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1、新课标修订的若干思考,南昌市青山湖区教研室 刘小兵,注重过程中的教育,Your site here,LOGO,人人学有价值的数学。人人都能获得必需的数学。不同的人在数学上得到不同的发展。,原来的“三句话”,人人都能获得良好的数学教育。不同的人在数学上得到不同的发展。,现在的“两句话”,一、修改和完善了数学课程的基本理念：,Your site here,LOGO,数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的
2、工具，是人类的一种文化。,原课标：,数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。,课标修改稿：,二、关于数学观的变化:,Your site here,LOGO,三、对学生培养目标做了修改:,1.学生的培养目标在具体表述上做了修改:由“两基”到“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验；2.提出了由“两能”到“四能”：分析问题和解决问题的能力，发现问题和提出问题的能力、。3.目标具体从“三维一体”的表述
3、变为：“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面阐述。,Your site here,LOGO,四、“四基”与数学素养的培养进行整合,“掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。,Your site here,LOGO,修订标准的若干思考,这次义务教育数学课程标准（以下简称标准）修订，坚持了教育改革的大方向。在这一基础上，专家们做了三个方面的修订：第一，使标准更加准确、规范、明了、全面，更适合教材编写、教师教学、学习评价等；第二，内容上做了适当调整；第三，就是强调了要处理好以下四个关系：1.过程和结果的关系；2.学生自主学习和教师讲授的关系；3.
4、合情推理和演绎推理的关系；4.生活情境和知识系统性的关系。,Your site here,LOGO,修订标准的若干思考,这几个关系非常重要。强调要注重过程了，但是过程和结果之间的关系必须处理好。再有，现在强调学生自主学习，但是它和教师讲授之间是什么关系呢？我们去听了很多课。听了之后有些人回来反映：上课是一锅粥，下了课还是一锅粥。什么意思呢？上课组织学生讨论，讨论很热烈，完了之后，老师没有很好地归纳整理，下课之后学生不明白的问题还是不明白。所以要处理好学生自主学习和教师讲授的关系。还有合情推理和演绎推理的关系。如果我们只是讲了一个描述性的事情，那么证明在这里还能起到什么作用呢？这个主要针对初中。
5、还有一个，你强调从生活情境引入，挺好，但是数学自身的系统性怎么办呢？这些关系应该处理好。所以专家们很认真地把握这几个关系来修订课程标准。,Your site here,LOGO,修订标准的若干思考,从总体上讲，十年课改是积极的，也是富有成效的。但是课改的开始阶段是由上而下的，是理论指导实践的。这些理论在中国实践工程中碰到一些问题，引发大家广泛的思考。因此，十年课程改革是一个实践的过程，也是一个思考的过程，促使大家对数学教育、数学课程以及改革实践产生了一些新的认识。我想，下面几个问题是重要的。,Your site here,LOGO,一、更加关注学生的能力与素养,1.对标准和教学大纲（以下简称大
6、纲）区别的认识提高了。课程改革一个核心的变化是把大纲变成了标准。这是一个关键性的问题。过去叫大纲，现在为什么叫标准了呢？两者之间有什么差别呢？1999年我国最后一个大纲的制定，特别关注的就两个问题，其一，教什么的问题；其二，掌握到什么程度的问题。考试也是围绕这两件事情来进行的。原来的大纲必然地产生了中国数学教育的最大特色，就是“双基”（基础知识和基本技能），要求是基础知识扎实，基本技能熟练，这个我们国家做的非常好。像上次上海参加的PISA测验，让国外都很吃惊。不管怎么说，“双基”对中国数学教育的贡献是巨大的。这是不可否认的，但是还应该加些什么东西呢？,Your site here,LOGO,大
