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1、机械波,第七章,波动是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为物质波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。,机械振动在介质中的传播称为机械波。声波、水波,7-1 机械波的产生和传播,一、机械波的产生条件,1、有作机械振动的物体，即波源,2、有能够传播这种振动的的介质,纵波和横波,横波质点振动方向与传播方向垂直，如电磁波,纵波质点振动方向与传播方向相同，如声波。,二、机械波的分类,弹性介质由弹性力组合的连续介质。,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233
2、34 35 36,1）横波传播时有波峰波谷；,2）波源每完成一次全振动，沿着波传播的方向传 出一个完整的波。,3）波的传播不是质点的传播，而是相位和能量 的传播,结论：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的振动状态和能量。,波面在波的传播过程中任一时刻振动位相相同的点所组成的面。,波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态传到的波面。或在波的传播过程中,离波源最远的,即最前面的波面.,波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。,各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.,沿波线方向各质点的振动相位依次落后。,平面波,球面波,波的周期和频率,波的周期：波前进一个波长的距离所需的时间，用T表示。,波的频率
3、：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用表示。,波长,同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。,三、描述波的物理量,振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速 ，也称之相速。,波速 u,在固体媒质中纵波波速为,G、 Y为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为介质的密度,在固体媒质中横波波速为,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些,T为弦中张力，为弦的线密度,在弦中传播的横波波速为:,在液体和气体只能传播纵波，其波速为：,B为介质的容变弹性模量为密度,理想气体纵波声速:, 为气体的定摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量，T为热力学温度， R为气体的普适常数，为气体的密度,找到
4、一个方程式描述介质中任一质点任一时刻的振动状态,一、平面简谐波的波函数,平面简谐波:简谐波的波面是平面。,7-2 平面简谐波的波函数,一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线,简谐波:波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。,任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。,波函数,设原点振动表达式：,y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标,点的振动方程：,t 时刻p处质点的振动状态重复,时刻O处质点的振动状态,点振动比O点振动晚,沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程,是否一定要知道波源的振动方程呢？,已知b点振动方程：,任一点p比b点晚振动,其波动方程：,即：,若是左
5、行波：,点只不过比b点早振动一段时间：,其波动方程：,波矢， 表示在2 长度内所具有的完整波的数目。,沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程,二、波函数的物理意义,1、如果给定x，即x=x0,x0处质点的振动初相为,为x0处质点落后于原点的位相,若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2,是波在空间上的周期性的标志,2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x),表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布,即给定了t0 时刻的波形,同一波线上任意两点的振动位相差,同一质点在相邻两时刻的振动位相差,T是波在时间上的周期性的标志,3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形,t时刻的波形
6、方程,t+t时刻的波形方程,t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离,在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x,行波,三、平面简谐波的波动方程,沿x方向传播的平面波波动方程。,求t 的二阶导数,求x的二阶导数,物理量 在三维空间中以波的形式传播，其波动分方程一般形式为：,拉普拉斯算符,平面波的波动微分方程,波动媒质中一体积元 中的能量,以一个平面简谐纵波为例来说明,一、波的能量,波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,7-3 波的能量,1）体积元的动能,2）体积元的势能,3）体积元的总能量,体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统）,波动过程是一个能量传播的过程
7、。,波动过程中，体元中的动能与势能“同相”-同 时达到最大，同时达到最小。,定量分析,速度最大时：,质点过平衡位置时动能最大。,此时的相对形变（应变）,也最大！,同理可证：质元动能最小时，势能也最小。,能量密度介质单位体积内的能量。,平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。,二、能量密度,能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。,三、能流和能流密度,平均能流：在一个周期内能流的平均值。,能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。,波的吸收,波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。,波强的衰减规律：,例7-5:在均匀不
