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1、第二章 波动（Wave）,2.1 机械波的形成和特征,2.2 行波，简谐波,2.4 波动方程,*2.3 物体的弹性变形,2.6 惠更斯原理,2.5 波的能量,2.7波的叠加，驻波,2.8多普勒效应,*9复波，群速度,振动在空间的传播过程叫做波动,常见的波有:机械波,电磁波,1 机械波的产生和传播,一.机械波的产生,1.产生条件:波源 媒质,2.弹性波:机械振动在弹性媒质中的传播,横波,纵波,3.简谐波:波源作简谐振动,在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动。,第二章 波动（Wave）,结论：,(1)质元并未“随波逐流”,波的 传播不是媒质质元的传播；,(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质
2、元振动；,(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现-波是振动状态的传播；,(4)同相点-质元的振动状态相同。,波长,相位差2,相邻,二.波是相位的传播,沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,图中b点比a点的相位落后,三.波形曲线(波形图),o,x,t,不同时刻对应有 不同的波形曲线,y,波形曲线能反映横波 纵波的位移情况,四.波的特征量,1.波长:两相邻同相点间的距离,2.波的频率:媒质质点(元)的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数,3.波速u:单位时间波所传过的距离,波速又称相速度(相位传播速度),2 行波，简谐波,设 y 为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则,
3、为沿+x 向传播的行波，u 为波速。,某种物理量的扰动的传播称为行波。,理由：,(一)行波（travelling wave）,具有沿+x向传播的性质。,同理，具有沿-x向传播的性质。,Y(x,t)的函数形式称为波函数，它也就,称为行波的波函数。,即,是波传播时媒质质元的运动函数。,一、一维简谐波的表达式(波函数),讨论:沿+x方向传播的一维简谐波(u,),假设:媒质无吸收(质元振幅均为A),x,d,x,o,任一点p,参考点 a,已知:参考点a的振动表达式为,ya(t)=Acos(ta),P点:A,均与a 点的相同,但相位落后,振动表达式,一维简谐波的波的表达式,选:原点为参考点,初相 a为零,
4、则,或,称作角波数,(二)简谐波(波函数),例1,反射波在S处相位改变。,求：反射波函数,解：,全反射，A不变。,波由0经壁反射到 x 传播了距离l+(l x)=2l x，,相位落后了2(2lx)/，,在壁处反射相位改变了,1.x 一定，y t 给出 x 点的振动方程。,2.t 一定，y x 给出 t 时刻空间各点位移分布。,二.一维简谐波表达式的物理意义,由y(x,t)cos(t-kx)从几方面讨论,3.如确定某一相位,即令(t-kx)=常数,相速度为,4.表达式也反映了波是振动状态的传播,y(x+x,t+t)=y(x,t)其中 x=u t,5.表达式还反映了波的时间、空间双重周期性,T 时
5、间周期性,空间周期性,例2,已知：一个向右传播的波在 x=0点的振动,(2),出该波在t=0 时的波形曲线。,曲线如图所示。试画,解:(1)根据 Y=Acos(t+),根据 Y=Acost+-(2/)(x-d),三.平面波和球面波,1.波的几何描述,波线,波面,波前(波阵面),平面波,球面波,2.平面简谐波的表达式,沿+x 向传播,3.球面简谐波的表达式,点波源(各向同性介质),例一平面简谐波沿x轴的负方向传播,波长为,P处质点的振动规律如图所示.(1)求P处质点的振动方程;(2)求此波的波动方程;(3)若图中d=1/2,求坐标 原点处质点的振动方程.,(1)P处质点的振动方程为,Yp=Aco
6、s(0.5t+),(2)此波的波动方程为,解:根据 Y=Acos(t+),(3)o处质点的振动方程为,Y0=Acos(0.5t+-),Y0=Acos(0.5t),弹性变形：当外力不太大时，在弹性限度内的形变。,1.线变,在拉应力作用下发生的应变,3 物体的弹性变形,根据外力的施加方式，形变有以下几种形式。,(1)应变,(2)应力,F/S,(3)应力与应变的关系,(4)弹性势能,(5)弹性势能密度,一块物质周围受到的压强改变时，其体积也会发生改变，以V/V表示体应变。,3.体变,2.面变,通常又称为切应变,在剪应力作用下发生的应变,(1)应变,(2)应力,F/S,(3)应力与应变的关系,(4)弹
