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1、第13章 机械波,中国国家管弦乐团在联合国总部的演出,第13章 机械波中国国家管弦乐团在联合国总部的演出,一.波的分类,什么是波？,振动在空间的传播就形成了波.,机械振动在弹性介质中由近及远地传播形成机械波。,产生条件,1. 机械波,波源：作机械振动的物体,弹性介质：承担传播振动的物质,（遵循经典的力学规律）,13.1 机械波的产生和传播,一.波的分类 什么是波？ 振动在空间的传播就形成了波.机械振,2. 电磁波,变化的电场和变化的磁场(电磁振动)在空间的传播过程形成电磁波，如光波、无线电波、x射线等。,产生条件,宏观：凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源,例：天线中的振荡电流,微观：分子或原子
2、从高能级向低能级的跃迁,（可以在真空或介质中传播）,（遵循麦克斯韦电磁场理论）,3. 物质波（概率波）,物质波是微观粒子的一种属性，与经典的波相比具有完全不同的本质。,（遵循量子力学理论）,波的共同特点：1.，2.，3.,2. 电磁波变化的电场和变化的磁场(电磁振动)在空间的传播过,二. 横波和纵波,横波：,介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如弹性绳上传播的波.,纵波：,介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波.,(就机械波而言:气体和液体内只能传播纵波，不能传播横波）,二. 横波和纵波 横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂,结论,1 2 3 4 5 6
3、7 8 9101112131415161718,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,横 波,纵 波,(1) 波动中各质点并不随波前进；,y,x,波动曲线,(2) 在波的传播方向上各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；,(3) 波动曲线与振动曲线不同。,振动曲线ty结论1 2 3 4 5 6 7 8 91,大学物理-机械波课件,三. 波面和波线,沿波的传播方向作的有方向的线。,波线,波线,在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。(振动状态与波面),波面,波前,在某一时刻，波传播到的最前面的波面。,球面波,柱面波,波面,波线,波面,波线,在
4、各向同性均匀媒质中，波线波面。,注意,x,y,z,平面波,平面波,某时刻，在同一条波线上，是否有振动相位相同的点？ 是否有振动状态相同的点？,三. 波面和波线沿波的传播方向作的有方向的线。波线波线在波传,同一波线上相位差为 2 的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。,四.波长 周期 频率和波速,波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。,单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为,振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为,波长反映了波的空间周期性。,波速与波长、周期和频率的关系为,同一波线上相位差为 2 的质点之间的距离；即波源作一
5、次完全,通常波的周期和频率与媒质的性质无关； 与波源振动的周期和频率相同。,a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：,b. 均匀细棒中，纵波的波速为：,(2) 通常波速（亦即相速度）主要决定于媒质的性质， 与波的频率无关。,说明, 张力, 线密度,几种情况下的波速,l0,l0 + l,F,F,长变,Y : 杨氏模量,通常波的周期和频率与媒质的性质无关；a. 拉紧的绳子或弦线中,c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：,F,切变,S,x,h,G: 切变弹性模量,同一种材料： G Y, 固体中 u横波u纵波,d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出,容变,V0+ V,B: 流体的容变弹性模量
6、,e. 稀薄大气中的纵波波速为,气体分子热运动平均速率?,c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：F切变SxhG:,波面为平面的简谐波,13.2 平面简谐波,简谐波 波所到之处，介质中各质点匀作同频率的谐振动。,本节主要讨论在无吸收（不吸收波的能量）各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。,平面简谐波,平面简谐波,说明,简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。,波面为平面的简谐波13.2 平面简谐波简谐波 波所到,一. 平面简谐波的波函数,平面波函数,y,x,x,P,O,简谐振动,确定P 点 t 时刻的振动状态：O 点,简谐振动,平面简谐波的波函数,时刻
