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1、应用概率统计,主讲:刘剑平,定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1 A.B为两个事件,若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).若P(B)0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).,第1.5节 独立性及其应用,推论2 在 A 与 B,与 B,A 与，与 这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。,性质 若n个事件相互独立，则,巴斯卡概率公式 在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n 次试验中,则,几何概率公式 在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n 次试验中,则,二项概率公式 在n重贝努里试
2、验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功”出现k 次”,则,第2章 随机变量及分布,第2.1节 随机变量的概念,第2.3节 随即变量的分布,第2.4节 连续型随机变量,第2.5节 随机变量函数的分布,第2.2节 离散型随机变量,品质数据的分类整理：,数量数据分组：,组距分组：,单变量分组：,条形图、,饼图,直方图、,折线图,组数：,组距：,排序计数,频率与直方图,分组的原则：穷尽原则，互斥原则,例：某商店连续40天的商品销售额（单位：万元）如下：,根据上面的数据进行适当分组，编制频数分布表，并画出直方图。,41 25 29 47 38 34 30 38 43
3、 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 44 42 28 46 34 30 37 44 26 38 44 42 36 37 37 49 39 42 32 36 35,数据分布特征的测度,1、,分布的集中趋势：,(1)众数：,出现频率最高的值，,用,记之。,算法(1),例,1,2,4,4,5,6,则,1,2,3,3,4,5,6,6,7,则,(2)中位数：,中间位置的数，,用,记之。,算法(1),例,1,2,3,4,5,6,7,则,1,2,3,4,5,6,则,(4)均值：,1)简单平均,2)加权平均,3)调和平均,4)加权调和平均,5)几何平均,其中,众数、中位数、均值的比较
4、,对称分布,左偏分布,右偏分布,2、,分布的离散程度：,(1),(2),平均离差,样本方差,(3),样本标准差,（4）极差,例：求1,2,3,4,5的样本均值，样本方差。,解：,一、随机变量(random variables)概念,记为,是一个随机事件。,第2.1节 离散型随机变量及其分布,例如(1)随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点,:出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点,X():1 2 3 4 5 6,(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，表示射击次数，则,射击1次 射击2次.射击n次.,X()1 2.n.,(3)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅
5、客在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间,候车时间,X()0,10,1.随机变量,(4)掷一枚硬币，表示正反面，则,X():1 0,特别,离散型,连续型,定义 设E为随机试验,它的样本空间记为=,如果对于每一个都有实数X()与之对应,则称这个定义在上的实单值函数X()为随机变量.随机变量一般用X,Y,Z,或,等表示.,取值为有限个和至多可列个的随机变量.,可以取区间内一切值的随机变量.,例如 S=R2中,其中R为测量中的随机变量,S为随机变量R的函数.,此外,若X是一个随机变量,则以X为自变量的函数Y=f(X)称为随机变量X的函数.随机变量函数也是随机变量.,2.离散型随机变量的概率分布,定
6、义 设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,.,xn,.,且 pn=P(X=xn),n=1,2,.,称此公式为X的概率分布或分布列.,或者,性质(1)pn0,n=1,2,.；(2)p1+p2+.+pn+=1；计算 对ab 有 P(aXb)=,例如 在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的点数,则,X的概率分布为,设A表示出现奇数点,则P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/2,注意,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.,例1 某试验出现“成功”的概率
7、为p(0p1),出现“失败”的概率为1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分布.,解 设随机变量X表示成功次数,则X=0表示试验出现“失败”,X=1表示试验出现“成功”P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为:,两点分布,注 两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验.,常见的离散型随机变量的概率分布,(1)两点分布(0-1分布),注 二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;其中n是试验独立重复的次数,p是每一次基本试验“成功”的概率.随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.,例2 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得不合格品件数为X,
8、则,(2)二项分布 若随机变量X的概率分布为,XB(4,0.2),一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率为p，则：当（n+1）p为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1;当（n+1）p不为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p的整数部分.,巴斯卡分布 在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n 次试验中,则,几何分布 在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n 次试验中,则,(3)泊松分布,定义 若随机变量X的概率分布为,则称X服从参数为(0)的Possion分布,记为XP().,可以证明 当n很大,p很小,=np是一个不太大的常数时,可以用泊
9、松分布作为二项分布的近似.即,即 Poisson 分布可作为二项分布的近似。实际应用中，当 p 0.25，n 20，np 5时，近似效果良好。,例3 在一部篇幅很大的书籍中，发现只有13.5%的页数没有印刷错误，如果我们假定每页的错字数是服从 Poisson 分布的，求正好有一个错字的页数的百分比.,解 设为每页的错字个数，由已知得,又已知,解 1月1日公司收入(元),设一年中死亡人数为（人），则,例4 在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日付 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元，