7、纲是怎么一回事？,大纲是工业化时代为培养专门人才服务的。因此它涉及的内容就是未来一个专门职业对知识技能的要求。在这个意义上，大纲的教育理念是“知识为本”教了多少知识，教到什么程度。知识是什么呢？1998年史宁中提出“知识在本质上是一种结果。可以是经验的结果，可以是思维的结果”。所以以知识为本的教育在本质上是结果性的教育。我们教了一些结果，我们没教什么智慧。智慧不是结果。从结果怎么能看出一个人的智慧呢？智慧是在过程之中的东西。大家都不知道怎么办了，他出个主意，这个主意好真聪明！有智慧！在做题的过程中，你看这个孩子真聪明，有智慧。或者做实验，大家都不知道实验该怎么做，他设计的实验很巧，有智慧！智慧
8、是表现在过程之中的。而表现在过程中的东西必须通过过程来教育。所以我们要注重过程中的教育，我们要培养智慧。,Your site here,LOGO,一、更加关注学生的能力与素养,现代社会，是后工业时代，或者叫信息时代，我们不强调培养工匠了，要“以人为本”，因为我们无法在学生读书的阶段就决定这个孩子未来从事什么职业。因此要培养孩子们的能力，发展他们的潜能，这是教育的根本改变。对教育强调的是以人的发展为本，不再以知识为本。2010年公布的国家中长期教育改革和发展规划纲要（20102020年），提出“育人为本”。,Your site here,LOGO,一、更加关注学生的能力与素养,育人为本的核心就是
9、以人的发展为本，特别强调了我们未来培养的学生要有社会责任感，有创新精神，有实践能力。因此我们不仅要关注学生学了多少知识，掌握了多少技能，还要关注学生能不能成为未来社会的合格公民。教育的根本目的改变了。在知识经济时代，知识总量增加非常迅速，而且传播手法日趋多样。很多学生获得的知识，远远超过了老师在课堂上讲授的，甚至远远超过了教科书的内容，在这种情况下，要进行什么样的教育呢？所以要根本地改变我们的教育。在这样的背景下，大纲就变成了标准。,Your site here,LOGO,一、更加关注学生的能力与素养,标准和大纲有什么区别呢？如果说大纲更加关注孩子们知识和技能的掌握程度，那么标准更加重视学生能
10、力的培养和素养的提高。一个人可能将来从事的职业与数学没有直接的关系，但是他为什么还要学习数学呢？他要养成一个有数学素养的人，这对他一生都是有好处的。我们的基础教育要为学生未来的发展奠基。经过这十年的实践，我想大多数教师在这个理念上都有所改变。但是如果我们曾经的改变是形式上的话，从现在开始，我们要从形式走向实质。,Your site here,LOGO,一、更加关注学生的能力与素养,其实，我们现在的中小学数学教材总的来说和原来的教材相比变化不大，集中表现在两个地方。第一个，概念的叙述和几十年前完全一样，没有新东西。第二个，法则、运算的叙述也和以前完全一样，没有新东西。还是以一个结果的形式呈现，还
11、是让孩子们来背，来记，没有根本性的改变。什么是根本性的改变？我们的脑袋里一直要想，如何引导孩子们去思考，如何培养孩子们的数学素养。基于此，标准在大纲的基础上增加了基本数学思想和基本活动经验。一个学科，你学过之后，对这个学科承载的基本思想不知道的话，等于没学。还有，特别是对数学，思维经验是很重要的。因此，希望孩子们在学习数学的过程中，除了掌握必要的知识和技能之外，还能感悟数学的基本思想，积累数学思维活动和实践活动的经验。这是标准提出的很重要的目的。,Your site here,LOGO,一、更加关注学生的能力与素养,从“双基”到“四基”有两个理由：首先是教育理念的表现。对数学思想的感悟和经验的
12、积累，这是非常隐性的东西。老师可能会认为，这个东西你教了还是没教，怎么判断呢？思想怎么体现？经验有没有积累，怎么判断呢？关于这件事后面我会举几个例子。但是我们首先要明白，思想的感悟和经验的积累在很大程度上会改变一个人的思维方法。而一个人的思维方法几乎在小学阶段就基本定了。“育人为本”的理念在数学教学中最好的体现就是从“双基”到“四基”。其次是培养创新型人才的要求。是不是创新型人才不仅取决于这个人掌握的知识有多少，在很大程度上，取决于这个人的思维方法。而这个思维方法，需要对学科思想方法的感悟，需要积累学科思维活动的经验。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠
