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1、上海交大大学物理8机械波习题思考题习题 8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后p，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 6p解：根据题意，对于A、B两点，Dj=j2-j1=，Dx=2m 6而相位和波长之间又满足这样的关系：Dj=j2-j1=-x2-x1l2p=-Dxl2p 代入数据，可得：波长=24m。又已知 T=2s，所以波速u=/T=12m/s 8-2 已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y=Acos(wt+j)，波速为u，求: 平面波的波动式； 若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解：根据题意，距坐标原点O为x1
2、处P点是坐标原点的振动状态传过来的，其O点振动状态传到p点需用 Dt=状态重复t-x1，也就是说t 时刻p处质点的振动ux 时刻O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状态相当u于t+x1 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为：ux1）+ju波动方程为：y=Acosw+j=Acosw(t-)+j uuu若波沿x轴负向传播， O处质点的振动状态相当于t-x1 时刻p处质点的u振动状态，则O点的振动方程为：y=Acosw+j u程为：y=Acosw+j=Acosw(t-)+j uuu8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y=Acos(2pnt+j)，试写出： 该
3、平面简谐波的表达式； B点的振动表达式。 A点的振动规律为y=Acos(2pnt+j)，解：仿照上题的思路，根据题意，y=Acos2pn+j 它的振动是O点传过来的，所以O点的振动方程为：那么该平面简谐波的表达式为：y=Acos2pn+j uuB点的振动表达式可直接将坐标x=d-l，代入波动方程： ld-ld+）+j=Acos2pn+j uuud也可以根据B点的振动经过时间传给A点的思路来做。 uy=Acos2pn写出O点的振动表达式； 写出该波的波动表达式； 1s时的波形如图所示，且周3写出A点的振动表达式； 写出A点离O点的距离。 解：由图可知A=0.1m，=0.4m，由题知T= 2s，=
4、2/T=，而u=/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos(t-x/0.2)+0m 关键在于确定O点的初始相位。 由上式可知：O点的相位也可写成：=t+0 1s时y=-A/2，v0，此时的=23， 32p1p=p+j0 所以j0= 将此条件代入，所以：333O点的振动表达式y=0.1cost+/3m 由图形可知： t=波动方程为：y=0.1cos(t-x/0.2)+/3m A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知： A点的相位也可写成：=t+A0 由图形可知： t=1s时y=0，v0，此时的=-2， 3p15p将此条件代入，所以：-=p+jA0 所以jA0=- 236A点的振动表达
5、式y=0.1cost-5/6m 将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与结果相同，所以： y=0.1cos(t-x/0.2)+/3= 0.1cost-5/6 可得到：xA= 8-5. 一平面简谐波以速度u=0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出： 原点的振动表达式； 波动表达式； 同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos 7=0.233m 30 t=0s时 y=A/2 v0 可知其相位为1=- t=1s时 y=0 v0 可知其相位为2= 代入振动方程， =-p3p 2p3=可得：=p 25p T=2/=
6、12/5 65pp 则 y=0.5coscm 63沿x轴负方向传播，波动表达式：5pxp5p5py=0.5cos(t+)-=0.5cos(t+x)-a cm 6u364348m 根据已知的T=12/5，u=0.8m/s，可知：l=25Dx25=p=3.27rad 那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差：Dj=2pl248-6. 一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.010-3J/(sm)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1) I=wu I-3-5-3=9.010300=
7、310 Jm u-4-3wmax=2w=0.610 Jm 1212u(2) W=wV=wpdl=wpd 44nw=3101/4300/300=4.6210 J 8-7. 一弹性波在媒质中传播的速度u=10m/s，振幅A=1.010m，频3-4-5-7率n=10Hz。若该媒质的密度为800kg/m3，求： 该波的平均能流密度； 1分钟内垂直通过面积S=4.010m的总能量。 解：=2=210 3-4231122urA2w2=10380022 =1.58105JI=1分钟内垂直通过面积S=4.010m的总能量 W=ISt=1.5810 8-8. S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们
8、的间距为5-42410-460=3.79103J d=5l/4，S2质点的振动比S1超前p2. 设S1的振动方程为y10=Acos2pt，且媒质无吸收， T写出S1与S2之间的合成波动方程； 分别写出S1与S2左、右侧的合成波动方程。 解：y1=Acos(wt+j10-由题意：20-10=2plr1) y2=Acos(wt+j20-2plr2) p2 设它们之间的这一点坐标为x，则 y1=Acos(wt+j10-2plx) y2=Acoswt+j10+p2-2p52p=Acos l4l2pxcos2pt T相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。 合成波为：y=y1+y2=2Acosl