7、性势能密度,应力与应变的关系,（K为体弹性模量）,弹性势能密度,4 波动方程和波速,一.平面波波动方程,一维简谐波的表达式就是此波动方程的解,为波速,具体问题,(1)弹性绳上的横波,T-绳的初始张力,l-绳的线密度,E-杨氏弹性模量-体密度,(2)固体棒中的纵波,(3)固体中的横波,G-切变模量,G E,固体中 横波纵波,(4)流体中的声波,k-体积模量,0-无声波时的流体密度,=Cp/Cv,摩尔质量,容变,V0+V,理想气体:,二.固体棒中纵波的波动方程,1.某截面处的应力、应变关系,o,x,x+x,x,x,自由状态,t 时刻,y(x,t),y(x+x,t),x截面,x+x截面,x段的平均应
8、变:,y(x+x,t)-y(x,t)/x,x处截面 t 时刻:应变为 y/x 应力为 F(x,t)/S,应力、应变关系,2.波动方程,将应力、应变关系代入,x0,5 波的能量,一.弹性波的能量 能量密度,振动动能+形变势能,1.弹性波的能量密度,(以细长棒为例),动能,动能密度,势能密度,棒中有纵波时,能量密度,2.平面简谐波的能量密度,y(x,t)=Acos(t-kx),能量密度,wk、w p均随 t 周期性变化,(1)固定x,物理意义,w k=w p,(2)固定t,wk、w p随x周期分布,y=0w k w p最大,y 最大 wk w p为 0,o,y,T,t,wk,wp,x=x0,(1/
9、4)2A2,能量“一堆堆”地传播。,二.能流(能通量)、波的强度,1.能流(能通量P),能流:,P=w能uS,能流密度:,p=w能u,平面简谐波,p=w能u=u 2A2sin2(t-kx),2.波的强度(I),能流密度的时间平均值,平面简谐波,特性阻抗:Z=u,利用 和能量守恒，可以证明，,对无吸收媒质：,平面波：,球面波：,柱面波,r 场点到波源的距离,在一周期内通过S1和S2面的能量应该相等,三.声波（书上P832.8）,1.声波,超声波(20000Hz),可闻声波（2020000Hz),次声波（20Hz),2.声压,(声波传播时的压力与无声波的静压力之差),（可正、可负）,声压振幅：,3
10、.声强,(就是声波的平均能流密度),(1)正常人听声范围,20 20000 Hz.I下 I I上,(2)声强级,以1000 Hz 时的I下作为基准声强 I0,单位:分贝(db),1000,o,20,20000,I(W/m2),I上=1,I下=10-12,(Hz),4.声强级,标准声强：,(在1000Hz下，这个声强人能够勉强听到),几百Hz时，,标准声强振幅10-10 m,正常说话60dB，,噪声70dB，,炮声120dB。,每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级,(3)声强级的应用,超声波,胎儿的超 声波影象（假彩色）,20000Hz的声波,了解其应用,一.惠更斯原理,1.原理:,2.应
11、用:,t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向,6 惠更斯原理,3.不足,在以后的任一时刻,这些子波面的包 迹面就是实际的波在该时刻的波前。,媒质中波传到的各点,都可看作开始 发射子波的子波源(点波源),水波通过窄缝时的衍射,2.作图：可用惠更斯原理作图,比较两图,如你家在大山后,听广播和看 电视哪个更容易?,(若广播台、电视台都在山前侧),二.波的衍射,1.现象:,波传播过程中当遇到障碍物时,能 绕过障碍物的边缘而传播的现象。,（声音强度相同的情况下）,2.波的折射,用作图法求出折射 波的传播方向,BC=u1(t2-t1),折射波传播方向,AE=u2(t2-t1),A,C,i,t1,t2,B,
12、E,由图有 波的折射定律,i-入射角,-折射角,三.波的反射和折射,1.波的反射(略),=n21,光密媒质光疏媒质时，折射角r 入射角 i。,全反射的一个重要应用是光导纤维(光纤),它是现代光通信技术的重要器件。,当入射i 临界角 iC 时，将无折射光 全反射。,iC 临界角,光 导 纤 维,我国电信的主干线,可达300公里。,也只有几十公里。,而且损耗小。,光纤通信容量大，,在不加中继站的情,况下，,光缆传输距离,而同轴,电缆只几公里，,微波,早已全部为光缆。,7 波的叠加 驻波,波传播的独立性：,两不同形状的正脉冲,大小形状一样的正负脉冲,（仍可辨出不同乐器的音色、旋律）,红、绿光束空间交
13、叉相遇,（红仍是红、绿仍是绿）,（仍能分别接收不同的电台广播）,听乐队演奏,空中无线电波很多,波的叠加：,在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处,几列波可以保持各自的特点,（方向、振幅、波长、频率）,同时通过同一媒质，,产生位移的合成。,（亦称波传播的独立性）,一.波传播的独立性,媒质中同时有几列波时,每列波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率等),不受其它波的影响,二.波的叠加原理,1.叠加原理:,在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播 时在该点引起的振动的合成。,2.波动方程的线性决定了波服从叠加原理,波的强度过大非线性波,叠加原理不成立,电磁波,光波在媒