7、的状态：,若,P 为任意点,(波函数),波函数-,(P 点相位较O 点落后 ),一. 平面简谐波的波函数平面波函数yxxPO简谐振动确定P,波函数的其它形式,波函数的其它形式,(3) 若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数:,y,x,x,P,O,若,(P 点相位较O 点超前 ),其 它 形 式,(3) 若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数:yxxPO若,如图，,在下列情况下试求波函数：,(3) 若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？,例,(1) 以 A 为原点；,(2) 以 B 为原点；,B,A,已知A 点的振动方程为：,在 x 轴上任取一点P ，该点 振动方程为：,波函数为：,解,P,如
8、图，在下列情况下试求波函数：(3) 若 u 沿 x 轴,(2) 以 B 为原点；,P,B 点振动方程为：,波函数为:,(3) 以 A 为原点：,以 B 为原点：,(2) 以 B 为原点；PBA B 点振动,已知A点的振动：,P,波函数为:,（波传播方向？),已知A点的振动：POA波函数为:（波传播方向？),二. 波函数的物理意义,(2) 波形传播的时间周期性,(1) 振动状态的空间周期性,（表明波具有空间周期性）,（表明波具有时间周期性）,t1时刻的波形,O,y,x,(4) t 给定，y = y(x) 表示 t 时刻的波形图,(5) x和 t 都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布。,(3)
9、 x 给定，y = y (t) 是 x 处振动方程,t1+t时刻的波形,x1,二. 波函数的物理意义(2) 波形传播的时间周期性(1) 振,一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，已知其波函数为,标准形式,波函数为,比较可得,例,解,波的振幅、波长、周期及波速；质点振动的最大速度。,求,(1)与标准形式比较,(2),一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，已知其波函数为标准形式波,三. 平面波的波动微分方程,由,知,(2) 不仅适用于机械波，也适用于电磁波、对于热传导、扩散过程也存在这样的方程；,(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（且正、反传播）；,(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动
10、方程为,说明,三. 平面波的波动微分方程由知 (2) 不仅适用于机械波，也,四.固体棒中纵波的波动方程,1.某截面处的应力、应变关系,o,x,x + x,x,自由状态,t 时刻,( x,t ),( x+ x, t ),x 截面,x+x 截面,x 段的平均应变:,(x+ x,t ) - (x,t ) / x,x 处截面 t 时刻 : 应变为 /x 应力为 F(x,t)/S,应力 、应变关系,x,Y : 杨氏模量,四.固体棒中纵波的波动方程1.某截面处的应力、应变关系oxx,2. 波动方程,将应力、应变关系代入, x0,2. 波动方程x x ox1x 2x(x,t)F,13.3 波的能量,波动过程
11、,质元由静止开始振动,质元也发生形变,波动过程是能量的传播过程,一. 波的能量和能量密度,O,x,y,线元的动能为,线元的势能（平衡位置为势能零点）为,（以绳索上传播的横波(简谐波)为例）,设波沿 x 方向传播，取线元,T2,T1,l,y,x,13.3 波的能量波动过程质元由静止开始振动质元也发生形,由,得,其中,线元的机械能为,和,由得其中线元的机械能为和OxyT2T1lyx,(1) 在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的.,讨论,x,y,O,A,B,机械能,(2) 质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中不
12、断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程,(1) 在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变,能量密度,设绳子的横截面为S ，体密度为,，则线元单位体积,中的机械能（能量密度）为,平均能量密度,说明：.,能量密度设绳子的横截面为S ，体密度为 ，则线元单位体积中的,1. 能流,在一个周期中的平均能流为,s,ut,2. 能流密度,通过垂直于波线截面单位面积上的能流。,大小：,方向：波的传播方向,矢量表示式：,在单位时间内通过某一截面的波动能量为通过该面的能流,S,二. 能流密度,1. 能流在一个周期中的平均能流为sut2. 能流密度通过,波的强度 一个周期内能流密度大小的平均值