9、 在S1左侧的点距离S1为x： y1=Acos(wt+j10+2plx) 2p52p=Acos 2l4ltx合成波为：y=y1+y2=2Acos2p Tl2px) 在S2右侧的点距离S1为x： y1=Acos(wt+j10-y2=Acoswt+j10+ply2=Acoswt+j10+p2-2p52p=Acos l4l两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。 8-9. 设S1与S2为两个相干波源，相距1p波长，S1比S2的位相超前。若42两波在在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？ 解：由题意：1-2
10、=p2 ， r1 在S1左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， A S1 S2 =j2-j1-2pr2-r1l=-p2-2p1/4ll=-p r2 r2 所以A=A1-A2=0，I=0； S1 S2 A 在S2左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， r1 =j2-j1-2pr2-r1l=-p2-2p-1/4ll=0 所以A=A1+A2=2A，I=4I0； 8-10. 测定气体中声速的孔脱法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率n，量度相邻波节间的平均距离d，
11、可求得管内气体中的声速u。试证：u=2nd。证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：Dx=l2，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d，所以：d=所以波速u=ln=2nd l2 那么：l=2d 8-11. 图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求： 声源发出的声波频率； 抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：Dx=l2相邻波节与波腹的
12、间距：Dx=l4可得：l=4Dx=6.6cm u声音的速度在空气中约为340m/s，所以：n=l=340=5151。 -26.610根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在B的第一位置时为极小值100单位， 在第二位置有极大值900单位，所以振幅的相对大小为10与30单位。极小值的原因是两个振幅相减 ，极大值的原因是两个振幅相加。 那么A1：A2=2：1 。 8-12. 绳索上的波以波速v=25m/s传播，若绳的两端固定，相距2m，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m，t=0时绳上各点均经过平衡位置。试写出： 驻波的表示式； 形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。 解：
13、根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：Dx=l2，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，Dx=4所以w=2pl2=2，所以波长l=1m，v=25m/s，ul=50p。又已知驻波振幅为0.1m， t=0时绳上各点均经p，过平衡位置，说明它们的初始相位为关于时间部分的余旋函数应为2cos。 所以驻波方程为：y=0.1cos2pxcos 2p由合成波的形式为：y=y1+y2=2Acos2pxlcos2pnt 可推出合成该驻波的两列波的波动方程为： y1=0.05cos y2=0.05cos 8-13. 弦线上的驻波波动方程为：y
14、=Acos(量线密度为r. 分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。 分别计算02plx+p2)coswt. 设弦线的质l2半个波段内的振动势能、动能和总能量。 解：振动势能和动能总是为零的各点位置是cos(即：2plx+p2）=0的地方。 = l22kl2，3L） 可得：x= 振动势能写成： 11p22222pdWp=k(dy)=rdVAwcoscos2wt 22l20l2半个波段内的振动势能： lWp=2011p22222p2k(dy)=rdxAwcoscos2wt022l2l=l8rA2w2cos2wt11px22222p2dWk=dmv=rdVAwcossinw(t-) 22l2u0
15、l2l半个波段内的振动动能： WK=2011p22222p2(dmv）=rdxAwsinsin2wt022l2l=l8rA2w2sin2wt所以动能和势能之和为： W=Wk+Wp=l8rA2w2 8-14. 试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向墙壁接近，观察者在A点听得拍音的频率为Dn=3Hz，求波源移动的速度vs，设声速为340m/s。 解：根据观察者不动，波源运动，即：uS波数变了：n=其中u=340，n0,uR=0，观察者认为接受到的un0 u-uS=2043，n0=2040。分别代入，可得： uS=0.5m/s 8-15. 光在水中的速率为2.2510m/s (约等于真
16、空中光速的3/4).在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射称切连科夫(Cherenkov)辐射，其波前形成顶角116的马赫锥，求电子的速率 解： sin=o82u vs2.25108 vs=2.65108ms 116sinsin22u思考题 8-1. 下图表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0时刻的波形图，则图表示的是： 质点m的振动曲线 质点n的振动曲线 质点p的振动曲线 质点q的振动曲线 答：图在t=0时刻的相位为p，所以对应的是质点n的振动曲线，选择b。 28-2. 从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答：在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。 在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。 8-3. 设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？ 略 8-4. 入射波波形如图所示，若固定点O处将被全部反射。 试画出该时刻反射波的波形； 试画该时刻驻波的波形； 画出经很短时间间隔Dt时的驻波波形。 略
