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1、1,1. 机械波的形成和传播2. 平面简谐波3. 波的能量 能流密度4. 惠更斯原理5. 波的干涉6. 驻波7. 多普勒效应,机械波,韦伯（18041891年）,波动论,2,1.机械波的形成和传播,？波：如果在空间某处发生的扰动以一定的速度由近及远向四处传播，则称这种传播的扰动为波。？机械波：机械扰动在弹性介质中的传播形成机械波。,3,横波传播的条件：媒质具有切变弹性。在气体和液体内不产生切向弹性力, 故气、液体中不能传播横波。,4,横波传播演示,纵波传播演示,5,？ 波面: 振动相位相同的各点连成的面。？ 波前: 波源最初振动状态传播到各点所连成的面。根据波前的形状可把波分为平面波、球面波、
2、柱面波等。 ？波线: 沿波的传播方向画一些带箭头的线; 各向同性介质中波线与波面垂直。,三、波面与波线,6,横波: 相邻的波峰或波谷间距离; 纵波: 相邻的密集或稀疏部分中心间距离。,3. 波速(u):单位时间内, 波动所传播的距离称为波速(相速)； 波速决定于介质的特性。,2. 周期(T): 波前进一个波长的距离所需的时间叫周期。,频率(f ): 周期的倒数称为频率,波长反映波的空间周期性；周期反映波的时间周期性。,四、描述波的几个物理量,1. 波长(): 波传播时, 在同一波线上两个相邻的相位差为2 的质点之间的距离。,7,1) 弹性绳上的横波,T绳中的张力, 绳的线密度,讨论几种介质中的
3、波速：,2) 固体棒中的纵波,Y杨氏弹性模量 体密度,其中：,8,3) 固体中的横波,4) 流体中的纵波, = Cp/Cv , 摩尔质量,p,理想气体:,B容变模量, 流体密度,G 切变模量,9,？简谐波：若波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简谐振动, 这种波称之为简谐波。？平面简谐波：若波面为平面，则该波称为平面简谐波。,设波的位相速度，即波速为u,则对P点：,2.平面简谐波,设原点O处振动位移的表达式为：,1. 沿x轴正方向传播(右行波),10,定义角波数 得：,2. 沿x 轴负向传播(左行波),对P点：,11,二、波函数的物理意义,1. x确定时，此为该处质点的振动方程, 对
4、应曲线为该处质点振动曲线,2. t确定时，此为该时刻各质点位移分布, 对应曲线为该时刻波形图,不同时刻对应有不同的波形曲线。,简谐波运动学方程是一个二元函数。位移y是时间t和位置x的函数。,12,3. t, x 都变化时, 表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况 行波。,波函数的物理意义描述了波形的传播。,13,三、波动中质点振动的速度和加速度,四、平面波的波动方程,把平面简谐波的波函数分别对t和x求二阶偏导数，得,14,比较上列两式，即得,普遍意义：在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质 是无吸收的各向同性均匀介质，都适合下式：,任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可肯定它是以u为传
5、播速度的波动过程。,15,例1有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播,已知振幅A=1.0m, 周期T=2.0s, 波长=2.0m。在t=0时, 坐标原点处质点位于平衡位置，且沿Oy 轴的正方向运动。 求：波函数; t=1.0s时各质点的位移分布, 并画出该时刻的波形图; x=0.5m处质点的振动规律, 并画出该质点位移与时间的关系曲线。,解: 1) 按所给条件, 取波函数为,式中为坐标原点振动的初相,16,代入所给数据, 得波动方程,2) 将t=1.0s代入式(1), 得此时刻各质点的位移分别为,(2),(1),17,按照式(2)可画出t=1.0s时的波形图,(3) 将x=0.5m代入式(1), 得
6、该处质点的振动规律为,由上式可知该质点振动的初相为-。 由此作出其y-t曲线。,18,例2一平面简谐波以速度u=20m.s-1沿直线传播, 已知在传播路径上某点A简谐运动方程为y=(310-2)cos(4t) (m)。求:以点A为坐标原点, 写出波动方程;以距点A为5m处的点B为坐标原点, 写出波动方程;写出传播方向上点C、D的简谐运动方程;分别求出BC和CD两点间的相位差。,解: 由点A的简谐运动方程可知,频率:,波长:,19,例3 一横波沿一弦线传播, 设已知t=0时的波形曲线如图所示, 弦上张力为3.6N , 线密度为25gm-1。 求: 1) 振幅; 2) 波长; 3) 波速; 4)
