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1、,第四讲 衍生证券定价,一.金融期货定价模型,(一）金融期货定义 金融期货从现货市场衍生出来，由买卖双方达成的一种金融契约,其价值依附于其他更基本的标的未来价值。基本标的：金融产品：股票、债券、利率，外汇等金融期货的作用：1.投机 2.套期保值,一.金融期货定价模型,几组概念区别 远期合约与期货合约,一.金融期货定价模型,金融期货与金融现货,一.金融期货定价模型,商品期货与金融期货,一.金融期货定价模型,（二）期货定价的含义：1.期货定价指未来某时点标的物合理价格的贴现值。期权定价指期权合约的合理价格。现货价：标的物当前价格 期货价：未来到期日标的物价格的贴现值，以无风险利率贴现。2.期货价格
2、与现货价格的关系 期货价格：是对未来某一时刻现货市场价格的一种预期。在金融市场上，一般来说现货价格总会与期货价格存在一定差额，这个差额称为基差。基差现货价格期货价格 随着时间的推移，交割期的逼近，二者价格必然将结合为一，因为期货价格到合约交割时既变为现货市场价格。原理是：当到期期价高于现价 当现价高于期价投机者就做如下操作 投资者就会做如下操作：期货合约做空 期货做多同时买入现货 现货做空到期交割获利 到期交割获利,一.金融期货定价模型,（三）影响期货价格的因素内在因素:现货持仓期间能否带来收入 期限内标的物现货价格的波动外在因素:利率与期货价正相关；期货价大于现货价、远期价，反之相反。（四）
3、期货定价的假定条件(1)不存在交易成本(2)不考虑税收(3)市场存在唯一的一个无风险利率，在此基础上无限借贷(4)灵活套利，任何套利刚出现就消失，不可能持久(5)保证金交易，无风险利率按连续复利计算。终值 现值 e=2.71828,r无风险利率，T合约剩余期限,一.金融期货定价模型,（五）定价模型模型一:假如期货合约期限内标的物不提供收入（如短期债券、贴现债券）公式为：F=SF当前期货价 S当前现货价r无风险利率 T剩余期限e.g 某一折扣债券的期货合约，在3个月后到期，目前的债券价格为$92.50，3个月的无风险利率为4，当前期货价为多少？,一.金融期货定价模型,原理1:若 F S 期货做空
4、,现货做多,套利 若 FS是一种代价。,一.金融期货定价模型,模型二：假设期限内标的物提供收入（有红利固定的优先股，固定息票的债券），公式为：F=（SI）I期限内现货提供的收入现值e.g 考虑一个股价为$50的股票的10月后到期的期货合约，无风险年收益率8，同时我们假定在3个月，6个月，9个月时点都会有每股$0.75的红利支付，则期货价格F为多少？,一.金融期货定价模型,模型三：期限内提供固定收益率的收入（有固定利率收入的货币资产合约，以及固定红利率的股票期货合约）公式为：F=Sd期货期限内现货提供的固定收益率（如分红率）如dr F低于S,除息效应e.g 有一种股票目前市场价格$25,年平均红
5、利率4，无风险收益率10，现有该股票6月的期货合约，则期货价格F为多少？,一.金融期货定价模型,如何套利FSF S,期初以r借入S元,买一个单位现货,同时卖空一单位期货；期末交割期货,以F价出售,归还S贷款,获利FS。,期初卖空现货，得S元收入，并投入货币市场，获r利率的收入，同时在期货市场买入一期货，期末交割合约，支付F价格，结束现货空头部位，获利SF,一.金融期货定价模型,(2)若履约价与期货价一致,合约初始理论价值为零f=SK；f=SIK；f=Sf合约价K期货约定的履约价f 0，投资者就应持有多头部位，既买入期货合约，到期出售合约获利。f 0，投资者就应持有空头部位，既卖出合约，到期买入
6、合约交割获利。,二.金融期权定价模型,（一）期权价格含义期权价格指期权合约价格，即期权费为多少。（二）期权价格构成及影响因素1.价格构成:价格=时间价值+内在价值 内在价值:市价（S）与执行价（K）差额,二.金融期权定价模型,时间价值指期权实际价格超过内在价值的部分,剩余时间越长,时间价值越大。因为朝有利方向变动概率增大，到期日逼近，时间价值趋近于零。时间价值实际上是一种等待风险补偿。注：“+”正相关，“”负相关，“+”强正相关,影响因素,二.金融期权定价模型,说明：1）欧式期权只有到期执行，期限影响不大。2）价格波动对美式期权更有意义。3）利率影响较为复杂。贴现率上升，收益现值下降，此外，无
7、风险收益率上升，股票收益提高，价格上涨。对看涨期权而言，前者对其不利，后者对其有利，但后者对其影响更大，故总体为正相关；对看跌期权，两者均不利，故负相关。4）分红是股价除息，价格下跌，所以与看涨成反比，与看跌成正比。,二.金融期权定价模型,（三）期权定价模型 1.两项式定价模型依据：买卖权等式标的股票价格看跌期权价格看涨期权价格执行价的现值假设条件：假设未来价格变动呈现两次分布的形式，涨跌幅有一定的比值，（与BS模型正态分布假设不同）。特征:分段计算，适合美式期权定价。如果不同期限影响因素不同或过多，也适合使用此模型。,二.金融期权定价模型,2.模型形成路径及公式（1）单一时期二项定价模型有一
