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1、书名：控制工程基础ISBN：978-7-111-14614-X作者：陈瑞华出版社：机械工业出版社本书配有电子课件,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,第二章 控制系统的数学模型,主编,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,2.1控制系统的微分方程2.1.1列写控制系统微分方程的步骤2.1.2建立微分方程举例2.1.3非线性微分方程的线性化2.2传递函数2.2.1传递函数的定义2.2.2传递函数的性质2.2.3典型环节的传递函数2.3系统结构图2.3.1结构图的组成2.3.2系统结构图的画法2.3.3系统结构图的等效变换,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,2.3.4结构图等效变换举例2.4
2、系统信号流图及梅逊公式2.4.1信号流图2.4.2梅逊公式2.5控制系统的传递函数2.5.1系统开环传递函数2.5.2系统闭环传递函数2.5.3闭环系统的误差传递函数,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,2.1控制系统的微分方程,2.1控制系统的微分方程,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,2.1.1列写控制系统微分方程的步骤,2.1.1列写控制系统微分方程的步骤1)全面了解系统的工作原理、结构、组成和支配系统运动的物理规律，确定系统和各元件的输入量和输出量。2)从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依此列写它们的微分方程。3)将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，
3、求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程。4)将该方程整理成标准形式。,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,3)将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程。,图2-1RC无源网络,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,2.1.2建立微分方程举例,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,解根据电路理论中的基尔霍夫定律，可以写出,图2-2两级RC滤波网络,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,解根据电路理论中的基尔霍夫定律，可以写出,控制工程基础 高职高专 ppt 课件,解根据基尔霍夫定律，可以写出下列方程组,可见，无源网络的动态数学模型是一个一
4、阶常系数线性微分方程。,图2-3弹簧-质量-阻尼器系统,例3设有弹簧质量阻尼器动力系统，如图23所示，当外力作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移之间的动态方程。,图2-4电枢控制的他励直流电动机原理示意图电枢电阻电枢电感电枢反电流电枢输入电压固定激磁电流电枢反电势电动机转角f电动机轴上的粘性摩擦系数负载力矩,例4列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程。以电枢电压为输入量，以电动机的转角为输出量。图24是电动机原理示意图，设电枢的重量G及电枢直径D均为已知。当电枢两端加上电压u a后，产生电枢电流I a，随即获得电磁转矩M m，驱动电枢克服阻力矩，带动负载旋转，同时在电
5、枢两端产生反电势 b，削弱外电压的作用，减小电枢电流，保持电动机作恒速转动。,式(217)和式(219)分别是以转角和角转速为输出量的电动机动态方程。考虑到电动机中的a一般较小，可以忽略不计，则式(217)和式(219)分别简化为,在实际使用中，电动机转速n常以r/min来表示，这时经换算，式(223)亦可表示成为,2.1.3非线性微分方程的线性化,从上述例子可以看到，系统的数学模型都是线性常系数微分方程，它的一个重要性质是具有齐次性和叠加性。,2.1.3非线性微分方程的线性化,图2-5非线性特性,2.1.3非线性微分方程的线性化,设非线性函数yf(x），其特性曲线如图25所示。,设x、y在平
6、衡点(x 0、y0)附近作增量变化，即,式(225)是线性方程，常称为原非线性方程的线性化增量方程。若取非线性函数f(x)在x0处的泰勒级数的一阶增量项，即,2.1.3非线性微分方程的线性化,略去高阶无穷小量，则,这种线性化方法称小偏差法或增量法。当然，非线性函数f(x)在x0处连续可导，是小偏差线性化方法可用性的前提条件。,2.1.3非线性微分方程的线性化,图2-6铁心线圈,例5铁心线圈如图26所示，列写出u为输入，电流i为输出的微分方程。并以(u0,i0)为平衡点，试建立线性化增量方程。,2.1.3非线性微分方程的线性化,图2-7铁心线圈的磁链曲线,由基尔霍夫定律可写出,式中，L为感应电动
