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1、2023/8/1,函数的单调性与导数,2023/8/1,在（，0）和（0,）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在（，1）上是减函数，在（1,）上是增函数。,在(,)上是增函数,概念回顾,画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间,2023/8/1,单调性的概念,对于给定区间上的函数f(x):1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有 f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.,首页,2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数,对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或单调递
2、减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。,2023/8/1,2023/8/1,y,1.在x1的左边函数图像的单调性如何？,新课引入,首页,2.在x1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？,3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？,4.在x1的右边时，同时回答上述问题。,2023/8/1,定理：一般地，函数yf（x）在某个开区间内可导：如果恒有 f(x)0，则 f（x）是增函数。如果恒有 f(x)0，则f（x）是减函数。如果恒有 f(x)=0，则f（x）是常数。,2023/8/1,例1.确定函数 在哪个区间是减函数？在哪个区
3、间上是增函数？,解:(1)求函数的定义域 函数f(x)的定义域是(,),（2）求函数的导数,（3）令 以及求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。,令2x40,解得x2x(2,)时，是增函数令2x40,解得x2x(-,2)时，是减函数,2023/8/1,确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。,解：函数f(x)的定义域是(,),令6x212x0,解得x2或x0当x(2,)时，f(x)是增函数；当x(，0)时，f(x)也是增函数令6x212x0,解得,0 x2当x(0,2)时，f(x)是减函数。,首页,2023/8/1,知识点：,定理：一般地，函数yf（x）在某个区间内可导：如果恒有，
4、则 f(x)在是增函数。如果恒有，则 f(x)是减函数。如果恒有，则 f(x)是常数。,步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f(x)0以及f(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2023/8/1,练习:判断下列函数的单调性,(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=sinx-x,x(0,);(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;(4)f(x)=ex-x;,2023/8/1,2023/8/1,1.3.2 函数的极值与导数,2023/8/1,问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象,单调递增,单调递减,
5、归纳:函数 在点 处,在 的附近,当 时,函数h(t)单调递增，;当 时,函数h(t)单调递减,。,2023/8/1,探究,（3）在点 附近,的导数的符号有什么规律?,（1）函数 在点 的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系?,（2）函数 在点 的导数值是多少?,(图一),问题：,2023/8/1,探究,(图一),极大值f(b),点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.,极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.,极小值f(a),思考：极大值一定大于极小值吗？,2023
6、/8/1,（1）如图是函数 的图象,试找出函数 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？,（2）如果把函数图象改为导函数 的图象?,随堂练习,答：,1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。,2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。,2023/8/1,下面分两种情况讨论:（1）当，即x2,或x-2时;,（2）当，即-2 x2时。,例4：求函数 的极值.,解:,当x变化时，的变化情况如下表：,当x=-2时,f(x)的极大
7、值为,令,解得x=2,或x=-2.,当x=2时,f(x)的极小值为,2023/8/1,（2）如果在 附近的左侧，右侧，那么 是极小值,归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:,（1）如果在 附近的左侧，右侧，那么 是极大值；,解方程，当 时：,练习：1、下列结论中正确的是（）。A、导数为零的点一定是极值点。B、如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么 f(x0)是极大值。、极大值一定大于极小值。,B,2023/8/1,巩固练习：,1、求函数 的极值,2023/8/1,思考：已知函数 在 处取得极值。（1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间,2023/8/1,课堂小结:,一、方法
8、:(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)求方程f(x)=0的全部解(4)检查f(x)在f(x)=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题,今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值,2023/8/1,1.3.3函数的最大(小)值与导数,2023/8/1,最值是相对函数定义域整体而言的.,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质.,注意:,温故知新,唯一,最大值一定比最小值大,两者都有可能,2023/8/1,y=f(x),o,y,x,y=f(
9、x),x1,x2,x4,如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。,所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值,探究新知,x3,2023/8/1,典型例题,1、求出所有导数为0的点；,2、计算；,3、比较确定最值。,在闭区间上求函数最值时，必须确定函数的极大值和极小值吗？,2023/8/1,动手试试,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：,2023/8/1,典型例题,反思：本题属于逆向探究题型；其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,2023/8/1,拓展提高,我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？,2023/8/1,函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。,有两个极值点时，函数有无最值情况不定。,2023/8/1,如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。,2023/8/1,动手试试,2023/8/1,小结：,1、基本知识,2、基本思想,2023/8/1,
