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1、立体几何复习课件江苏省宝应安宜高级中学,平行问题,垂直问题,角度问题,距离问题,柱锥问题,体积面积问题,多面体与球的问题,生活问题和翻折问题,综合问题,立几概念和方法,动态的立体几何,正方体的截面问题,三棱柱的体积分割,平行问题,返回,直线和平面的位置关系,直线和平面的平行关系,平面和平面的平行关系,返回,直线在平面内,直线和平面相交,直线和平面平行,线面位置关系,有无数个公共点,有且仅有一个公共点,没有公共点,返回,平行于同一平面的二直线的位置关系是(）,（A）一定平行,（B）平行或相交,（C）相交,（D）平行，相交，异面,D,返回,（1）点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有 条。,无
2、数,返回,（2）点A是直线l 外的一点，过A和直线l 平行的平面有 个。,无数,返回,（3）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 个。,无数,返回,（4）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 个。,且仅有一,返回,（5）如果l1/l2,l1 平行于平面,则l2 平面,l1,或/,返回,（6）如果两直线a，b相交,a平行于平面，则b与平面的位置关系是。,a,相交或平行,返回,过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面(),（A）有无数个,（C）只能作出一个,（B）不能作出,（D）以上都有可能,情况一,返回,（A）有无数个,（C）只能作出一个,（B）不能作出,（D）以上都有可能,过
3、直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面(),情况二,返回,过直线L外两点,作与直线L平行的平面,这样的平面(),（A）有无数个,（C）只能作出一个,（B）不能作出,（D）以上都有可能,D,情况三,返回,例：有以下四个命题：若一条直线与另一条直线平行，则它就与经过另一条直线的平面平行；若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面；若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则此直线必垂直于这个平面；平面内两条平行直线，若其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 其中正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3,返回,解：不正确，若一条直线与另一条直线平行，则这条直
4、线可能与经过另一条直线的平面平行，也可能在平面内；不正确，与相仿，若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线可能平行于这个平面，也可能在平面内；,返回,不正确，若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，如果在平面内的两条直线平行，则无法判断直线是否垂直于这个平面；不正确，与相仿，该直线仍有可能在平面内。所以四个命题都是错误的，选A。,返回,线面平行的判定,(1)定义直线与平面没有公共点,(2)定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,返回,线面平行判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,已知：a b a/b,求证
5、：a/,a,b,(1)a,b确定平面，=b,(2)假设a与不平行,则a与有公共点P,则P=b,(3)这与已知a/b矛盾,(4)a/,返回,如图,空间四面体P-ABC,M,N分别是面PCA和面PBC的重心,求证:MN/面BCA,P,MN/EF,MN/面BCA,线线平行,线面平行,返回,如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M.N分别是对角线上的点，AM=FN。求证:MN/面BCE。,A,B,C,D,E,F,M,N,MN/GH,MN/面BCE,线线平行,线面平行,返回,A,B,C,D,E,F,M,N,AFN BNH,AN/NH=FN/BN,AN/NH=AM/MC,MN/CH,M
6、N/面BCE,如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M.N分别是对角线上的点，AM=FN，求证:MN/面BCE。,返回,在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1E,E,DB1/EF,DB1/面A1C1E,线线平行,线面平行,返回,在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心，求证：CO/面A1C1B,B1,O,返回,(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点,(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线,(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。,返
7、回,已知：a/,a,=b,求证：a/b,=b,b,a/,a b=,a/b,返回,如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行,a,b,c,返回,如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行,a,l,已知：a/，a/，=l,求证：a/l,返回,a,b,A,B,O,M,N,P,如图，a,b是异面直线，O为AB的中点，过点O作平面与两异面直线a,b都平行MN交平面于点P，求证：MP=PN,返回,一、两个平面平行的判定方法,1、两个平面没有公共点,2、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,3、都垂直于同一条直线的两个平面,两个平面平行,返回,二、两个