7、势，等于线圈中磁链的变化率，即,铁心线圈的磁链是线圈电流的非线性函数，如2 7所示。将式(227)代入式(226)，得,解由基尔霍夫定律可写出,图说,2.2传递函数,1)微分方程的阶次越高，其求解就越困难。2)对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且要分析系统的结构、参数与其性能间的关系。,2.2.1传递函数的定义,传递函数的定义为：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换式与其输入量拉氏变换式之比，即为线性定常系统的传递函数。即,如果系统的输入量为r(t)、输出量为c(t)，并由下列微分方程描述,在零初始条件下，对方程两边进行拉氏变换,2.2.1传递函数的定义,整理上式并
8、根据传递函数的定义有,由以上推导过程可见，在零初始条件下，只要将微分方程中的微分算子d(i)/dt(i)换成相应的s(i)，即可得到系统的传递函数。式(231)为传递函数的一般表达式。,2.2.2传递函数的性质,1)传递函数是由微分方程变化得到的，它和微分方程之间存在着一一对应的关系。2)传递函数是由拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性变换，因此传递函数只适用于线性定常系统。3)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统(或元件)的运动情况。4)传递函数只与系统本身的结构和参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。5)传递函数是复变量s的有理分式，它的分母多项式的最高
9、阶次总是大于或等于分子多项式的最高阶次，即nm。6)传递函数是一种运算函数。,2.2.3典型环节的传递函数,1.比例环节2.积分环节3.理想微分环节4.惯性环节5.比例微分环节6.振荡环节7.延迟环节延迟环节又称纯滞后环节，其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间。8.运算放大器图2-18为运算放大器的线路图。,1.比例环节,比例环节的微分方程为,式中 K常数，称为放大系数或增益。,比例环节的传递函数为,比例环节的框图如图28所示。,1.比例环节,图2-8比例环节,2.积分环节,积分环节的微分方程为,积分环节的传递函数为,式中 T积分时间常数。,积分环节的框图如图29所示。,2.积分环节
10、,图2-9积分环节框图,3.理想微分环节,式中 微分时间常数。其传递函数为,理想微分环节的微分方程为,其框图如图210所示。,3.理想微分环节,图2-10理想微分环节框图,3.理想微分环节,解输入或d/dt，输出是u，在零初始条件下对上式进行拉氏变换，得,图2-11测速发电机传递函数框图,图说,解输入或d/dt，输出是u，在零初始条件下对上式进行拉氏变换，得,图2-12积分环节,解由电压关系知,4.惯性环节 惯性环节的微分方程为,式中 T惯性时间常数。惯性环节的传递函数为,惯性环节框图如图213所示。,图2-13惯性环节框图,图2-14比例微分环节框图,5.比例微分环节,比例微分环节的微分方程
11、为,其传递函数为,比例微分环节的框图如图214所示。可见，比例微分环节的传递函数恰与惯性环节的传递函数相反，互为倒数。,5.比例微分环节,图说,6.振荡环节,振荡环节的微分方程为,其传递函数为,6.振荡环节,图2-15振荡环节框图,振荡环节的框图如图215所示。,6.振荡环节,图2-16RLC串联电路,6.振荡环节,7.延迟环节延迟环节又称纯滞后环节，其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间。,延迟环节微分方程为,式中0延迟时间。延迟环节的传递函数为,若将e0s按泰勒级数展开，得,7.延迟环节延迟环节又称纯滞后环节，其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间。,图2-17延迟环节框图
12、,8.运算放大器,图218为运算放大器的线路图。由于运算放大器的开环增益极大，输入阻抗也极大，所以把A点看成“虚地”，即UA0，同时i0及i1-if。于是有,8.运算放大器图2-18为运算放大器的线路图。,图2-18运算放大器电路图,8.运算放大器图2-18为运算放大器的线路图。,图2-19比例微分调节器,解由图可知,求图219所示电路的传递函数。解 由图可知,其传递函数为,2.3系统结构图,2.3.1结构图的组成,系统的结构图由信号线、引出点、比较点和功能框等部分组成。它们的图形如图220所示。现分别介绍如下：,2.3.1结构图的组成,图2-20结构图的图形符号a)功能框b)引出点及信号线c
13、)比较点,1.功能框。,如图220a所示，框左边向内箭头为输入量(拉氏变换式)，框右边向外箭头为输出量(拉氏变换式)，框内为系统中一个相对独立的单元的传递函数G(s)。它们的关系为,2.信号线,信号线表示信号流通的途径和方向。流通方向用箭头表示。在系统的前向通路中，箭头指向右方，信号由左向右流通。因此输入信号在最左端，输出信号在最右端。,3.引出点,如图220b所示，它表示信号由该点取出，从同一信号线上取得的信号，其大小和性质完全相同。,4.比较点(又称综合点),图2-21典型自动控制系统结构图,如图220c所示，其输出量为各输入量的代数和。因此，在信号输入处要注明它们的极性。图221为一典型
14、自动控制系统的结构图。,2.3.2系统结构图的画法,1)列出系统各环节(部件)的微分方程，并求得其传递函数。2)一个环节(部件)用一个功能框表示，在框中填入相应的传递函数。3)根据信号的流向，将各功能框依此连接起来，并把系统的输入量置于系统结构图的最左端，输出量置于最右端。,3)按信号流向依此连接，就得到图2-22c所示的系统结构图。,2)根据上述四式，作出它们对应的框图，如图2-23a所示。,图2-22图2-1所示系统的结构图,2.3.3系统结构图的等效变换,1.串联等效变换2.并联等效变换当系统中有两个或两个以上环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。3.反馈联结等效变换图2-