13、感悟,基本活动经验和基本思想，是在中国这十年课改实践工程中抽象出来的东西。这是我们自己的东西。活动经验，我想主要是思维的经验和实践的经验，不是解题的经验，当然也包括解题的经验、分析问题的经验、解决问题的经验。主要我想强调经验的积累，最终是要培养孩子们一个数学的直观。学科直观是很重要的，数学的所有结果是看出来的，不是证出来的。而要直观，全依赖于思维经验的积累。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,基本思想很多，有对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方
14、法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等那么最核心的思想是什么呢？就是学完数学以后，很多数学知识你都忘了之后，你还能留下的东西。这些素养是什么呢？我想大概有两个标准。一个是，数学的产生和发展一直依赖的思想是什么？一个是，学过数学的人和没学过数学的人有什么差异？我觉得这两个就能看出数学的基本思想。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,新课标提出，数学思想主要有三个：一个是抽象，就是把与数学有关的东西引入数学的内部，学过数学的人抽象能力比较强；一个是推理，学过数学的人推理能力比较
15、强；还有一个是模型，学过数学的人应用能力比较强，除了直接计算以外，数学的应用主要是建立模型。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,思想的感悟和经验的积累是隐性的东西，光靠老师讲是不行的，必须自己感悟，是悟出来的东西，不是听出来的东西。因此我们要组织一些教学活动，让学生参与讨论，这是形式，不是目的，这个形式是为了让孩子们自己想问题，为了让他跟同学们讨论，最后逐渐积累一种思维的方法和经验。会想问题是一种经验的积累，不是教会的。所以，学生活动结束之后，老师必须有一个总结。这个总结对老师来说非常难，很多老师总结不出来。让学生谈一个东西，不仅仅谈结果，要谈得到
16、这个结果的思维过程。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,老师对一个学生答对答错的判断，不仅仅要看结果是对是错，还要看他的思维过程是不是有道理。只要思维过程有道理，可能开始的出发点有错误，但整个思维过程是合乎逻辑的，那也是好的。老师在总结时要把握学生的思维过程，重在教会他们思考问题。几个问题想错了，不要紧，逐渐地会想问题，这是最核心的事情。这是一种经验的积累。我们中国人总是发明创造不够，就是因为我们在小学阶段就把孩子们教死了。其实孩子们都是挺聪明的。所以我希望从现在开始，教我们的孩子越来越聪明，而不是越来越傻。越来越聪明就是要让他自己想。你鼓励他想，
17、教会他想，在过程中教育。这是很重要的，这是一个根本的转变，对我们老师是巨大的考验。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,有一次，某地组织教学观摩，结束后让我点评，我说：“你们这些课光重视老师怎么讲，怎么讲的精彩，其实老师讲课拙一点不要紧，老师讲课笨一点不要紧，能启发学生思考是最重要的。启发学生思考最好的办法就是和学生一起思考，一步一步地引导学生来思考这个问题。你讲得天花乱坠，孩子们像听故事一样，听完了什么也没留下，这有什么用呢？”所以我们要下一点笨功夫，教孩子们想。这个东西不是马上就能见效的，但是小学6年之后，必然见效。到了六年级，你看孩子们的眼神都
18、不一样，他活，他自信，他会提问题。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,大概四五年前，史宁中教授在东北师大组织教师培训，他连续给老师们提了10个问题。比如，为什么要先乘除后加减？是猜学员们怎么讲的？他们说规定。第二个问题，回答还是规定。第三个还是规定。那就不行了。一开始规定一两个还行，但是规定多了，孩子都蒙了，不知道怎么回事了。特别是，光讲规定的教学，完全是一种结果的教学。小学数学中的所有规定都是有道理的，是符合人的常理的。因此，你只要稍微改变一下，就能让孩子们学会思考问题。举例子是比较重要的。讲课讲不明白的时候，最好的方法是举例说明。对一个知识是不