7、波的周期; 5) 弦上任一质点的最大速率; 6) 图中a , b两点的相位差; 7) 3T/4 时的波形曲线。,20,3) 由波速公式可得,4) 波的周期为,2) =40cm,5) 质点的最大速率为,21,6) a, b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后；,7) 3T/4时的波形如图中实线所示, 波峰M1和M2已分别右移3/4而到达M1和M2处。,22,振动速度:,振动动能:,3.波的能量 能流密度,振动位移:,在弹性介质中，介质质元不仅因有振动速度而具有动能，而且因发生形变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随能量的传递。,23,因,关于体积元的弹性势能：,24,故总能量:,
8、25,二、能量密度,2. 平均能量密度,表明: 波的平均能量密度与振幅的平方成正比, 与频率的平方成正比。,1. 能量密度: 单位体积介质中的波动能量。,表明: 波的能量密度与总能量dE均随时间作周期性变化, 且同相。,26,2. 平均能流,1. 能流: 单位时间内通过介质某一截面的能量。,三、能流密度（波的强度）,27,四、波的吸收,若波的吸收系数为常数时,强度比振幅衰减快。,对于球面波在均匀介质中传播的情况。通过两个球面的总的 能流应相等，即,由此得,相应的球面简谐波表式为,28,4. 惠更斯原理,29,应用：解释波的衍射(绕射), 波的散射, 波的反射, 波的折 射等现象。,局限性：,没
9、有说明子波的强度分布；没有说明子波只向前传播, 而不向后传播的问题。,衍射现象显著与否, 与障碍物的大小与波长之比有关。,30,三、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律,波的折射和折射定律,用作图法求出折射波的传播方向,i1-入射角, i2-折射角,注意：波在被反射或折射后，由于波的传播方向发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于是纵波可能变成横波或部分纵波、部分横波。反之亦然。,练习：应用惠更斯原理，用作图法证明波的反射定律。,31,波传播的独立性：无论是否相遇, 各列波仍保持原有的特性(频率, 波长和振动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进, 就象没有遇到其他的波一样；矢量性
10、：在其相遇区域内, 任一点的振动为各个波单独存在时在该点引起的振动的矢量和。,一、波的叠加原理,5. 波的干涉,几列波在同一介质中传播:,32,33,波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。,则 显然也满足波动方程,34,波源的振动：,由叠加原理P点合振动：,P点的振动：,35,c) 其他情况:合振幅在最大值与最小值之间。,？ 非相干叠加,振幅叠加情况复杂，但强度分布简单,a) 干涉加强,b) 干涉减弱,36,例4 A, B两点为同一介质两相干波源, 其频率皆为100Hz, 当点A为波峰时点B为波谷。设波速为10m.s-1, 试写出A, B发出的两列波传到点P时干涉的结果。,解: 由
11、图可知, AP=15m, AB=20m, 故,又已知f=100Hz, u=10m.s-1 得,37,设A的相位较B超前, 则A-B=。 根据相位差和波程差的关系有,这样的值符合合振幅的最小的条件, 如若介质不吸收波的能量, 则两波振幅相同, 因而合振幅,故在点P处, 因两波干涉减弱而不发生振动。,38,解：（1） 1 = 2 ，在BC间取一P点(如图),BP = r1 = x CP = r2 = 30 x,例5 B、C为处在同一媒质中相距30m的两个相干波源，它们产生的相干波波长都为4m，且振幅相同。求下列两种情况下，BC 连线上因干涉而静止的各点的位置：（1）B、C 两波源的初相位角1 =