15、26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。4.引出点和比较点的移动引出点和比较点的等效移动见表2-1所示。,1.串联等效变换,图2-23图2-2所示系统的结构图,当系统中有,1.串联等效变换,两个或两个以上环节串联时，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积。即,等效变换图如图224a、b所示。,图2-24串联结构的等效变换a)变换前b)变换后,2.并联等效变换,当系统中有两个或两个以上环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。即,等效变换图如图225a、b所示。,3.反馈联结等效变换图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。,图
16、2-25并联结构的等效变换a)变换前b)变换后,3.反馈联结等效变换图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。,图2-26反馈联接等效变换a)变换前b)变换后,由图226a的信号传递关系可写出,3.反馈联结等效变换图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。,消去E(s)，B(s)得,或,3.反馈联结等效变换图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。,式(243)为反馈联结的等效传递函数，一般称它为闭环传递函数。式中分母中的“+”号对应于负反馈，“-”号对应于正反馈。,4.引出点和比较点的移动引出点和
17、比较点的等效移动见表2-1所示。,表2-1引出点和比较点等效移动对照表,2.1.2建立微分方程举例,图说,4.引出点和比较点的移动引出点和比较点的等效移动见表2-1所示。,图2-27引出点和比较点之间不能移动,2.3.4结构图等效变换举例,图2-28多回路系统结构图的化简,例13化简图228a所示的结构图。,解 由于系统内有相互交叉的回环，不便于直接求取传递函数，故可通过引出点或比较点的移动来消除交叉，化简结构图，从而求得整个系统的闭环传递函数。其方法是将回环的引出点后移和比较点前移，如图228b所示，就可消除反馈回环的交叉，然后应用单个反馈回环闭环传递函数的求取公式，按图228bd逐步化简、
18、合成。最终得到整个系统的闭环传递函数。,解首先将回环的比较点后移，然后由里至外逐步化简，具体步骤见图2-29b、c、d、e，最终求得系统的闭环传递函数为,图2-29多回路系统结构图的化简,2.4系统信号流图及梅逊公式,结构图是描述控制系统的一种很有用的图示法。然而，对于复杂的控制系统，结构图的化简过程较复杂，且容易出错。由梅逊(SJMason)提出的信号流图，不仅具有构图表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便地写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制系统的分析中也被广泛地应用。,2.4.1信号流图,图2-30常见控制系统的框图和相应的信号流图,图230列举了一些常见控制系统的框图和相应的
19、信号流图，可以看出两者是不难相互转换的。,2.4.2梅逊公式,在控制工程中，一般需要确定信号流图中输出与输入间的关系，即系统的闭环传递函数。应用梅逊公式，可不经任何结构变换，直接写出系统的闭环传递函数。,2.4.2梅逊公式,2.4.2梅逊公式,图2-31例15图a)多回路控制系统结构图b)系统的信号流图,2.4.2梅逊公式,解在这个系统中，输入量与输出量C(s)之间只有一条前向通路，其传递函数为P1G1G2G3,由于前向通路P1与三个回路都有接触，因此，在式中除去各回路的L项，在中还剩下1，即 11,由梅逊公式得,2.5控制系统的传递函数,图2-32闭环控制系统的典型结构,2.5.1系统开环传
20、递函数,在图232中，将反馈通道上部件H(s)输出通道断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积称为系统的开环传递函数，也即,2.5.1系统开环传递函数,图2-33r(t)作用下的系统结构图,2.5.2系统闭环传递函数,1.r(t)作用下的系统闭环传递函数令0，这时将图2-32化简为图2-33。,1.r(t)作用下的系统闭环传递函数 令d(t)0，这时，将图232化简为图233。输出c(t)对输入r(t)的传递函数为,称r(s)为r(t)作用下的系统闭环传递函数。而输出的拉氏变换式为,1.r(t)作用下的系统闭环传递函数令0，这时将图2-32化简为图2-33。,图2-34d(t)作用下的
21、系统结构图,2.d(t)作用下的系统闭环传递函数令0，这时将图2-32化简为图2-34。,d(t)作用下的系统闭环传递函数 令r(t)0，这时将图232化简为图234。由图可得,称d(s)为d(t)作用下的系统闭环传递函数。而输出c(t)的拉氏变换式为,3.系统总的输出根据线性系统的叠加原理，系统总的输出响应为各外作用引起的输出响应的总和。,3.系统总的输出 根据线性系统的叠加原理，系统总的输出响应为各外作用引起的输出响应的总和。因而将式(248)与式(250)相加即得总输出的拉氏变换式,2.5.3闭环系统的误差传递函数,1.r(t)作用下系统的误差传递函数2.d(t)作用下系统的误差传递函数
