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1、6-9 极值问题,1.多元函数极值问题,则称函数在点 处有极大(小)值；-极值,称点 为极大(小)值点；-极值点,定义 设函数 在区域 内有定义，是 的内点，若存在的一个邻域，使得对该邻域内任一点，都有,二元函数的极值图例,有极小值,有极大值,定理1(极值的必要条件),证,特别地有,上式表明一元函数 在 取得极大值，,由一元函数,取得极值的必要条件，有,同理可证,各偏导数存在的极值点一定是稳定点.但稳定点不一定是极值点.,满足方程组 的点为 的稳定点.,定理（极值存在的充分条件）,令,根据代数知识，,为简便起见，令,则,证,根据泰勒公式有,根据二阶偏导数连续的假定，,因此,一定不是极值,可能是
2、，也可能不是极值,例3,求函数,解 第一步 求稳定点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,补例.讨论函数,及,是否取得极值.,解 显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,2.多元函数的最值问题,若函数在闭区域 D 上连续时,它在D上有最大(小)值，最值一定是在极值点或边界上取得.,
3、在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的稳定点，则可判定函数在该稳定点即取得最值.,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 yf(x).,需要解决两个问题:,1.确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2.确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,最小二乘法,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f(x).,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方,法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体,
4、特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a,b,令,满足:,使,得,解此线性方程组即得 a,b,称为法方程组,使利用这个近似公式算出的 值与实验所得值的误差平方和,最小.,例 4（最小二乘法）已知变量 是变量 的函数，由 实验测得当 取得 个不同的值 时，对应的 的 值分别为.试据此作一个最佳线性近似 公式：,解,问题 转化为求二元 函数 的最小值.,令,即,解此线性方程组即得 a,b,称为法方程组,用归纳法可证方程组的系数行列式,于是得到最,线性近似公式,补例,解 设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得稳定点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知
5、最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯稳定一点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,3.条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体三棱的长为x,y,z，则体积为V=xyz，又因表面积 为a2，所以x,y,z必须满足附加条件2(xy+yz+xz)=a2.但我 们可把条件极值化为无条件极值问题，即将z表成x,y的 函 数,再把上式代入V=xyz中，则问题化为,的无条件极值.
6、,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,例如,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,其中 是常数，称为拉格朗日乘数.,解方程组,再判断此稳定点是否是条件极值点.,设法消去而得到的解，它们就是条件极值的稳定点.,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,例 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱长,则问题就是在条件,下，求函数,的最大值.,作拉格朗日函数,求其对 的一阶偏导数，并使之为零，得到,由以上两式得,将上式代入(1)式，可得,这是唯一可能的极值点.此时最大体积为,例5,解,时，,解方程组,由方程组（6.6）前三个方程得,由此推得,代入方程组（6.6）中第四个方程得,由此求,惟一稳定点,前面已断定函数的最大值在球面内达到，故这惟一稳定点就是最大值点.,最大值为,