19、是理解了呢，最好的办法也是举例说明。老师的脑袋里得有大量的例子，随时都能举例子。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,比如，为什么要先乘除后加减？举例说明。操场上原来有3个同学，又走来一队同学，这队同学是2个人一排，共4排，问有多少学生？我们老师讲这样的问题时，一般是直接列式子，这个不好。应该把理给讲出来。最起码这句话一定要讲出来操场上的同学数=原有同学数+后来同学数。引导孩子从头想问题。养成从头想问题的习惯，他以后就能发现问题了。问题一般都是从头开始发现的，中途发现问题的情况比较少。从头想问题之后，孩子就很少会错了。你看，他脑子里有“操场上的同学数
20、=原有同学数+后来同学数”这个概念之后，那么自然原来同学有3个，后来同学有8个，24=8，所以是3+8=11，这样的话就知道了应该先乘除后加减，为什么呢？,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,因为24表示的是后来的同学。因此在小学数学里，先乘除后加减说的是两件事：24是一个故事，3本身是一个故事，和是两个故事相加得到的东西。因此在中国古代这样的问题都是分步做的，我们现在为了省事才放到一块儿。所以，我们现在非常强调从头想问题。问题要有一个转换过程，学会先把现实中的问题通过语言抽象，抽象成一个科学的东西，然后在语言抽象的基础上进行符号抽象，抽象成一个数学
21、的东西，这个过程对小孩子是非常重要的。现在举的这个例子很简单，到问题更难一些的时候，你就会更加觉得这个东西重要了。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,与此相对应，过去在大纲里谈到两个能力，就是分析问题的能力和解决问题的能力，这次在标准中又增加了发现问题的能力和提出问题的能力，这样就从“两能”拓展到了“四能”。,Your site here,LOGO,二、基本思想与基本经验的积累必须靠感悟,这样，由大纲到标准有以下几个重要变化：1.理念的基础是从“知识为本”到“育人为本”；2.具体的目标要求是从“双基”到“四基”；3.内容和方法，过去是以结果的形式，
22、现在结果要加过程。这个内容包括教材的呈现和老师讲课的内容。4.评价由过去单纯的知识技能的评价，加上过程性评价，加上感情、态度和价值观的评价，变成了三维评价。这几个变化非常重要，老师们可能没有很多时间去详细地看、去体会标准，但这几个关键性的变化要了然于心。,Your site here,LOGO,三、讲课千万别反复讲，要抓住数学的本质,第二，就是对数学本身的认识提高了。数学的定义非常多，五花八门，但数学从本质上讲，只研究数量关系和图形关系。因此数学是关于数量和图形关系的一门科学，这个定义应该是没有问题的。那么抽象在这里面起什么作用呢？抽象就是把生活中的与数量、图形有关的东西抽象成概念，并用符号表
23、达。比如抽象出自然数，并用十个数字和进位法则表达；抽象出点线面，并用适当的字母进行表达。这样的话，数学所要研究的对象就有了。数学研究的对象是从哪儿来的呢？是从生活中抽象出来的。但是抽象出对象不是根本，主要是抽象出这些概念之间的关系。概念抽象重要，但是关系更重要。,Your site here,LOGO,三、讲课千万别反复讲，要抓住数学的本质,比如数中最重要的关系是大小关系，这个关系是从数量里的多少关系抽象出来的。在数量里，3个苹果比2个苹果多，这就抽象出3比2大。点、线、面也是从现实图形中抽象出来的。因此，数学研究的不是某一个具体的存在，不是具体的2头牛，3匹马，而是抽象的存在2和3。数是对数
24、量的抽象，数大小关系是对数量多少关系的抽象。这个抽象是用语言能够表达出来的。你念一、二、三、四、五、六、七、八、九，你怎么说都不要紧，但是你用符号来表征出来时，这里就有一个质的变化。我们小学数学老师要把握这一条，这个事情很重要。,Your site here,LOGO,三、讲课千万别反复讲，要抓住数学的本质,有些概念性的东西需要专门的理解。比如到了符号表达，一般会比语言表达更难一点。比如，数的符号表达只要抓住两个事情就行。第一，知道09这几个数字符号；第二，知道数位。知道这两件事，就能把所有的数都表示出来。这是一件很了不起的事情。只用有限的符号就能把无穷无尽的数都表达出来，这是人们通过几千年的
