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1、一、行列式因子,二、不变因子,8.3 不变因子,三、例题讲析,四、练习,1、定义,一、行列式因子,注：,阶行列式因子.,的首项系数为1的最大公因式 称为 的,中必有非零的 级子式，中全部 级子式,设矩阵 的秩为，对于正整数，,若 秩，则 有 个行列式因子.,行列式因子.,（1）（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级,（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）,证：只需证，矩阵经过一次初等变换，秩与行,列式因子是不变的,2、有关结论,设 经过一次初等变换变成，与,分别是 与 的 k 级行列式因子,下证，分三种情形：,级子式反号.,公因式，,此时 的每个 级子式或,者等于 的某个 级子式，,或
2、者与 的某个,因此，是 的 级子式的,从而,级子式的 c 倍.,者等于 的某个 级子式，或者等于 的某个,此时 的每个 级子式或,因此，是 的 级子式的,公因式，,从而,此时 中包含 两行,级子式相等；,的和不包含 行的那些 级子式与 中对应的,中包含 行但不包含 行的 级,子式，按 行分成 的一个 级子式与另一个,级子式的 倍的和，,即为 的两个 级子式,从而,的组合，,因此 是 的 级子式的公因式，,同理可得，,（2）若 矩阵 的标准形为,其中 为首1多项式，且,则 的 级行列式因子为,证：与 等价，,完全相同，则这个 级子式为零.,在 中，若一个 级子式包含的行、列指标不,与 有相的秩与
3、行列式因子.,级子式,所以只需考虑由 行与 列组成的,即,而这种 级子式的最大公因式为,所以，的 级行列式因子,证：设 矩阵 的标准形为,（3）（定理4）矩阵的标准形是唯一的.,其中 为首1多项式，且,于是,即由 的行列式因子所唯一确定.,由（2），的 级行列式因子为,（4）秩为 的 矩阵的 个行列式因子满足：,所以 的标准形唯一.,1、定义,二、不变因子,矩阵 的标准形,称为 的不变因子.,的主对角线上的非零元素,有相同的标准形，,1)（定理5）矩阵、等价,、有相同的不变因子.,证：必要性显然.只证充分性.,2、有关结论,所以 与 等价.,若 与 有相同的行列式因子，则,与 也有相同的不变因子，,、有相同的行列因子.,从而 与,则，为一非零常数.,的第n个行列式因子,证；若 可逆，,因子全部为1，的标准形为单位矩阵，即,与 等价.,2）若 的 矩阵 可逆，则 的不变,又 的n个行列式因子满足:,从而不变因子,所以，的标准形为,矩阵的乘积.,注：可逆 与 等价.,3)（定理6）可逆 可表成一些初等,证：可逆 与 等价,存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆,推论：两个 的 矩阵、等价,矩阵，使,例、求 矩阵的不变因子,三、例题讲析,的非零二级子式为:,解：1）的非零1级子式为:,又,所以，的不变因子为：,2）,又,而,的不变因子为,求 的不变因子,四、练习,（1）,（2）,