8、平面平行的性质,4、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面,2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面,3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行,两个平面平行,5、夹在两个平行平面间的平行线段相等,1、两个平面没有公共点,返回,判断下列命题是否正确？,1、平行于同一直线的两平面平行,2、垂直于同一直线的两平面平行,3、与同一直线成等角的两平面平行,返回,4.垂直于同一平面的两平面平行,5.若,则平面内任一直线a,返回,2.如图,设AB、CD为夹在两个平行平面、之间 的线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P 分别为AB、CD 的中点，求证：直线MP/平面.,返回,例
9、:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：面AB1D1面BDC1,证明：,B1D1AB1=B1,面AB1D1面BDC1,线线,线面,面面,返回,证法2：,A1CBD,BDBC1=B,A1C面BDC1,面AB1D1面BDC1,返回,变形1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为A1D1,A1B1,A1A的中点,求证：面EFG面BDC1,变形2:若O为BD上的点求证：OC1 面EFG,O,面面,由上知面EFG面BDC1,线面,OC1 面EFG,证明：,返回,变形3:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,M,N分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1
10、D1 的中点,求证：面AEF面BDMN,返回,小结：,线平行线,线平行 面,面平行 面,线面平行判定,线面平行性质,面面平行判定,面面平行性质,三种平行关系的转化,返回,已知：四面体A-BCD，E,F,G分别为AB,AC,AD的中点.,求证：面EFG面BCD,练习,返回,垂直问题,线面垂直的判定方法,(1)定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。,(2)判定定理1如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。,(3)判定定理2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。,返回,线面垂直的性质,(1)定义如果一条直线和一个平面垂直
11、则这条直线垂直于平面内的任意一条直线,(2)性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。,返回,填空,（1）l,m l_m,（2）n,m,m与n_,l m,l n,l,（3）l,m,l_m,（4）l/m,l,m_,相交,/,返回,P,A,B,C,如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面,（1）BC面PAC,返回,P,A,B,C,2)若AHPC,则AH面PBC,如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面,返回,O,在正方体AC1中,O为下底面的中心,求证：AC面D1B1BD,返回,O,H,在正方体AC1
12、中，O为下底面的中心，B1H D1O,求证：B1H面D1AC,返回,已知:l/,m,求证:l m,m,返回,返回,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,返回,如图，C为以AB为直径的圆周上一点，PA面ABC，找出图中互相垂直的平面。,PA面ABC,面PAC面ABC,面PAB面ABC,BC面PAC,面PBC面PAC,返回,如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面,返回,求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直,返回,求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面,l,返回,求证：如果两个
13、相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面,l,返回,四面体ABCD中，面ADC面BCD，面ABD 面BCD，设DE是BC边上的高，求证：平面ADE 面ABC,面ADC面BCD,面ABD 面BCD,AD 面BCD,AD BC,DE BC,BC 面ADE,面ABC 面ADE,返回,ABC是直角三角形,ACB=90,P为平面外一点，且PA=PB=PC.求证：平面PAB 面ABC,返回,课堂练习,课堂练习,空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有(）,(A)平面ABD 面BCD,(B)平面BCD 面ABC,(C)平面ACD 面ABC,(D)平面A
14、CD 面BDE,返回,如图，ABCD是正方形，PA 面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？,面PAC面ABCD,面PAB面ABCD,面PAD面ABCD,面PAD面PAB,面PAD面PCD,面PBC面PAB,面PBD面PAC,返回,如图，三棱锥P-ABC中，PB底面ABC，ACB=90,PB=BC=CA,E为PC中点，,返回,如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA底面ABCD，BAD=120,E为PC上任意一点，,返回,例:如图，在四面体SABC中，ASC=90，ASB=BSC=60，SA=SB=SC，求证：平面ASC平面ABC。,返回,证明：容易证得AB
15、=BC=SB，取AC中点D，连SD、BD，得SDAC，BDAC，由ASC=90，设SA=SB=SC=a，解得SD=a，BD=a，而SB=a，SDB=90，平面ASC平面ABC。,返回,角度问题,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,返回,a,b,O是空间中的任意一点,点o常取在两条异面直线中的一条上,o,o,o,o,o,返回,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,返回,
16、B,A,返回,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,返回,A,B,O,返回,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于