10、问下列事件的概率各为多少？(1)保险公司亏本(2)保险公司获利不少于10000元(3)保险公司获利不少于20000元,(2)保险公司获利不少于10000元=,(3)保险公司获利不少于20000元=,例5 设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.,解 设X表示试验次数,X取值为1,2,.,n,.,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,.,P(X=n)=(1-p)n-1p,.,记 q=1-p,则X的概率分布为:,几何分布,P(X=n)=qn-1p,(n=1,2,.),例6 一批产品共100只，其中有10只次品.求任意取出的5只产品中次
11、品数的概率分布。,解 设任意取出的5只产品中次品数为,可能取值为：,0,1,2,3,4,5.,一般地，若一集合成员分A、B两类，总成员有N个，其中A类有M个，现从中任取 n个,则其中所含的 A 类个数的分布为：,例7 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。,解(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为,(2)Y的可能取值为1,2,3,
12、4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有 P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为,(3)P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56,例8 某车间有5台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦.每台机床工作时平均每小时实际开动 20分钟,且每台开动与否相互独立.因电力供应紧张,电力部门仅提供30千瓦的电力给这5台机床.问5台机床正常工作的概率有多大?,解 设A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床数”,则,P(A)=1/3,XB(n,p),其中n=5,p=1/3,所求概率为,P(X3),=1
13、-P(X=4)-P(X=5),0.95,或P(X3),随机变量的分布函数,定义 设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P(Xx),x 为随机变量X的分布函数.,(1)0F(x)1,x,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3),(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即:F(x+0)=F(x),1.分布函数,性质,(1)F(x)=,(3)对任意ab有 P(aXb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a);P(a Xb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b-0)-F(a-0);P(Xa)=F(a-0);P(Xa)=1-P(Xa)=1-F(a-0).,对于离散型随机变量X的分布函数有,例9 设随机
14、变量X服从参数为0.7的0-1分布,即:,求X的分布函数.,解(1)当x0时,F(x)=P(Xx)=,=0,(2)当0 x1时,F(x)=P(Xx)=,=P(X=0)=0.3,(3)当1x时,F(x)=P(Xx)=,=P(X=0)+P(X=1)=1,分布函数图形如下,x,F(x),1,1,0.3,0,所以,对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2,(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间;(2)图形上表现为阶梯形跳跃递增;(3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.,例10 设X的分布函数为,求X的概率分布.,解 X的取值为 X 0 1
15、2,由此可见,例如 设某厂生产某产品的规定尺寸为25.40cm,已知某批产品的最小尺寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现从这批产品中任取100件,得到100个测量值.计算得如下数据表:,2.2 连续型随机变量的概率密度函数,建立频率柱形图如下:,当n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线,此即为随机变量X的概率密度曲线,以该曲线为图形的函数称为X的概率密度函数.记为Xf(x).,f(x)0,x;,显然,连续型随机变量的概率密度曲线具有以下性质,对于连续型随机变量X的分布函数有,(1),(3)F(x)是(-,+)上的连续函数;(4)P(X=x)=F(x)-F
16、(x-0)=0;,(2)f(x)=,(5)对任意aa)=1-P(Xa)=1-F(a).,例11 设随机变量X,求(1)A;(2)P(-1/2X1/2);(3)P(-3X2),解(1),即,所以 A=1/,A=1,(2)P(-1/2X1/2)=,=1/(/6+/6)=1/3,(3)P(-3X2)=,=1,例12 设连续型随机变量X满足,解 密度函数曲线如图,S1,S2=2/3,表示k点右侧的面积值.,由f(x)的几何意义知,又由S2=2/3可知,例13 设随机变量X,求(1)A;(2)P(-1/2X1/2);(3)F(x),例14 设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A;(2)P(0.3X
17、0.7);(3)X的概率密度f(x).,解(1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:,即:,所以,A=1,(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=,0.72-0.32=0.4,(3)f(x)=,=,0 x 02x 0 x10 1x,即:,例15 设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A,B;(2)P(-1X1);(3)X的概率密度f(x).,常见的连续型随机变量的概率密度,(1)均匀分布,称X服从a,b上的均匀分布.记为XU(a,b).,例16 设随机变量X服从-1,2区间上的均匀分布,求X的分布函数.,解,如图:,-1,2,分析,F(-2)=,=0,-2,1,3,F(1
18、)=,=2/3,F(3)=,=1,F(1),x,f(x),F(3),(1)x-1时,F(x)=,=0,=1,(2)-1x2时,F(x)=,(3)2x时,F(x)=,所求分布函数为,x,F(x),-1,1,2,1,0,可见(1)连续型随机变量X的分布函数F(x)为单调 递增的连续函数;(2)F(x)为分段函数,例17 设随机变量XU(1,5),求,例18 设随机变量X服从2,5上的均匀分布.对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。,解 由题意得:,记A=X3,则P(A)=P(X3)=,2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则YB(3,2/3),所求为P(Y2)=,P(Y=
19、2)+P(Y=3),=20/27,(2)指数分布,则称 X服从参数为的指数分布,记为XE()(0).,定义,若随机变量X的概率密度函数为,概率密度曲线如图:,注 指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.,注 指数分布具有“永远年青”性。即,例19 设随机变量XE（0.0001）,求x2000的概率。,称 随机变量 X服从参数为,2的正态分布,0，是任意实数，记为,(3)正态分布,定义 若随机变量X的概率密度函数为,注(1)概率密度曲线是以x=为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;,f(x),x,0,(2)在x=点f(x)取得最大值:,X N(,2),(3)曲线f(x)与x轴之间的面积是1.
