形为C，C在点a的切线斜率为f(a)。令f(x)=sin x，画出函数图像及其在a=PI/3处的切线.过点(x1,y1)，斜率为m的直线方程为 y-y1=m(x-x1)或 y=y1+m(x-x1)切线斜率为m=f(a)，切线方程
9、为 y=f(a)+f(a)(x-a),习题解答,8.12 给定函数f(x)，其图形为C，C在点a的切线斜率为f(a)。令f(x)=sin x，画出函数图像及其在a=PI/3处的切线.fx_=Sinx;a=Pi/3;lx_=fa+fa(x-a);Plotfx,lx,x,0,2Pi;,8.3 最大值与最小值,称函数f在区间I中c点达到绝对最大值，指对I中所有点x，f(c)=f(x)成立，即f(c)是f(x)在I上的最大值。最小值可类似定义最值定理：如果f为有界闭区间上的连续函数，则f在这个区间既具有绝对最大值，也具有绝对最小值注意：最值是全局性的概念，极值是局部性概念,8.3 最大值与最小值,如果
10、函数在有界闭区间a,b上连续，则其最大值和最小值出现在驻点或者区间端点求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最小值,8.3 最大值与最小值,例14 计算函数fx_=x4-4x3+2x2+4x+2在区间0，4上的绝对最大值和最小值。首先求其临界点fx_=x4-4x3+2x2+4x+2;Solvefx=0c1=0;c2=1;c3=1+Sqrt2;c4=4;pointstocheck=c1,fc1,c2,fc2,c3,fc3,c4,fc4/ExpandTableFormpointstocheck,Ta
11、bleHeadings-None,x,fx,8.3 最大值与最小值,例15 一根线长100英寸，要用它构成一个正方形和一个圆形。请问如何分配，才能使它所围成的图形面积和 a)最大；b)最小设正方形的边长为x，圆的半径为r两个形状的组合面积为A(x)=x2+Pi r2圆的周长为2Pir，正方形周长为4x4x+2Pi r=1000=x=25还有其它设置变量的形式吗？书上为什么要这样处理？,8.3 最大值与最小值,ClearaSolve4 x+2Pi r=100,r(*从周长的约束中解出r关于x的表达式，*)ax_=x2+Pi r2/.r-2(-25+x)/Pi(*定义面积函数a，自变量统一为x*)
12、Solveax=0(*求出临界点*)x1=0;x2=100/(4+Pi)x3=25,8.3 最大值与最小值,pointstocheck=x1,ax1,Nax1,x2,ax2,Nax2,x3,ax3,Nax3/Together;TableFormpointstocheck,TableHeadings-None,x,ax,Nax(*列表给出驻点处的面积值*)Signa100/(4+Pi)(*使用二阶导数验证最小值*),8.3 最大值与最小值,局部极值FindMinimumfx,x,x0：求出f(x)靠近x0点的局部极小值如何求局部极大值？max(f(x)=-min(-f(x),8.3 最大值与最小
13、值,例16 函数f(x)=x+Sin 5x在区间0,Pi中有3个极大值点，2个极小值点fx_=x+Sin5 x;Plotfx,x,0,PiFindMinimumfx,x,1FindMinimumfx,x,2-FindMinimum-fx,x,0.4-FindMinimum-fx,x,1.6-FindMinimum-fx,x,2.8-FindMinimum-fx,x,2.8,Method-Newton,习题解答,8.16 求出两个和为50的正数，使得第一个数的平方根加上第二个数的立方根尽可能大y=50-x;fx_=Sqrtx+y(1/3);Plotfx,x,0,50NSolvefx=0FindM
14、inimum-fx,x,40,习题解答,8.17 一个圆柱被单位球面所截。(a)求出最大可能的体积(b)求出最大可能的表面面积球面的大小是确定的，只需确定圆柱的半径即可所截体积和面积以球的体积和面积为一个上界，当圆柱的半径趋于0时，所截体积和面积趋于0，所以所截得的体积和面积是有界的。问题即求所截体积和面积的上确界。,习题解答,记被截圆柱的半径与高分别为r与h，被截圆柱的体积为r与h的关系可由勾股定理求得 被截圆柱的体积V可表示为,习题解答,vh_=Pi(1-(h/2)2)hSolvevh=0,hvmax=v2/Sqrt3Signv2/Sqrt3,习题解答,圆柱的表面积=侧面积+上下底面积，其中，由于S的表达式中同时出现r与r2，使用r表示h更方便一些Solver2+(h/2)2=1,h(*用h表示r*)sr_=2Pi r h+2 Pi r2/.h-2Sqrt1-r2(*用r统一表示面积s*)Solvesr=0,r/SimplifysSqrt(5+Sqrt5)/10/SimplifySignsSqrt(5+Sqrt5)/10,