12、2 ；（2）B 点为波峰时，C点恰为波谷。,由题意，应有,代入数值,39,x = 2k +16 k = 0, 1, 2,x = 0, 2, 4, , 30m为静止点,（2）B点为波峰时，C点恰为波谷，说明1 2 = ,x = 1, 3, 5, , 29m为静止点。,40,例6 s1 、s2是两相干波源，相距，s比s的周相超前，设两波源在s、s的连线上的强度相同且不随距离变化，问s1 s2的连线上，s1外侧各点处的合成强度如何？s2外侧各点的强度又如何？,解：1、设p为 外侧的一点，且有,（干涉相消）,41,所以P点的合振幅为零，,2、设Q为外侧的一点，,42,例7 如图所示，两列平面简谐相干横
13、波，在两种不同的媒质 中传播，在分界面上的点相遇频率v100 ，振幅AB1.00102，的位相比B的位相超前 2在媒质中波速400 / 在媒质中的波速500 /，4.00，BB3.75，求点的合振幅,解：,43,B2.00102,44,6.驻 波,弦线长度等于半波长的整数倍时才能形成驻波。,？驻波：两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成,而产生特殊的干涉现象。,45,二、驻波方程,46,三、驻波的特征,1. 波节和波腹,振幅为0，这种位置称为波节；两相邻波节间的距离/2。,波节：当 即,波腹：当 ， 即,振幅为2A，这种位置称为波腹，两相邻波腹间的距离/2；,两相邻波节与波
14、腹间的距离/4。,47,2. 相位,48,4、半波损失,均匀介质中传播的波在遇到两种介质的分界面处，究竟出现波节还是波腹，取决于波的种类、两种介质性质及入射角的大小。定义介质的特性阻抗 。,分析表明：在入射波波线近似于垂直界面时,由于半波损失，入射波和反射波在反射点是相消干涉，形成驻波的节点。,波从波疏介质射向波密介质时反射过程中，反射波在离开反射点时的振动相对于入射波到达入射点时的振动相差半个周期，这种现象叫做半波损失。,49,解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节，说明有半波损失。 故应选 (D),例8设入射波的波动方程为，在x0处发生反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为
15、,50,例9 某时刻驻波波形图曲线如图所示，则a,b两点位相差是,（） （B） （C） （D）,解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。,所以选（）,51,驻波的表达式为,波腹所在处的坐标为,例10 设入射波的表达式为 波在x0处反射,反射点为一固定端，则反射波的表达式为驻波的表达式为入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为,52,例11在弹性介质中有一沿x轴传播的平面波，其方程为y=0.01cos4t-x-() (SI) 若在x=5.00m处有一介质分界面，且在分界面处位相突变，设反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。,解：取波动方程的标准式为,界面处的位相比原点落后
16、,可知，波长为2m.,同理，反射波传到原点时，其比界面处的位相又落后5,再考虑到界面处的位相突变,于是，反射波在原点处的位相为,53,于是，向右传播的波动方程为,54,解：（）与标准波动方程 2 （） 对比可得：, 4， 1.50,波速 6.00,例12 两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为:14.0010-2cos(/3)( 4 24）（）24.0010-2cos(/3)( 4 24）（） 求（）两波的频率、波长、波速； （）节点位置； （）波腹位置,55,（）波腹位置,（）节点位置,4 3 （ /2）,3（1/2）4 （），,驻波方程为,根据,节点位置満足,4 3,34 （） ，,
17、56,例13、两人各执长为l的绳的一端, 以相同的角频率和振幅A在绳上激起振动, 右端的人的振动比左端的人的振动相位超前。试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长, 不考虑反射。绳上波速设为u。,解: 设左端振源振动为,则右端振源振动为,左端振源传到原点的振动,右端振源传到原点的振动,57,于是,以原点的振动作为新的振源，考察左行和右行波,58,对弹性波而言，所谓波源和观察者的运动或静止，都是相对于在其中传播的连续介质而言的。,7.多普勒效应,为简单起见，假定波源、观察者运动发生在二者连线上。设波源的频率为f, 波长为, 在介质中的传播速度为u。若波源和观察者相对于介质静止时，测得的频率