17、棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,A,L,B,O,返回,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。,2.方法：,3.步骤：,b.求直线与平面所成的角：,a.求异面直线所成的角：,c.求二面角的大小：,作（找）,证,点,算,1.数学思想：,返回,在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？,A1B和B1C所成的角为60,和A1B成角为60的面对角线共有 条。,返回,在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？,A,B,D,C,A1,B1,D1,C1,返回
18、,在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？,M,N,返回,P,A,B,C,M,N,空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？,返回,1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1EEF，则EF与GD所成的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90,D,M,EB1是EC1在平面AB1内的射影,EB1 EFDGAMEB1EF DG,返回,已知：两异面直线a,b所成的角是50，P为空间中一定点，则过点P且与a,b都成30角的直线有 条。,a,b,P,O,2,
19、返回,A1,A,B,B1,C,D,C1,D1,F,E,解：如图，取AB的中点G，,O,（证）,（点）,（算）,（作）,例1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点。求AE与D1F所成的角。,返回,例2、长方体ABCD-A BC D中,AB=BC=4,AA=6,E、F分别为BB、CC的中点,求AE、BF所成角的余弦值.,返回,例3：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,返回,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线
20、A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？,返回,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,返回,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,在A1C1E中，,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的长方体B1F，,返回,例：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直
21、线AC与BC1所成角的大小是（）A30 B45 C60 D90,返回,例：如图，正三棱锥SA BC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、A B的中点，那么异面直线EF与SA所成角等于（）A90 B60 C45 D30,返回,解：取AC的中点G，连接EG、FG，EG/SA，GEF是异面直线EF与SA所成角，又FG/BC，SABC，EGF=90，EGF是直角三角形，又EG=SA，FG=BC，EG=FG，EGF是等腰直角三角形，GEF=45，选C.,返回,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为,练习1,900,返回,在正四面体S-ABC中，SA
22、BC,E,F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）,C,D,(A)300(B)450(C)600(D)900,练习2,B,返回,例:已知正方体的棱长为 a,M 为 AB 的中点,N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。,解：,E,G,如图，取AB的中点E,连BE,有BE A1M,取CC1的中点G,连BG.有BG C1N,则EBG即为所求角。,BG=BE=a,F C1=a,由余弦定理，,cosEBG=2/5,F,取EB1的中点F，连NF,有BENF,则FNC为所求角。,想一想：,还有其它定角的方法吗？,在EBG中,返回,定角一般方法有：,（1
23、）平移法（常用方法）,小结：,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。,2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1）当 cos 0 时，所成角为,（2）当 cos 0 时，所成角为,（3）当 cos=0 时，所成角为,3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90o,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,返回,说明：异面直线所成角的范围是（0，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。,返回,斜线
24、与平面所成的角,平面的一条斜线,和它在这个平面内的射影,所成的锐角,返回,若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为。,60,返回,最小角原理,C,斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。,返回,若直线 l1与平面所成的角为60，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角，最大的角为。,90,60,O,l1,返回,若直线 l1与平面所成的角为30，直线 l2 与 l1 所成的角为60,求直线 l2与平面所成的角 的范围?,l1,返回,如图,直线OA与平面所成的角为,平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为,设AOC为2,求证:cos
