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1、常数项级数的概念和性质,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,一、问题的提出,1.常数项级数的定义,设有数列un:u1,u2,un,则称表达式,为一个常数项级数，简称级数.其中，un称为常数项级数的一般项或通项.,二、常数项级数的概念,例1.下列各式均为常数项级数,2.常数项级数的敛散性定义,常数项级数级数,的前n项之和：,称为常数项级数的部分和.,若,存在，则称级数,收敛，,S称为级数的和：,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,例2.讨论等比级数,的
2、敛散性.,解：等比级数的部分和为：,当公比|r|1时，,即,当公比|r|1时，,当公比 r=1时，,当公比 r=1时，Sn=,a,n为奇数,0,n为偶数,故,不存在.,综上所述，当公比|r|1时,等比级数收敛；当公比|r|1时，等比级数发散.,例3.讨论级数,的敛散性.,解：,而,故,，即该级数收敛.,3.收敛级数的余项,收敛级数,称为收敛级数的余项，记为,的和S与其部分和Sn的差SSn,显然,定理：若级数,收敛，则必有,证 设,三、级数收敛的必要条件,例4.判别,的敛散性.,解：由于,故,该级数发散.,例5.证明调和级数,是发散的.,证 调和级数的部分和有：,由数学归纳法，得,k=0,1,2
3、,而,故,不存在，即调和级数发散.,若c0为常数，则,有相同的敛散性，,且,四、无穷级数的性质,性质1,证,的部分和为,的部分和为,故,从而,同时收敛或同时发散.,若,其和分别为S1和S2，则级,数,且,性质2,证,的部分和为：,故,即 级数,收敛，且,例6.因为等比级数,所以级数,例7.问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？,答：是发散的.,问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？,答：不一定.,在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.),性质3,证 设级数,的部分和为Sn,去掉级数的前,面m
4、项后得到的级数,的部分和为S k:,由于Sm当m固定时为一常数，所以,故 级数,与级数,对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.,性质4,例8.考虑一下几个问题：,(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？,答：不一定.,(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？,答：不一定发散.,(3)如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？,答：原级数也发散.,证明,五、级数收敛的必要条件,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,思考题,思考题解答,能由极限的夹逼准则即知,课堂练习题,课堂练习题答案,常数项级数的基本概念,基本审敛法,六、小结,