22、3.系统的总误差1.系统数学模型是描述元部件及系统动态特征的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。2.微分方程是系统的时间域模型，也是最基本的数学模型。3.传递函数是系统的复数域模型，也是控制系统中最常用的数学模型。4.在同一控制系统中，选取不同的输出量或不同的输入量，则其对应的微分方程和传递函数表达式也不相同。5.典型环节的传递函数有：,2.5.3闭环系统的误差传递函数,6.控制系统的结构图是传递函数的一种图形化的描述方式，是一种图形化的数学模型，它直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于对系统的分析研究。7.信号流图是由传递函数引出的另一种图解模型，它具有直观简洁的特点。
23、8.梅逊公式9.控制系统总的输出应为各外作用引起的输出响应之和。10.控制系统总的误差为各外部作用引起的误差之和。1.定义传递函数的前提条件是什么?为什么要附加这个条件?2.简述建立系统微分方程的步骤是什么?3.简述系统结构图的组成及绘制步骤。4.试列写图2-37示无源网络的微分方程。,2.5.3闭环系统的误差传递函数,5.求取图2-38中四个环节的传递函数图。6.求图2-39所示系统的传递函数C(s)/D(s)和E(s)/D(s)。7.系统结构如图2-40，试求传递函数E(s)/R(s)、E(s)/N(s)和B(s)/E(s)。8.根据结构图化简的法则，化简图2-41所示系统的结构图。9.应
24、用梅逊公式求取图2-42所示系统的闭环传递函数(s)C(s)/R(s)。10.求取图2-43所示系统的输出量C(s)。11.图2-44为一自动控制系统的系统结构图，其中R(s)为给定量，D1(s)与D2(s)为两个扰动量。12.图2-45为一调速系统框图，其中Ui(s)为给定量，U(s)为扰动量。,2.5.3闭环系统的误差传递函数,13.一直流调速系统如图2-46所示。14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,2.5.3闭环系统的误差传递函数,在图232中，假设测量装置的输出b(t)与给定指令r(t)之间为系统的误差e(t)，即,1.r(t)作用下系统的
25、误差传递函数,图2-35r(t)作用下的误差输出结构图,1.r(t)作用下系统的误差传递函数,图2-36d(t)作用下的误差输出的结构图,1.r(t)作用下系统的误差传递函数,(t)作用下系统的误差传递函数令d(t)0，将图232化简为图235，并可求得,式中 er(s)r(t)作用下系统的误差传递函数。,2.d(t)作用下系统的误差传递函数,d(t)作用下系统的误差传递函数 令r(t)0，将图232化简为图236，并可求得,式中 ed(s)d(t)作用下系统的误差传递函数。,3.系统的总误差,根据线性系统的叠加原理，总误差为,4.在同一控制系统中，选取不同的输出量或不同的输入量，则其对应的微
26、分方程和传递函数表达式也不相同。,5.典型环节的传递函数有：,1)比例2)积分G(s)1/Ts3)理想微分G(s)s4)惯性环节G(s)1/Ts+15)比例微分G(s)s+16)振荡G(s)7)延迟G(s)1/s+18)运放G(s)(s)/(s)-(s)/(s),8.梅逊公式,9.控制系统总的输出应为各外作用引起的输出响应之和。,10.控制系统总的误差为各外部作用引起的误差之和。,1.定义传递函数的前提条件是什么?为什么要附加这个条件?,2.简述建立系统微分方程的步骤是什么?,3.简述系统结构图的组成及绘制步骤。,4.试列写图2-37示无源网络的微分方程。,5.求取图2-38中四个环节的传递函
27、数图。,图2-37,5.求取图2-38中四个环节的传递函数图。,图2-38,6.求图2-39所示系统的传递函数C(s)/D(s)和E(s)/D(s)。,7.系统结构如图2-40，试求传递函数E(s)/R(s)、E(s)/N(s)和B(s)/E(s)。,8.根据结构图化简的法则，化简图2-41所示系统的结构图。,9.应用梅逊公式求取图2-42所示系统的闭环传递函数(s)C(s)/R(s)。,10.求取图2-43所示系统的输出量C(s)。,11.图2-44为一自动控制系统的系统结构图，其中R(s)为给定量，D1(s)与D2(s)为两个扰动量。,12.图2-45为一调速系统框图，其中Ui(s)为给定
28、量，U(s)为扰动量。,13.一直流调速系统如图2-46所示。,1)画出系统的结构图。2)求系统的闭环传递函数N(s)/Ug(s)。,1)画出系统的结构图。,2)求系统的闭环传递函数N(s)/Ug(s)。,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-39,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-40,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-41,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-42,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-43,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-44,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-45,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-46,14.已知系统的信号流图2-47所示，试求系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。,图2-47,