25、积累才总结出来的。在读数时只需要知道数字和位数就行。,Your site here,LOGO,三、讲课千万别反复讲，要抓住数学的本质,我听过一节课，整节课都在讲千以内数的读法，末尾有0怎么办，中间有0怎么办，那堂课讲得我非常生气，因为孩子们上课前是兴致勃勃的，听完这节课是垂头丧气的。后来我来讲，我说：你就记住啊：2350，这个2在千位，你就读2千，百位上是3，你就读3百，十位上是5，就读5十，个位上是0，就读0个。连起来，就读2千3百5十0个。2002就读2千0百0十2个。不错，你要嫌麻烦就读2千零2，不嫌麻烦就读2千0百0十2个，没有错。这堂课就讲完了嘛。讲得简单点，那些不重要的地方别花工夫
26、。孩子小，一节课别讲太多，多了孩子弄不清什么重要什么不重要，他以为你讲的都重要。,Your site here,LOGO,三、讲课千万别反复讲，要抓住数学的本质,据有关专家反映，在修订标准时他们甚至都想，一节课，无论如何，10分钟就可以讲完，顶多15分钟。老师一定要精而又精地想好这10分钟，在孩子精力最集中的时候把内容讲完。剩下的时间，启发他思考，讨论，玩都行。讲课千万别反复讲。还有，孩子们竖式怎么写都行，错了也没有多大关系，结果对了就行。不要在旁枝末节上提很多要求。旁枝末节上要求多了，他就抓不住本质了。,Your site here,LOGO,三、讲课千万别反复讲，要抓住数学的本质,再有，过
27、去教材认识一万这个数，都写9000+1000=10000，人教版、北师大版教材都说10个1000等于10000。10个1000怎么是10000呢？10个1000是十千啊！应当是“万”这个数位是十个“千”，这个“千”也是数位，因为我们用的是十进位。而一万是一个数，这个数是怎么产生的呢？应该是万以内的数最大是9999，又多1个怎么办呢？我们祖先又创造了一个词，叫“万”。10000是表示比9999多1的数。数就是这么产生的。数是一个一个多起来的。这个思想，孩子们应该知道。欧洲的祖先就没有创造出“万”这个词，因此他就说“十千”ten thousands。,Your site here,LOGO,三、讲
28、课千万别反复讲，要抓住数学的本质,这些地方看起来是小事情，但这些小事情体现出你有没有把握住数学的本质。没有把握住数学的本质，老师就不好教。他就不敢用10分钟把课讲完。所以我们的教材也好，未来的教师培训也好，应当走向实质，应当抓住本质，用简单的几句话就讲完它，然后领着学生去思考，去做一些事情。而且只有把握了本质，让学生讨论之后，你才能说学生想得对不对。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,再说一下推理。先讲逻辑推理。数学的所有结论都是用命题的形式表述的。数学定理、法则、定义都是一种命题。命题是一种话语，是可以进行“是否”判断的话语。你可以说这个命题是对还是不对。
29、推理是什么呢？推理是从一个命题判断到另一个命题判断之间的思维过程。如果命题的内涵之间可以有一条主线串起来，这个思维就是有逻辑的。如果串不起来，这个思维就是没有逻辑的。如果我们的老师能把握住什么叫逻辑推理的话，他讲话就有信心了，而且就能用很简单的话把数学课讲清楚了。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,逻辑推理有两种形式：命题内涵由小到大的叫归纳推理，包括我们常说的类比推理。就是用曾经经验过的东西推测未曾经验过的东西。所有的猜想都是这么得到的。比如最典型的，哥德巴赫猜想，从一些偶数可以表示为两个素数之和。比如4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7这个结
30、果人们现在已经验证到了1亿，都是对的。因此人们猜想，是不是任意的偶数都能表示为两个素数之和呢？就是用曾经经验的东西去推断未曾经验的东西。这种教学我们以前没有教过，但是这种教学是发现真理的根本。刚才我说了，“双基”还缺什么？“双基”都是知识，没有教智慧，没有教从条件预测结果的能力，也没有教从结果探究成因的能力。这种能力靠的是什么？,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,靠的是归纳推理。归纳推理得到的结论不一定是对的，它的结论是或然成立，可能是对的。只有靠可能是对的这样一种推理，才有可能发现一种新的东西，肯定都是对的，还能发现什么新东西呢？,Your site he