18、f是单位时间内的波的个数，则为,59,一、波源不动, 观察者相对于介质以速度v0 相向运动,2. P 以速度v0离开S,下面分三种情况讨论：,1. P 以速度v0 接近S单位时间内通过P的波段长度: u+0,表明: P 接收到的频率提高。,P接收到的频率:,60,二、观察者不动, 波源相对于介质以速度vs相向运动,表明: P接收到的频率也提高。,P接收到的频率：,2. 若S以速度vs 离开P, 则,1. 若S以速度vs 接近P,61,三、波源和观察者同时相对介质运动,波的波长为,单位时间内通过P的波段长度为 u+0,1. 若S以速度vs 接近P, 而P以速度v0 接近S,P接受到的波频率：,表
19、明: P接收到的频率也提高。,62,2. 若波源速度超过波速vsu,上述计算结果将没有意义，这时波源将位于波前的前方,各波前的切面形成一个圆锥面，称为马赫锥,其顶角满足,思考：vs和v0分别取反向的情况。（重要）,63,飞机、炮弹等以超音速飞行时，在空气中激起冲击波；飞行速度与声速的比值vS/u决定角, 比值vS/u称马赫数。,64,例6 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度。 一固定波源发出频率为100kHz的超声波。当汽车迎着波源驶来时。与波源安装在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超声波的频率为110kHz。已知空气中声速为330m.s-1, 求汽车行驶的速率。,解: 分两步分析:,第一步:
20、 波向着汽车传播并被汽车接收, 此时波源是静止的。汽车作为观察者迎着波源运动。设汽车的行驶速度为, 则接收到的频率为,65,由此解得汽车行驶的速度为,第二步: 波从汽车表面反射回来, 此时汽车作为波源向着接受器运动, 汽车发出的波的频率即是它接收到的频率f, 而接受器此时是观察者, 它接收到的频率为,66,例题7 A, B为两个汽笛, 其频率均为500Hz。A是静止的, B以60m.s-1的速率向右运动。在两个汽笛之间有一观察者O，以30m.s-1的速率也向右运动。已知空气中的声速为 330m.s-1。 求: 1) 观察者听到来自A的频率; 2) 观察者听到来自B的频率; 3) 观察者听到的拍
21、频。,已知: v=330m.s-1, vsA=0, vsB=60m.s-1, v0=30m.s-1, f=500Hz,67,1) 由于观察者远离波源A运动, v0应取负号, 观察者听到来自A的频率为,2) 观察者向着波源B运动, v0取正号; 而波源远离观察者运动, vsB也取正号. 故观察者听到自B的频率为,3) 拍频,68,例8 一警报器发射频率1000Hz 的声波, 离观察者向一固定的目的物运动, 其速度为10m/s. 试问:1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少? 2) 观察者听到从目的物反射回来的声音频率为多少?3) 听到的拍频是多少? (空气的声速为330m/s),解:
22、已知,1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率,69,目的物反射的频率等于入射声音的频率f2. 静止观察者听到反射声音的频率,3) 两波合成的拍频为,2) 目的物接到的声音频率为,70,本章基本要求,1.理解描述波动的物理量的物理意义及相互关系；2.熟练掌握平面谐波的波函数及波动方程的物理意义， 根据给定条件求解波函数；3.掌握平均能量密度与平均能流密度的概念和计算；4.理解惠更斯原理及其意义，掌握惠更斯原理应用；5.理解波的迭加原理,掌握波的干涉原理和干涉加强、减 弱的条件；6.掌握驻波的形成条件和特点，建立半波损失的概念， 掌握其形成的特点；7.掌握多普勒效应及其产生原因，求解具体问题。
23、,71,第十章 机械波小结,一、理论体系：,出发点 ：,二、内容：,1、波函数：,2、波方程：,返回首页,3、波能量密度：,波函数、波方程、波能量密度、波能流密度、惠更斯原理、叠加原理,72,4、波能流密度 ：,三、四个特征：,1、波的衍射：能够绕过障碍物的边缘继续向前传播。,2、 波的干涉：,5、惠更斯原理：介质中波动传播到的各点, 都可视为发射子波的波源, 在其后任一时刻, 这些子波的包络就是新的波前。,6、叠加原理,73,4、多普勒效应,3、驻波：,74,总结图,（波方程）,波的衍射,（波能量密度）,（波函数）,（波能流密度）,波的干涉,驻波,多普勒效应,75,上课不遵守纪律：杨传龙 商金运,