25、2=cos 1 cos,返回,求直线与平面所成的角时,应注意的问题:,(1)先判断直线与平面的位置关系,(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：,作出或找出斜线上的点到平面的垂线,作出或找出斜线在平面上的射影,求出斜线段，射影，垂线段的长度,解此直角三角形,求出所成角的相应函数值,返回,例题:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角,O,返回,S,A,C,B,O,F,E,如图，ACB=90，S为平面ABC外一点，SCA=SCB=60，求SC与平面ACB所成的角.,返回,S,A,C,B,O,F,E,如图，SA,SB,SC是三条射线，BSC=60,SA上一点
26、P到平面BSC的距离是3,P到SB,SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角,P,返回,A,B,C,D,F,E,A,D,F,D,A,C,A1,B,E,正方形ABCD边长为3，AE=2BE，CF=2DF，沿EF将直角梯形AEFD折起，使点A的射影点G落在边BC上，求AE与平面ABCD所成的角？,返回,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为下底面AC的中心，求A1O与平面BB1D1D所成的角.,O,O,返回,正四面体PABC中，求侧棱PA与底面ABC所成的角,P,A,B,C,D,返回,从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,从一条直线出发的两个半平面所
27、形成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,返回,以二面角的棱上任意一点为端点，,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,返回,基础题例题,1.下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.其中，正确命题的序号是_.,、,返回,2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，二面角B-AA1-D的大小为_，二面角C1-BD
28、-C的正切值是_.,45,90,基础题例题,返回,3.在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,基础题例题,返回,B,4.在二面角-a-内，过a作一个半平面，使二面角-a-为45，二面角-a-为30，则内的任意一 点P到平面与平面的距离之比为()(A)(B)(C)(D),基础题例题,返回,基础题例题,5.PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则二面角B PAC的余弦值是()A.B.C.D.,A,D,返回,A,B,C,A,M,已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射影为点A，ABC的
29、面积是S，ABC的面积是S，设二面角A-BC-A为.求证：COS=S S,返回,在正方体AC1中，求二面角D1-AC-D的大小？,返回,过正方形ABCD的顶点A引SA底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角B-SC-D的大小.,E,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M.又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC平面AA1C1C；(2)求二面角B-AA1-C的大小.,能力思维方法,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的
30、中点M.又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC平面AA1C1C；(2)求二面角B-AA1-C的大小.,能力思维方法,证明:(1)由题设知，A1M平面ABC，,又A1M 平面AA1C1C，,(1)平面AA1C1C底面ABC，,又BCAC，,平面AA1C1C平面ABC=AC，,BC 平面AA1C1C,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M.又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC平面AA1C1C；(2)求二面角B-AA1-C的大小.,能力思维方法,证明:(2)由题设知，A1M平面ABC，,AA1与底
31、面ABC所成角为A1AC,A1AC=60o,又M是AC中点，,AA1C是正三角形,作CNAA1于N，,点N是AA1的中点,连接BN，,由BC 平面AA1C1C，,BCAA1，,作AA1 平面BNC，,AA1 BN，,BNC是二面角B-AA1C的平面角，,返回,7.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M.又知AA1与底面ABC所成的角为60.(1)求证：BC平面AA1C1C；(2)求二面角B-AA1-C的大小.,能力思维方法,设AC=BC=a，,正三角形AA1C的边长为a，,在直角三角形BNC中，,二面角BAA1C的大小是,返回,【解题
32、回顾】先由第(1)小题的结论易知BCAA1，再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角BNC.将题设中“AA1与底面ABC所成的角为60”改为“BA1AC1”仍可证得三角形AA1C为正三角形，所求二面角仍为.本题的解答也可利用三垂线定理来推理.,能力思维方法,返回,在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1-EF-C的大小？,E,F,A,B,D,C,A1,B1,D1,C1,H,返回,ABC中,ABBC,SA 平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小?,S,A,B,C,E,D,返回,求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,E,返回,
33、三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.,（1）求二面角P-BC-A的大小,3,4,H,返回,（2）求二面角A-PC-B的大小,COS=,三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.,（1）求二面角P-BC-A的大小,返回,在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.,E,F,返回,E,F,在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.,返回,例：如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱,(1)求 AB1与A1C所成角?(2)求AB