13、。,三. 平面波和球面波的振幅,1. 平面波,（不吸收能量）,由,得,这表明平面波在媒质不吸收的情况下, 振幅不变。,波的强度 一个周期内能流密度大小的平均值。三. 平面波和,2. 球面波,由,令,得,球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随 r 增大而减小.,若 则球面简谐波的波函数为,（A0为离原点（波源）r0 距离处波的振幅）,讨论：柱面波振幅的情况.,2. 球面波由令得球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随 r,四. 波的吸收,O,吸收媒质,实验表明, 为介质吸收系数，与介质的性质、温度及波的频率有关。,x,I,x,I0,I0,O,I,应用：,增加吸收,减少吸收,四. 波的吸收O吸收媒质,实
14、验表明 为介质吸收系数，与介质,(1) 知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前；,说明,R1,R2,S1,S2,O,13.4 惠更斯原理,惠更斯原理：,(1) 行进中的波面上任意一点都 可看作是新的子波源；,(3) 各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。,(2) 所有子波源各自向外发出许多子波；,(1) 知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前；说明R,(2) 亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；,(4) 不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。,(3) 解释衍射、反射、折射现象；,B,C,A,由几何关系知：,u1,u2,u2t,d = u1t,(反射)
15、,(2) 亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；(4) 不足之,13.5 波的干涉,一. 叠加原理,1. 波传播的独立性,2. 叠加原理,当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。,在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动。,v1,v2,注意,波的叠加原理仅适用于线性波的问题,13.5 波的干涉一. 叠加原理1. 波传播的独立性2.,二. 相干波与相干条件,一般情况下，叠加问题复杂。,干涉实验与干涉现象:,当两列（或多列）波叠加时，其合振动的振幅 A 和合强度 I 将
16、在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱的现象。,相干波,相干条件,频率相同、振动方向相同、相位差恒定。,相干波源,满足相干条件的波,产生相干波的波源,【相干叠加】,二. 相干波与相干条件一般情况下，叠加问题复杂。干涉实验与干,三. 干涉规律,根据叠加原理可知，P 点处振动方程为,S1,S2, 合振动的振幅,P,P, P 点处波的强度,三. 干涉规律根据叠加原理可知，P 点处振动方程为S1S2,P,相位差, 空间点振动的情况分析,当,干涉相长,当,干涉相消,P相位差 空间点振动的情况分析当干涉相长当干涉相消,讨论,干涉相长,(1) 若,(2) 若,干涉相消,干
17、涉相长,干涉相消,从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布，形成了时间上稳定、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。,波程差,讨论干涉相长(1) 若(2) 若干涉相消干涉相长干涉相消从能,A、B 为两相干波源，距离为 30 m ，振幅相同，初相差为 ,u = 400 m/s,f =100 Hz 。,例,A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。,求,解,B,A,30m,（P 在A 左侧）,（P 在B 右侧）,(即在两侧干涉相长，不会出现静止点),r1,r2,P 在A、B 中间,A、B 为两相干波源，距离为 30 m ，振幅相
18、同，初相差为,干涉相消,(在 A，B 之间距离A 点为 r1 =1,3,5,29 m 处出现静止点),干涉相消(在 A，B 之间距离A 点为 r1 =1,3,5,13.6 驻波,一. 弦线上的驻波实验,波腹,波节,两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波,驻波条件：,二. 驻波波函数,(a),(b),(c),C1,C2,D1,D2,D3,13.6 驻波一. 弦线上的驻波实验波腹波节两列等振幅相,，即驻波是各质点振幅按余弦分布,(1),波腹(A= Amax) ：,讨论,波节(A= Amin) ：,，即驻波是各质点振幅按余弦分布(1)波腹(A= Amax,相邻两波腹之间的距离：,(2) 所有波节点将
