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1、目 录,CH1 随机事件与概率CH2 随机变量及其概率分布CH3 二维随机变量及其概率分布CH4 随机变量的数字特征CH5 大数定律与中心极限定理CH6 抽样分布CH7 参数估计CH8 假设检验,CH1 随机事件与概率,1.1 随机事件1.2 随机事件的概率1.3 概率的运算法则1.4 全概率公式与贝叶斯公式1.5 独立性,1.1,一.随机事件,1.随机试验的样本空间,2.随机事件（基本、复合、）,3.事件的关系（7个关系,包含-并-交-互斥-差-对立-完备）,4.事件的运算（4个定律:交换,结合,分配,对偶律）,5.A+B的分解,1.2,1.统计定义(频率的稳定性)2.公理化定义(3个公理:
2、非负,规范,可列可加)3.古典定义(古典概型,计算公式,四个模型),二.随机事件的概率,4.排列组合,1.3,三.概率的计算,1.古典概率,2.加法公式：并,3.减法公式：差,4.乘法公式：交,5.全概率公式：分解,6.贝叶斯公式,1.4,四.概率模型,1.古典概型：摸球、放球、随机取数、配对,2.n重伯努利概型：,1.5,五.概念,六.注,1.条件概率,2.独立性,3.,4.,2.有放回、无放回,1.互斥与对立、独立,CH2 随机变量及其分布,2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量2.3 连续型随机变量2.4 随机变量的分布函数2.5 正态分布2.6 随机变量函数的分布,2.1,一.离
3、散型r.v.,1.概率分布律（2个性质）,2.分布函数（4个性质）,3.分布律与分布函数互求,4.求概率（2个工具：分布律、分布函数）,5.常见分布5（0-1,二项,超几何,泊松,几何）,最可能取值，极限分布，泊松定理,2.2,二.连续型r.v.,1.概率密度（2个性质）,2.分布函数（4个性质,意义）,3.密度函数与分布函数互求,4.求概率（2个工具：密度、分布函数）,5.常见分布4(均匀,指数,柯西,正态及标准化),无记忆性,X N(,2),3公式,查表,2.3,三.r.v.函数的分布 Y=f(X),1.离散型:列举法,2.连续型：分布函数法,X N(,2),Y=a X+b,N(a+b,a
4、22),结论,CH3 二维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量及其分布函数3.2 二维离散型随机变量3.3 二维连续型随机变量3.4 条件分布3.5 随机变量的独立性3.6 二维随机变量函数的分布,3.1,一.二维离散型r.v.,1.联合分布律（2个性质）,2.联合分布函数（5个性质）,3.联合分布律与联合分布函数关系,3.1,4.边缘分布律与边缘分布函数,5.求概率（2个工具：分布律、分布函数）,6.联合与边缘分布律表,表,1,pi,p j,联合分布律及边缘分布律,3.2,二.二维连续型r.v.,1.联合密度（2个性质）,2.联合分布函数（5个性质）,3.联合密度与联合分布函数关系,4.边
5、缘密度与边缘分布函数,p(x,y),5.求概率（2个工具：密度、分布函数）,6.常见分布(二维均匀,二维正态分布),(X,Y)N(1,12;2,22;),X，Y相互独立,二维正态结论,(1),(2),X,Y 相互独立,则,(3),3.3,三.随机变量的独立性,1.二维离散型:联合分布律=边缘分布律的乘积,2.二维连续型:联合密度=边缘密度的乘积,3.二维随机变量:联合分布=边缘分布的乘积,4.结论:,X,Y 相互独立,则 u(X),v(Y)也相互独立.,3.4,四.二维随机变量函数的分布 Z=f(X,Y),1.二维离散型：列举法,可加性泊松，二项,2.二维连续型：分布函数法,公式法：Z=X+Y
6、,卷积公式,3.几个结论：二维正态，极值的分布,若X,Y 相互独立,则,相互独立,设,则,(1),(2),CH4 随机变量的数字特征,4.1 数学期望4.2 期望的性质与随机变量函数 的期望4.3 方差4.4 协方差与相关系数,4.1,一.期望：,r.v.依概率取值的平均，均值,E(X+Y)=E X+E Y,1.意义,2.定义,3.性质,4.r.v.函数的期望,4.2,二.方差,D X=E(X EX)2,描述 r.v.X 的取值偏离平均值的平均偏离程度,2.定义,4.性质,3.常用公式,1.意义:,X,Y 独立时,4.3,三.协方差与相关系数：,1.协方差,2.相关系数,X,Y 不相关,越大,
7、X,Y线性相关程度越强,不相关与独立的关系,概率意义：,4.4,四.方法：分解法求期望、方差,相互独立,常见离散r.v.的期望与方差,常见离散r.v.的期望与方差,常见连续r.v.的期望与方差,常见连续r.v.的期望与方差,CH5 大数定律与中心极限定理,5.1 切比雪夫不等式5.2 大数定律5.3 中心极限定理,5.1,或,一.切比雪夫不等式(估计事件的概率),依概率收敛,5.2,1.切比雪夫,二.大数定律,2.辛钦,意义：以样本均值近似代替总体均值,3.贝努利,意义：频率依概率收敛于概率,5.3,三.中心极限定理,1.,X B(n,p),当n无穷大时,当n很大，p很小，np不大时,2.二项
8、分布的近似,CH6 抽样分布,6.1 总体和样本6.2 统计量6.3 抽样分布,6.1,一.概念,1.总体X,2.样本,独立同总体分布,3.统计量：不含未知参数的样本函数,样本均值,样本方差,样本标准差,样本的k 阶原点矩,样本的k 阶中心矩,6.2,1.正态分布,二.抽样分布,(1),(2),上侧 分位点,双侧 分位点,X N（0，1）,(3)分位数,2.,卡方分布,卡方,可加性,相互独立,(1)定义,(2)性质,(3)统计量,2(n),(4)上分位数,(查附表3),3.t 分布,t,(1)定义,(2)统计量,(3),双侧 分位数(查附表4),X,Y 相互独立,4.F 分布,X,Y 相互独立
9、,F,(1)定义,(2)统计量,(3)上分位数(查附表5),F(n1,n2),F1-(n1,n2),CH7 参数估计,7.1 点估计及其评选标准7.2 求点估计量的方法7.3 一个正态总体参数的区间估计,7.1,(1)无偏性,(3)一致性,(2)有效性,一.评选标准,不具有不变性,算术均值比加权均值更有效,具有不变性,结论,7.2,二.求法,1.矩法：（总体矩存在）用样本矩替换总体矩,步骤,用,代替,得,求极大似然估计的步骤,步骤,a.写总体分布,c.求 L 的最大值点,b.写似然函数,列似然方程组,否则，返回c,解得,方法,极大似然估计值,一次试验就出现的事件有较大的概率,2.极大似然估计法（总体分布类型已知）,注：具有一致性,有效性,不变性,7.3,三.一个正态总体参数的区间估计,1.置信区间,2.一个正态总体 X N(2)的参数估计,(1)2已知,的1-置信区间,(2)2未知,的1-置信区间,(3)2 的1-置信区间,的1-置信区间为,注：置信区间不唯一。,若密度单峰不对称，取对称的分位点。如卡方、F 分布等,若密度单峰对称，取对称的分位点，区间长度最短。如标准正态、t 分布等,