31、re,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,与此相关的我再讲一个术与理的问题。中美教学分数加法有区别，各有优缺点。比如中国教1/4+2/3=（13+24）/43=（8+3）/12=11/12，但是这个教法是教术，没教理。分数的加法，分子为什么这么乘呢？这里有个很重要的事情，过去老师在教学中可能没有注意到，分数是有单位的，单位就是几分之一，1/3是一个单位，就是把一个东西分了3份，中间那1份是1/3。2/3是2个1/3相加，表示的是2个单位。两个分数相加，就应该要变成相同的分数单位才能相加。1/4和2/3共同的分数单位是谁呢？共同变成12份、24、36就都能相加了。,Your site her
32、e,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,美国是怎么教的？先教乘上“1”，分数不变，因此，1/4(3/3)+2/3(4/4)=3/12+8/12=11/12。美国这么教有一个毛病，算得慢，中国这么教有一个好处，算得快。但美国这么教多少讲了点道理，而中国这么教讲的是算术。光教术不行，还得教理，这两个要结合着教。而且在教材里，分子分母同时扩大相同倍数，值不变，这件事得放在前面讲，而不是到后面来讲。归纳这个事情很重要。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,推理还有演绎推理。归纳推理是从小到大，而演绎推理是从大到小。这个推理是绝对正确的。例如，凡人都有死，苏格拉底是
33、人，苏格拉底有死。这个推理一点错也没有。反过来就不一定对了。到现在为止，我们教材讲的都是这样的推理。这种推理当然是必要的，但这种推理不能用于发现新命题。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,来看一个分数除法的例子。有鹅4只，是鸭子的1/3，问鸭子有几只？这个课的教学目的是41/3=43=12。我听过两个老师讲这堂课。我问老师的第一个问题是：为什么这个问题要用除法计算？讲课时给学生怎么讲为什么这个题用除法？当然你可以和学生说这样的题必须用除法计算，这样学生就记住了。但是为什么用除法计算呢？可以举例说明。你可以先把题目稍微改一下，有鹅4只，是鸭子的2倍，鸭子有几只
34、？是不是用除法？因此鹅是鸭子的1/3，也可以理解为鹅是鸭子的1/3倍，这是一个比例关系，因此要用除法。先得把这个问题解决，然后来讲除以分数为什么变成乘以它的倒数了。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,首先得破题。什么叫破题？就是解释“是鸭子的1/3”是什么意思，不是把 鸭子拔了毛了，用刀切分成3份，得了1/3，而是比例关系：3只鸭子1只鹅，6只鸭子2只鹅，9只鸭子3只鹅，在破题的过程中他明白了结果是12,。然后怎么教呢？我们老师脑袋里有很多这样的东西：比如减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算这些话是什么意思，必须能用例子来说明。不能用例子来说就表示你没有明
35、白这几句话。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,比如除法是乘法的逆运算是什么意思呢?我们要做41/3，原来的意思是？1/3=4，逆运算就是41/3=？。因此从除法可以得到一个等式：？1/3=4，等式两边同乘3，等式保持不变，？1/33=43，所以？=43。因为？=？，等量的等量相等，所以41/3=43。这样算出来的只是一个个案，,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,什么东西才能表示具有一般性呢？符号表达才具有一般性，这就是a1/b=ab。因此我们讲符号是很重要的，符号和数一样可以进行运算，而且它表达的东西具有一般性，这个道理