19、媒质划分为长,的许多段，每段中各,质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质点的振动相位相反; 即驻波中不存在相位的传播。,相邻两波节之间的距离：,相邻两波腹之间的距离：(2) 所有波节点将媒质划分为长的许多,(3) 没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间，进行动能和势能的转化。,势能,动能,势能,(3) 没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间，进行动,(4) 半波损失。,反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相。,(4) 半波损失。反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反,(3) 以B为坐标原点求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。,(1) 以D 为原点，写出波函数；,平
20、面简谐波 t 时刻的波形如图，此波波速为 u ，沿x 方向传播，振幅为A，频率为 v 。,(2) 以 B 为反射点，且为波节，若以 B 为 x 轴坐标原点，写出入射波，反射波函数；,例,解,(1),(2),求,B,D,x,y,(3) 以B为坐标原点求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。,(3),波腹,波节,(3)波腹波节,已知某一弦线的驻波方程为：,例,求,两波节间驻波的能量（设弦线线密度为）。,解,取平衡位置对应的时刻，,此时刻 dm 的动能为,已知某一弦线的驻波方程为：例求两波节间驻波的能量（设弦线线密,13.7 多普勒效应,由于观察者（接收器）或波源、或二者同时相对媒质运动，而使观察者接
21、收到的频率与波源发出的频率不同的现象，称为多普勒效应。,一. 波源静止，观察者运动,远离,u,靠近,u,观察者,13.7 多普勒效应由于观察者（接收器）或波源、或二者同,二. 观察者静止，波源运动,S 运动的前方波长变短,三. 波源和观察者同时运动,远离,靠近,符号正负的选择与上述相同,u,观察者,二. 观察者静止，波源运动S 运动的前方波长变短三. 波源和,若波源和观测者的运动方向不在二者连线上,有纵向多普勒效应;,无横向多普勒效应,*光波的多普勒效应,v : 、O 相对速度的绝对值,纵向效应,横向效应,若波源和观测者的运动方向不在二者连线上 O S,多普勒效应,观察者,观察者,多普勒效应观
22、察者观察者,讨论,时，多普勒效应失去意义，此时形成冲击波。,马赫角,声障,讨论 时，多普勒效应失去意义，此时形成冲击波。马,大学物理-机械波课件,大学物理-机械波课件,大学物理-机械波课件,多普勒效应的应用:,监测车辆行驶速度,测量血液流速,多普勒效应的应用:监测车辆行驶速度测量血液流速,一警笛发射频率为1500 Hz 的声波，并以22 m/s 的速度向某一方向运动，一人以6 m/s 的速度跟踪其后.,观察者接收到的频率( 波源和观察者同时运动 ) ：,警笛后方空气中声波的频率( 观察者静止，波源运动 ) ：,警笛后方空气中声波的波长:,例,解,该人听到的警笛发出的声音的频率以及在警笛后方空气
23、中声波的波长？,求,一警笛发射频率为1500 Hz 的声波，并以22 m/s 的,一频率为1 kHz的声源,以 vs=34 m/s 的速率向右运动.在声源的右方有一反射面,以 v1=68 m/s 的速率向左运动. 设声波的速度为 u=340m/s.,例,(1)声源所发出的声波在空气中的波长.,求,(2)每秒内到达反射面的波数;,(3)反射波在空气中的波长.,(1)在声源的右侧, 相对空气静止的观察者接收到的频率：,解,所以,在声源的左侧声波在空气中的波长:,一频率为1 kHz的声源,以 vs=34 m/s 的速率向右,(2)反射面作为接收者测到的频率：,(3)反射波在空气中的频率：,反射波在空
24、气中的波长:,(2)反射面作为接收者测到的频率：(3)反射波在空气中的频率,一固定的超声波波源发出频率为v0=100 kHz 的超声波.当一汽车迎面驶来时,在超声波所在处收到了从汽车反射回来的超声波其频率为v=110 kHz. 设声波的速度为 u=330m/s.,汽车作为观察者接收到的频率：,例,解,汽车的行驶速度.,求,汽车反射波(作为波源发出)在空气中的频率：,汽车的行驶速度为：,拍频：,一固定的超声波波源发出频率为v0=100 kHz 的超声波.,例：图为 t 时刻驻波的波形图。 A、B 、C 、D 、E 之间的相位差为多少？,A,B,C,D,E,例：图为 t 时刻驻波的波形图。ABCDE,