14、质中传播时,弱光 媒质可看作线性媒质,强光 媒质非线性,波的叠加原理不成立,麦可斯韦方程组的四个方程都是线性的,如果 也是线性关系-解满足叠加原理。,波的干涉现象,波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减,弱的分布叫波的干涉。,水波盘中水波的干涉,三.干涉现象和相干条件（附加内容）,1.干涉现象,波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布,2.相干条件,(1)频率相同,(2)有恒定的相位差,(3)振动方向相同,四.波场的强度分布,1.波场中任一点的合振动,设振动方向屏面,S1 y10=A10cos(t+10)S2 y20=A20cos(t+20),P点两分振动,y1=A1cos(t+10-kr1
15、)y2=A2cos(t+20-kr2),相位差:=(20-10)-k(r2-r1),强度,合振幅 A=(A12+A22+2A1A2cos)1/2,2 加强、减弱条件,加强条件(相长干涉),=(20-10)-k(r2-r1)=2m,(m=0,1,2,),p点合振动,若 A1=A2,则 Imax=4 I1,减弱条件(相消干涉),=(20-10)-k(r2-r1)=(2m+1),(m=0,1,2,),若 A1=A2,则 Imin=0,特例：,20=10,加强条件,减弱条件,相干条件：,频率相同；振动方向相同；有固定的相位差。,两列波干涉的一般规律留待在后面光的,干涉中再去分析。,下面研究一种特殊的、
16、常见的干涉现象,驻波,(二).驻波（standing wave）,就形成驻波，,设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，,能够传播的波叫行波（travelling wave）。,1.驻波的描述,两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，,它是一种常见的重要干涉现象。,在 x=0 处两波的初相均为 0：,令,如图,不具备传 播的特征,驻波演示,各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同。,波节,波腹,/4,-/4,各处不等大，出现了波腹（振幅最,大处）和波节（振幅最小处）。,测波节间距可得行波波长。,相邻波节间距/2，,没有x 坐标，,在波节两侧变号,（1）振幅：,（2）相位：,故没有了相位的传播。,
17、驻波是分段的振动。,两相邻波节间为一段，,合能流密度为,但各质元间仍有能量的交换。,（3）能量：,平均说来没有能量的传播，,能量由两端向中间传，,瞬时位移为0，,能量由中间向两端传，,势能动能。,动能最大。,势能为0，,动能势能。,3.的情形：,设,则有,此时总的仍可叫“驻波”，不过波节处有振动。,(三).波在界面的反射和透射，“半波损失”,特性阻抗,透射波：,（2）若z1 z2，则 1=1,（1）若z1 z2，则 1=1,反射波：,相位关系,半波损失,均有 2=1,即透射波总是与入射波同相,若忽略透射波，则入射和反射波的波形如下：,（四）简正模式（normal mode）,波在一定边界内传播
18、时就会形成各种驻波。,如两端固定的弦，,或,系统的固有频率,F 弦中的张力,l 弦的线密度,波速,形成驻波必须满足以下条件：,每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简正模式。,边界情况不同，简正模式也不同：,末端封闭的笛中的驻波,末端开放的笛中的驻波,8 多普勒效应,当波源S和接收器R有相对运动时,接收器所测得的频率 R不等于波源振动频率 S的现象,机械波的多普勒效应,参考系:媒质,符号规定:S和R相互靠近时Vs,VR 为正,R,S,S:波源振动频率,:波的频率,R:接收频率,1.波源和接收器都静止(VS=0,VR=0),R=S,=S,但 R,2.波源静止,接收器运动(VS=0,设 VR0),3.接收器静止,波源运动(VR=0,设VS0),R=,但 S,S,S运动的前方波长缩短,R,实=uTS VSTS,4.接收器、波源都运动(设 VS、VR均0),S R,若S和R的运动不在二者连线上,有纵向多普勒效应,无横向多普勒效应,若波源速度超过波速(VSu),超音速飞机会在空气 中激起冲击波,飞行速度与声速的比值VS/u(称马赫数)决定 角,切仑柯夫辐射,水波的多普勒效应（波源向左运动）,超音速的子弹在空气中形成的激波,（马赫数为2）,第二章 作业,P108 习题：2.4,2.5，2.6 2.17,2.18,本章结束,