8、吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变,在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等,所以,平面波振幅相等。,所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A0 则距波源r 处的振幅为A0 /r,由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：,在均匀不吸收能量的媒质中传播的球面波的振幅与离波源的距离成反比。,三、声波,在弹性媒质中,如果波源所激起的纵波的频率在20-20000Hz之间，就能引起人的听觉.在这一范围内的振动称为声振动.,由声振动所激起的纵波称为声波.,频率高于20000Hz的机械波称为超声波.,频率低于20Hz的机械波称为次声波.,
9、1. 声压、声强和声强级,声压:介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之间的差值.,对平面简谐声波:,声强:声波的能流密度.,B）声波的声强不大，大小相差十几个数量级。,声强级（L）,定义：某声波的声强为I，则声强级：,I0为人耳听得到的最小声强（标准声强）,（B）,单位：贝尔（Bel）,或“分贝”,A）人耳听觉的范围为20-20000HZ，且有一听阈,注意：,有的地方规定户外噪声不得超过100分贝,7-4 惠更斯原理 波的衍射 反涉 折射,一、惠更斯原理,惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后任一时刻,这些子波的包迹便是新的波阵面。,t时刻波面 t+
10、t时刻波面波的传播方向,如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧),二、波的衍射,衍射（绕射）-波动在传播过程中遇到障碍物时能绕过障碍物的边缘前进的现象,“室外讲话，墙外有耳”,水波的衍射,B,三、波的反射和折射,t时刻,时刻,7-5 波的干涉,各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。,波传播的独立性原理或波的叠加原理：,说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上,能分辨不同的声音正是这个原因,一、波的叠加原理
11、,两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。,相干条件,具有恒定的相位差,振动方向相同,两波源具有相同的频率,满足相干条件的波源称为相干波源。,波的干涉,波的干涉之模拟演示图,波的干涉之模拟演示图,传播到p点引起的振动分别为：,在p点的振动为同方向同频率振动的合成。,设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。,合成振动为：,其中：,对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：,相长干涉的
12、条件：,相消干涉的条件：,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,相长干涉,相消干涉, 称为波程差,例题 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。,解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取A点的振动方程 :,在X轴上A点发出的行波方程：,B点的振动方程 :,B点的振动方程 :,在X轴上B点发出的行波方程：,因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：,相干相消的点需满足：,因为：,7-6 驻波,二、驻波方程,一、驻波的产生： 驻波是两列振幅、频率相同，但
13、传播方向相反的简谐波的叠加。,驻波方程,函数不满足,它不是行波,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。,驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。,1、波腹与波节 驻波振幅分布特点,相邻波腹间的距离为：,相邻波节间的距离为：,相邻波腹与波节间的距离为：,因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,2、驻波的位相的分布特点,时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。,两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到
14、最小。速度方向相同。,3、驻波能量,驻波振动中无位相传播，也无能量的传播,一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。,当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。,三、半波损失,入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。,折射率较大的媒质称为波密媒质；折射率较小的媒质称为波疏媒质.,当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。,在绳长为l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：,四、振动的简正模式,即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式
15、称为该系统的简正模式（Normal mode).,对应k=2,3,的频率为谐频，产生的音称为谐音(泛音)。,最低的频率(k=1)称为基频，产生的一个音称为基音；,7-7 多普勒效应,一、多普勒效应,观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。, 波源的频率,u波在介质中的速度,选介质为参考系波源和观察者的运动在两者的连线上,表示观察者相对于介质的运动速度。,观察者接受到的频率,表示波源相对于介质的运动速度。,一）波源与观察者均相对媒质静止,接收的频率就是波源振动的频率,二）波源不动，观察者以速度 相对媒质运动,接收频率提高！,1）观察者朝向波源运动,2）观察者背向波源运动,
16、接收频率降低了！,三）观察者静止，波源以速率 运动,先看波源与观察者都静止时的情况,波源开始发出第一个波：,波源开始发出第二个波,1）波源朝向观察者以速度 运动,波源开始发出第一个波,频率 增高了！,1）波源朝向观察者以速度 运动,2）波源背向观察者以速率 运动,频率 降低了！,演示1：,演示2：,四）波源及观察者同时运动,1）波源与接收者相向运动,波源相对介质运动：,2）波源与接收者相背运动,波源相对介质运动：,公式归一：,其中：波源静止,观察者静止,二者相互靠近,二者相互远离,取正值代入,取负值代入。,例：某人造地球卫星发出的频率为108HZ无线电信号，卫星地面站观测者的本机振荡频率也是108HZ，该观测者检测无线电信号与本机振荡信号的差拍频率2400HZ。试求此时卫星在卫星与地面站联线方向间的分速是多少？,u=C,两式联立解之：,冲击波,前面我们都默认了一个前题：波源及观察者的速度都小于波在介质中的速度,如果波源的速度等于波的速度，波源总在波阵面上,如果波源的速度等大于波的速度，波源总在波阵面前面,冲击波,过强的冲击波掠过物体将造成损害,