34、1与平面BB1C1C所成角?(3)若点D是侧棱CC1的中点,求平面AB1D与平面ABC所成角?,A1,A,B1,C1,B,C,返回,例：如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱,(1)求 AB1与A1C所成角?,返回,解:分别取A1A,AC,A1B1的中点N,M,G,连接GN,NM.则GNM为所求角.并连接GM.,G,M,每条棱长为2,GM=,所求角大小为:arccos,N,返回,1.如图ABC-A1B1C1是各条棱长均为2的正三棱柱,(1)求 AB1与A1C所成角?(2)求AB1与平面BB1C1C所成角?,E,所求角大小为:arcsin,返回,例：如图ABC-A1B1C1是各条棱长
35、均为2的正三棱柱,(3)若点D是侧棱CC1的中点,求平面AB1D与平面ABC所成角?,A1,A,B1,C1,B,C,D,返回,则:,A,G,所求角大小为:,返回,A1,A,B1,C1,B,C,D,M,B1AB为二面角B1AMB的平面角.,返回,解：,延长B1D交BC延长线于M,连接AM,CM=CB=CA,所求角大小为:,点D是CC1的中点，且CD/BB1,返回,C,A,B,D,A1,B1,C1,D1,M,N,返回,C,A,B,D,A1,B1,C1,D1,M,N,返回,C,A,B,D,A1,B1,C1,D1,M,N,返回,C,A,B,D,A1,B1,C1,D1,M,N,返回,C,A,B,D,A1
36、,B1,C1,D1,M,N,返回,C,A,B,D,A1,B1,C1,D1,M,N,返回,返回,B1,A1,C1,A,B,C,例：在直三棱柱ABCA1 B1 C1中，,BAC=90，AB=BB1=1，直,线B1C与平面ABC成30 的角，求二面角BB1C A的余弦值。,分析：求二面角B B1CA的度数，要作出平面角，显然二面角的棱为B1C，故需在B1C上取一点，然后分别在两个面内作垂直于棱的两条射线。,返回,C1,A,A1,B1,B,C,返回,1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：,(1)先作平面角，再求其大小；(2)直接用公式,2.掌握下列两类题型的解法：,(1)折叠问题将平面图形翻折成空间图形
37、.,(2)“无棱”二面角在已知图形中未给出二面角的棱.,返回,基础题例题,二面角-AB-的平面角是锐角，C是平面内的点(不在棱AB上)，D是C在平面上的射影，E是棱AB上满足CEB为锐角的任意一点，则()(A)CEBDEB(B)CEB=DEB(C)CEBDEB(D)CEB与DEB的大小关系不能确定,A,返回,2.直线AB与直二面角-l-的两个半平面分别交于A、B两点，且A、B l.如果直线AB与、所成的角分别是1、2，则1+2的取值范围是()(A)(B)(C)(D),D,基础题例题,返回,在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCDA1B1C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值
38、是_.,4.把边长为a的正三角形ABC沿着过重心G且与BC平行的直线折成二面角，此时A点变为，当时，则此二面角的大小为_.,arccos(1/3),基础题例题,返回,5.已知正方形ABCD中，AC、BD相交于O点，若将正方形ABCD沿对角线BD折成60的二面角后，给出下面4个结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；过B点作直线l平面BCD，则直线l平面AOC,其中正确命题的序号是_,基础题例题,返回,6.在四面体PABC中，PC平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角BAPC的大小,E,F,解：如图过B作BEAC于E，过E作EFPA于F，连结BF。PC平面ABC，BE平面PAC，BFP
39、A。BFE就是二面角BPAC的平面角。,设PC=1 则AB=BC=CA=PC=1，E为AC的中点，,所求二面角大小为:,能力思维方法,返回,能力思维方法,7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角.证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,返回,能力思维方法,7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角.证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,证明:(1)D-AC-B是直二面角,又DCAC,DC平面ABC,(面面垂直性质定理),
40、又AB 平面ABC,DCAB,又ABBC,AB平面BCD,A,B,C,D,返回,能力思维方法,7.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角.证：(1)AB面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.,证明:(2)过C作CHDB于H,平面ABD平面DCB,CH平面ABD,AB平面BCD,又平面ABD 平面DCB=DB,B,H,过H作HEAD于E,E,连接CE,由三垂线定理知 CEAD,HEAD,CEAD,CEH是所求二面角 的平面角,CEH=60o,即所求二面角为 60o,返回,【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、线之间的
41、位置关系，便可知这是一个常见空间图形(四个面都是直角三角形的四面体).,能力思维方法,返回,例A为二面角l的棱l上一点，射线AB，且与棱成45角，与成30角，则二面角l的大小是（）。（A）45（B）30（C）45或135（D）30或150,提示：分锐二面角和钝二面角两种情况讨论,返回,sinBCD=BCD=45，,返回,如图（2），若二面角l是钝二面角，自B作BD，D为垂足，作BCl于C，C为垂足，连接CD，延长DC到E，则由三垂线定理得CEl，BCE是二面角l的平面角，而BCD是二面角l的平面角的补角，由（1）解得BCD=45，BCE=135，即二面角的大小是45或135，选C.,返回,8.