8、只股票当前价格为20元，如果下一期即一个月后股票价格只有两种可能（概率差两次分布），要么22元,要么18元，那么执行价为21元的1股股票的欧式看涨期权价为多少呢？根据上述数据，我们可知道，要是股价高达22元，届时期权价为1元（22-21）；反之，若股价跌到18元，期权呈虚值为0。如图3-1所示。,当前股价20元,S,c,一个月后股价上升到22元（Su）,一个月后对应期权价1元（Cu）,一个月后股价下跌到18元（Sd）,当前期权价（？）,一个月后对应期权价0元(Cd),图3-1 单一时期期权价变化,二.金融期权定价模型,图中：u,d分别表示股价涨跌变动幅度系数u=Su/S1,d=Sd/S1）;S
9、u.Sd分别表示股价后一期上涨下跌的价格；Cu.Cd分别表示期权后一期的对应价值。为求解当前期权价，我们设计这一个资产组合：资产组合为：a股股票的多头部位加一份看涨期权空头部位。如果一个月后股份为22元，则组合价值为22a-1,如果股价为18元，则组合价值为18a-0元，为使这一组合为无风险投资（即不存在无风险套利机会）,这两种组合价值应相等,即:22a-1=18a，a=0.25这就是说,我们可以通过买进1/4该股票而同时卖出一份该股票看涨期权构造投资组合,如果股价涨到22元,届时该组合价值为22*0.25-1=4.5元;如果股价跌到18元,届时该组合价值也为18*0.25=4.5元.,二.金
10、融期权定价模型,那么如何确定当前该组合价值呢?由于无风险投资组合收益率必须等于无风险利率,否则会有无风险套利机会出现,假定无风险利率为为12%(年率),则上述投资组合现值为:4.5e-0.12*1/12=4.4555元,也就是:20a-c=4.4555元,20*0.25-c=4.4555元,c=0.5445元.由于以上讨论的单一时期定价,因变量较少,所以便于推导,容易计算.为规范起见,并与以后n时期模型统一,可将单一时期的定价公式表示如下(公式形成过程省略):c=e-rTqCu+(1-q)Cd 其中:q=(ert-d)/(u-d)到此,我们就可得出这样一个结论;期权的价格等于以无风险利率折现该
11、期权在到期日预期值所得的现值.,二.金融期权定价模型,（2）两时期二项定价模型 实际生活中.单一时期的假设过于简化,也不适合,由于我们可延伸.接下来我们讨论两个时期的情况.两时期股价变动情况(T1=T2=T).,Su2 Cuu,Su,Cu,Sd,Cd,Sud,Cud,Sd2,Cdd,S,c,二.金融期权定价模型,两时期股价变动情况 为求出c,仍按单一时期方法,先计算第二时期内Cu和Cd,有:Cu=e-r t qCuu+(1-q)Cud Cd=e-r t qCud+(1-q)Cdd 再计算第一时期内c:C=e-r t qCu+(1-q)Cd C=e-2r t q2Cuu+2q(1-q)Cud+(
12、1-q)2 Cdd 其中:q=(ert-d)/(u-d)上式仍以风险中性估价法为基础,式中q2.,2q(1-q)及(1-q)2分别是期权在到期日价值达到高,中,低3种情况的概率.,二.金融期权定价模型,我们仍沿用单一时期的数据（T=1/12年，变动幅度=10%，r=12%）,由于给出 Su2=24.2,Sud=19.8,Sd2=16.2.进一步我们可算出:Cuu=24.2-21(执行价)=3.2 Cud=19.8-21=0(虚值)Cdd=16.2-21=0(虚值)如图所示.,Su2(24.2),Suu(3.2),Su(22),Cu(1.7424),Sd,(18),Cd,(0),S(20),c(
13、0.9487),Sud(19.8),Cud(0),Sd2(16.2),Cdd(0),1个月,1个月,欧式期权两时期二项式模型实例,二.金融期权定价模型,代入二项式模型,可得：q=(e0.12*1/12-0.9)/(1.1-0.9)=0.55Cu=e-0.12*1/120.55*3.2+(1-0.55)*0=1.7424(元)Cd=e-0.12*1/120.55*0+(1-0.55)*0=0(元)C=e-0.12*1/120.55*1.7424+(1-0.55)*0=0.9487(元)结果是：当前该期权的价格应该是0.9487元。,二.金融期权定价模型,N时期二项式定价模型。根据同样原理，我们可
