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,首先证明第一格林公式,格林公式一般表示为：,D,x,y,两式相减得,3：建立二维情况下调和函数的积分表达式。,取 u 为调和函数，,=0,在圆周 上，,代入到等式：,同理,称 为拉普拉斯方程格林函数。,则平面上狄氏问题,解的表达式为,则,4.平面上狄氏问题解的表达式,求球域(R)的Green函数及Laplace方程的Dirichlet问题的解.,解：1)设M0为球内任一点，,P 为球面上一点。,则Green函数为,由余弦定理，在极坐标下,其中,是 OM0与 OM 的夹角。,又,2)计算,所以球坐标下Laplace方程Dirichlet问题的解为：,球的Piosson公式,二维平面上基本解为,设M0为圆域(R)内的一点，,在M0点放一单位正电荷,在OM0的延长线上某点,物理意义：平面上M0点处单位正线电荷在介电常数为1的介质中产生的场。,M0点处电荷密度为q的线电荷产生的场的大小为,处放一电量为q负电荷，则这两个线电荷在圆内点,所产生的电势为,由余弦定理，在极坐标下,其中,是 OM，OM0,与x轴的夹角的夹角。,由条件,上式对任意 都成立，故,即,化简可得,线性无关，故得,解之,代入,解得,又,所以极坐标下圆域的Green函数为：,6 用二维问题的格林函数法求下列上半平面 狄氏问题的解：,
