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1、第一章 证明（二）,复习课,北师大版实验教材数学九年级上册,角平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理等腰三角形与直角三角形尺规作图,本章主要知识点,一、角平分线的性质定理及逆定理,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,1、角平分线性质定理,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,2、角平分线性质定理的逆定理,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,3、三角形的角平分线性质,(2)求证:AB=AC+CD,例1：如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD=4cm,求AC
2、的长;,(1)解：AD是ABC的角平分线，C=90，DEABDE=CD=4cmAC=BC B=BAC(等边对等角)C=90，B=90=45BDE=9045=45BE=DE(等角对等边)在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+)cm,(2)证明：由(1)的求解过程可知，RtACDRtAED(HL)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD,例1.如图，在ABC中AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD,二、线段垂直平分线的性质定理及逆定理,线段垂直平分线上的点到这条
3、线段两个端点距离相等.,1、线段垂直平分线性质定理,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.,2、线段垂直平分线定理的逆定理,3、三角形三边中垂线性质,例2：已知：如图，DE,DF分别是ABD和ACD的高，且DE=DF.求证：AD垂直平分EF,A,B,C,E,F,D,证明:如图 DEAB,DFAC AED=AFD=在Rt ADE和Rt ADF中，DE=DF,AD=AD Rt ADERt ADF AE=AF 点A在线段EF的垂直平分线上 又DE=DF 点D在线段EF的垂直平分线上 AD垂直平分EF,三、等腰三
4、角形与直角三角形,（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：,性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合；（三线合一）等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60；,判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。,（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：,（2）与直角三角形有关的结论：,勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的
5、一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL),例3：已知如图：在ABC中,ABC=450,H是高AD、BE的交点 1)求证:BH=AC.,证明线段相等有两种方法:1.当两条线段在不同三角形中,则证明两个三角形全等.2.当两条线段在同一个三角形中,则利用等腰三角形的等角对等边.,2).若把BAC改为钝角,请你按题设要求在钝角三角形ABC中画出该题的图形？,结论BH=AC还成立吗?,一个图形的某些条件变化后,要能分清变与不变的结果,这是解决这一类问题的基本思路.,例4.已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=1200，AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N.求证：CM=2BM
6、,B,A,C,M,N,证明：连接AMAB=AC,BAC=1200 C=B=300 MN是线段AB的垂直平分线 MA=MB MAB=B=300，即CAM=900在Rt CAM中，由C=300，得AM=CMBM=CM,即CM=2BM,C,A,B,M,N,D,例4.已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=1200，AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N.求证：CM=2BM,四、尺规作图,1、线段的垂直平分线的作法2、角的平分线的作法,例5：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分,已知：如图，AOB求作：(1)射线OC，使AOC=BOC；(2)射线OD、OE，使AOD=DOC=COE=EOB,作法:(1)1、在OA和OB上分别分别截取OM、ON，使OM=ON 2分别以M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C 3作射线OC OC就是AOB的平分线,