14、以将期权至到期日分割成n段，每段长度 T=T/n.由此形成 Sn,n,S22,S11,S,S10,S20,S21,Sn,n,Sn,n-1,Sn,n-2,Sn,1,Sn,0,n时期二项式树状图,二.金融期权定价模型,定价模型:c=e r qj(1-q)n-jujd n-js-k qj(1-q)n-j q=(e rt-d)/(u-d),二.金融期权定价模型,2.正态分布模型(布莱克斯科尔斯期权定价模型又称B-S模型)假设条件:（1）无风险利率已知且不随时间变化；（2）股票价格是连续的,其遵循几何或对数布朗运动,即股票价格服从对数分布,且股票收益的方差不变；（3）股票不付红利或其他收益；（4）期权是
15、“欧式的”即期权品种在合约到期日才能被执行；（5）买卖股票或期权无交易成本和税的限制；（6）卖空没有限制；（7）市场连续运行。,看涨期权模型看跌期权模型 其中：S=现行股价 k=看涨期权执行价 r=年连续无风险收益率t=至到期日的时间N（d）=累积正态密度函数。2=股票价格的年标准差(波动率),二.金融期权定价模型,二.金融期权定价模型,PE公司k=49的看涨期权收盘市价是4美元，S=50，离到期日还有199天，r=7%2=0.09 计算d1和d2d1=0.3472，d2=0.1527计算N(d1)=0.6459，N(d2)=0.5607计算C=5.85美元,三.转换债券价格评估,1.定价原理
16、可转债价格=纯债券价值+买入期权价值可转债价格就有两个下限：可转债的纯债券价值和可转债的转换价值。如果纯债券价值超过转换价值，投资者不会实施转股：若转换价值超过纯债券价值，投资者就会转股。,可转债价值,到期前可转债的最小价值曲线,公司价值,纯债券价值,转换价值,三.转换债券价格评估,可转债价值,到期前可转债的价值曲线,公司价值,可转债价值,转换期权价值,时间价值,内在价值,纯债券价值,三.转换债券价格评估,2.定价模型P=（+）+*CR 其中：S=现行股价；CD=股票转换价；r=年连续无风险收益率；rc=贴现率；t=至到期日的时间；N（d）=累积正态密度函数；2=股票价格的年标准差(波动率)；
17、CR=转换比例,三.转换债券价格评估,若考虑支付红利,期权定价部分要作相应的改进。如果以g代表股票的持续股息收益率,则改进后的模型,即支付股息的股票期权定价公式为:P=(+）+*CR,三.转换债券价格评估,案例分析机场转债（1）机场转债普通债券部分价值的计算机场转债的面值为100元,票面年利率0.8%,存续期限5年。如果以目前5年期银行贷款利率6.03%作为年实际复利率,则年连续复利率=(1+)=(1+6.03%)=5.86%。不考虑机场转债赎回条款和回售条款,在初始发行时其普通债券部分的价值计算如下:所以机场转债相当于普通债券部分的价值约为78.60元。,三.转换债券价格评估,（2）可转换债
18、券买入期权价值计算a、股票价格波动率的计算在利用布莱克斯科尔斯模型计算买入期权价值所需要的数据中,只有股票价格波动率这一变量是未知的,因此我们首先来计算上海机场股票的价格波动率。股票价格波动率的计算方法是:以一定时间内的股票价格为基础,设(+1)为观察次数,为第个时间间隔末的股票价格。令=(/-1),因为=-1,所以是第个时间间隔后的连续复利收益,的标准差即为该段时间内股票价格的日波动率,设为1,则1的估计值为:或者：公式中 是的均值。,三.转换债券价格评估,在计算出股票价格的日波动率之后,可以利用下面的公式计算股票价格的年波动率。股票价格年波动率()=股票价格日波动率（每年的交易日数）1/2
19、。我们以机场转债发行前上海机场股票连续90个交易日(从1999年9月20日至2000年2月18日)的价格为基础来计算其股票价格波动率根据计算,我们得到=-0.22154227,2=0.03365047。上海机场股票日波动率1=（0.03365047/88）-(-0.22154227)2/8889 1/2=1.94%,从而得到其股票年波动率=1.94（245）1/2=30.36%(以一年245个交易日计算),三.转换债券价格评估,b、买入期权价值的计算机场转债其他的已知条件是:转债条款中规定的转股价格为每股10元,即=10;以目前国债利率为参考,以年连续复利率表示的无风险利率取值为3%;在机场转
20、债发行时上海机场股价为每股10元,即=10;转债发行时离到期日的时间-=5(年)。将这些数据代入布莱克斯科尔斯模型,计算机场转债包含的买入期权的单位价值:,三.转换债券价格评估,查正态分布数值表可以得到:(1)=0.7142，(2)=0.4528，所以=100.7124-10-3%50.4528=3.2267(元)。由于机场转债的转股价格为每股10元,所以每张面值为100元的转债可以转换成10股上海机场股票,每张转债所包含的买入期权的价值=103.2267=32.267(元)。,三.转换债券价格评估,（3）机场转债理论初始价格计算 机场转债整体价值等于普通债券部分的价值与买入期权部分的价值之和,即：=+=78.60+32.267=110.867元。,