36、老师必须知道，也必须让我们的学生知道。这次专家们在课标修订时提出一些核心概念，希望老师能够把握这些。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,除此之外，数学里边还有一个非常重要的-数学模型。用数学的语言表述概念、描述规律，既简洁又准确，这就是人们通常所说的数学模型。数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。数学得到的一些结果要应用于现实世界，主要是通过数学模型。有个学生跟我说，小学数学的应用题太啰唆了，有十几个类型。我说小学应用题只有两个模型，哪两个呢？一个是总量=部分+部分；一个是距离=速度时间，或者总价=数量单价，这两个本质是一样的。,Your site here,
37、LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,数学在概念和符号的基础上，从条件出发，通过归纳推理推断结论，通过演绎推理验证通过推断得到的结论的正确性，这样的论证形式是有逻辑的，因此数学具有严谨性。数学为什么是科学？为什么给人感觉严谨呢？就是它得到结论的过程是有逻辑的，验证结论的过程也是有逻辑的。数学的一般性是由抽象得到的，数学的严谨性是由逻辑推理得到的。数学的一般性和严谨性，使它具有广泛的应用性。,Your site here,LOGO,四、数学是很讲“道理”的学科,只有这两个模型，其他的模型都是在这两个基础上变化的，对于这一个，不是在部分那里下点功夫，就是在总量那儿下点工夫；对于第二个，要不在速度
38、那儿说些故事，要不在时间那儿说些故事。但本质还是那两个模型。过去还有两个模型，现在没有了。一个注水的问题，一头进水一头出水；还有一个是植树问题。植树问题现在在社会调查中应用的很广泛，未来课标可能要加进去。但是这次课标未做大的修订，所以就没有把它加进去。,Your site here,LOGO,五、统计学的要义是通过数据进行推断,再讲一个统计的例子。这个问题也是学员问我的。她说现在老师教统计时出现一个问题：掷硬币，老师说出现正面向上的概率是1/2，但是学生怎么掷都不是1/2，怎么办呢？我说你相信什么呢？相信学生掷出来的东西还是相信老师所说的那个1/2？教材本身有问题，学生很难理解。比如教材上有这
39、么个问题：一枚硬币连续掷5次出现正面朝上，问第6次正面朝上的概率有多大？答案是1/2.这是犯傻的答案。连续5次正面朝上，第6次正面朝上的概率肯定要比1/2要大。为什么？那硬币可能不均匀。你得自然而然地想问题，别想当然。,Your site here,LOGO,五、统计学的要义是通过数据进行推断,于是我和那个学生说，我来编个题：袋子里有5个球，4个白球1个红球。如果从数学的角度来讲，得让学生验证摸白球的概率是4/5，摸红球的概率是1/5.别那么讲。要从统计的角度讲。别告诉孩子们袋子里球的情况。让孩子摸，摸完以后，提这些问题：1.哪种颜色的球多？因为白球比红球多得多，一般情况下学生摸球的结果都是白
40、球多。这不是很好吗？孩子在不知道袋子里有多少球，也不知道什么颜色的情况下预测到白球比较多，这不就知道一些事情了吗？通过数据来推一些未知的事情，这就是统计。,Your site here,LOGO,五、统计学的要义是通过数据进行推断,问题2：摸到白球的可能性有多大？因为摸球是随机的，正好答出来是4/5的可能性不大，但是4/5=8/10，因此答出来是7/10和9/10之间的可能性比较大。这个估计和摸球的次数有关。一般来说，如果希望有80%的可能答案在这两个数之间，那么需要摸20次以上。90%的可能性，就得摸60次以上。所以，统计要讲的和数学不完全一样。不是提出一个假如，然后来验证假说对不对，而是通过数据分析，虽然是随机的东西，但是次数多了，它有一个规律，通过这个规律来推断产生这些数据的背景信息，这就是统计学的要义。,Your site here,LOGO,五、统计学的要义是通过数据进行推断,为了便于老师把握，这次课标修订还加了诸如数感、符号意识、空间观念等10个核心概念，就是希望老师在讲述课程内容时，知道这些内容想说的背后的数学意念是什么？数学的一般概念，一般逻辑，道理是什么。,谢谢聆听,