42、在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D=6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点.沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点.(1)求证：AF平面PEC；(2)求二面角P-BC-A的大小；,能力思维方法,E,F,P,.,.,证明:（1）取PC的中点G,.,G,连接FG、EG,则FG/CD,且FG=CD,AE/CD,且AE=CD,AE/FG,AE=FG,从而四边形AEGF是平行四边形,AF/EG,EG 平面PEC,AF/平面PEC,返回,8.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D=6，BC=3，DC=3，
43、A是P1D的中点.沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点.(1)求证：AF平面PEC；(2)求二面角P-BC-A的大小；,能力思维方法,P,证明:（2）,CD平面PAD,平面PAD平面ABCD,PAB为二面角P-BC-A的平面角,在RtPAB中,PA=3,PB=,PA=AD,且PDA=45o,PAAD,PA平面ABCD,ABBC,由三垂线定理得 PBBC,sinPBA=,得所求的二面角为60o,返回,【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而应首先由题设去分析，题目中是否已有.,能力思维方法,返回,9.正方体ABCDA1B1C
44、1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.,能力思维方法,A,D,B,C,B1,A1,D1,C1,.,E,解题分析:所求二面角”无棱”,要么先找“棱”,要么用面积投影.,解法一:取B1C1的中点M,.,M,连接EM,E为BC的中点,EM平面A1B1D1,B1D1 M是D1B1E的射影三角形,设平面B1D1E和平面A1B1C1D1所成的二面角为,平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角也为,设正方体棱长为 a,所求二面角的正弦值为,返回,9.正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成
45、的二面角的正弦值.,能力思维方法,A,D,B,C,B1,A1,D1,C1,.,F,解法二:取BC的中点F,.,M,连接BD、EF,所求二面角的正弦值为,.,E,E为BC的中点,EF/BD,BD/B1D1,EF/B1D1,EF、B1D1共面，,平面ABCD平面EB1D1F=EF，,作BGEF交FE的延长线于G,G,连接B1G,则B1GB是平面B1D1E,和平面ABCD所成二面角的平面角。,设正方体棱长为 a,则BE=，,BG=，,在RtB1BG中,B1G=，,返回,【解题回顾】解法一利用公式.思路简单明了，但计算量较解法二大.解法二的关键是确定二面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直角三
46、角形可求出.,能力思维方法,返回,例：如图，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长大于底面边长，M、N分别在侧棱AA1、BB1上，且B1N=A1B1=2A1M，求截面C1MN与底面A1B1C1所成的二面角的大小。,返回,返回,例：S是正ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且ASB=BSC=CSA=90，M，N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.,P,a,a,a,返回,距离问题,一、知识概念,1.距离定义（1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。（2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间
47、的距离叫这点到这个平面的距离。（3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离。,返回,（4）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。（5）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。（6）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。,返回,2.求距离的步骤（1）找出或作出有关距离的
48、图形（2）证明它们符合定义（3）在平面图形内进行计算,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,点线,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,(1)A到CD1的距离,D,(2)A到BD1的距离,返回,点线,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,H,已知：长方体AC1中，AB=a，AA1=AD=b,求点C1到BD的距离？,C1H=,返回,线线,A,B,C,D,E,F,矩形CDFE和矩形ABFE所在的平面相交，EF=5,AD=13,求平行线AB和CD的距离？,返回,点面,从平面外一点引这
49、个平面的垂线,垂足叫做点在这个平面内的射影,这个点和垂足间的距离叫做,点到平面的距离,线面垂直,点的射影,点面距离,返回,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O,OA=OB=OC,O为三角形ABC的外心,返回,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的垂心,D,O,返回,已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的内心,O,E,F,返回,已知三棱锥P-A
50、BC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？外心,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心,已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？内心,P,A,B,C,O,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,D,(1)A到面A1B1CD,返回,A,B,C,A1,B1,D1,C1,正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,D,(1)A到面A1B1CD,(2)A到平面BB1D1,返回,棱长为1的正四面体PABC中，求点P到平面AB
