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1、一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,第四节 函数的单调性与凹凸性,单调性及其判定,一、单调性的判别法,函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。,从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的.,这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个
2、区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,方法:,例2.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,例3,解,三、利用单调性证明不等式,利用单调性证明不等式的步骤：,将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使一端为0,另一端即为
3、所作的辅助函数f(x).,与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.,例4,证,例5,证明,证,例6,证,定不出符号,四、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,曲线的凹凸性与拐点,前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。,如右图所示L1，L2，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。,L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习
4、惯对凹凸的称呼是一致的。,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,二、曲线凹凸的判定,定理1,定理(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 在 I 内图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),设函数 f(x),在区间I 上有二阶导数,证毕,三、曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证,方法:,求拐点一般步骤,例1,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例2,解,注意:,拐点,拐点,解,例3,解,例4,解,例5,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,证,法一,用单调性证.,法二,用凹凸性证.,3,设,则,即,证,只要证,令,则,所以,即,有,得,思考题,