20、,特别,若=0,2=1,即,则称X服从标准正态分布.记为,XN(0,1),x,0,注 标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.,x,0,注(1),x,-x,标准正态分布的分布函数,2.正态分布的分布函数及其计算,(2)P(|X|a)=(a)-(-a)=(a)1-(a),=2(a)-1.,正态分布的分布函数,若XN(,2),则,所以,若XN(,2),则对任意的ab有,例20 设XN(10,4),求P(10X13),P(|X-10|2).,解 P(10X13)=,=(1.5)-(0)=,0.4332,P(|X-10|2)=,P(8X12),=2(1)-1,=0.6826,=(1)-(-1),=(
21、1)-1-(1),例21 设XN(,2),P(X-1.6)=0.036,P(X5.9)=0.758,求及.,解 P(X-1.6)=,所以:,又P(X5.9)=,所以:,联立解方程组得:,=3,=3.8,特别(0)=0.5;(1.28)=0.90;(1.64)=0.95;(1.96)=0.975;(2.33)=0.99.,例22 某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分，96分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至84分之间的概率。,解 设X为考生的外语成绩,则,XN(72,2),由题意得:,P(X96)=0.023,=1-(96-
22、72)/=,1-(24/),所以,(24/)=1-0.023=0.977,24/=2,故:,=12,所求P(60X84)=,=0.6826,1.已知XN(3,22),且 PXC=PXC则C=（),2.设XN(，42),YN(，52),记 p1=PX-4，p2=PY+5则()对任意实数，都有p1=p2 对任意实数，都有p1p2,3,课堂练习,f(x),x,0,P(X),P(X),设XN(，2),则随的增大，概率P|X-|（）单调增大 单调减少 保持不变 增减不定,设X N（2，2),且P2X4=0.3,则 PX0=().,0.2,离散型随机变量的概率分布,定义 设随机变量X的一切可能取值为x1,
23、x2,.,xn,.,且 pn=P(X=xn),n=1,2,.,称此公式为X的概率分布或分布律.,或者,性质(1)pn0,n=1,2,.；(2)p1+p2+.+pn+=1；计算 对ab 有 P(aXb)=,两点分布,常见的离散型随机变量的概率分布,(1)两点分布(0-1分布),(2)二项分布,(3)泊松分布,定义,则称X服从参数为(0)的Possion分布,记为XP().,可以证明 泊松分布作为二项分布的近似(np=).即,巴斯卡分布 在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n 次试验中,则,几何分布 在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n 次试验中,则,超几何分布,f(x)0,
24、x;,性质,连续型随机变量的概率密度函数,随机变量的分布函数,定义 设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P(Xx),x 为随机变量X的分布函数.,(1)0F(x)1,x,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3),(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即:F(x+0)=F(x),1.分布函数,性质,(1)F(x)=,(3)对任意ab有 P(aXb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a);P(a Xb)=P(Xb)-P(Xa)=F(b-0)-F(a-0);P(Xa)=F(a-0);P(Xa)=1-P(Xa)=1-F(a-0).,对于离散型随机变量X的分布函数有,对于连续型随机变量X的分
25、布函数有,(1),(3)F(x)是(-,+)上的连续函数;(4)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;,(2)f(x)=,(5)对任意aa)=1-P(Xa)=1-F(a).,常见的连续型随机变量的概率密度,(1)均匀分布,称X服从a,b上的均匀分布.记为XU(a,b).,(2)指数分布,则称 X服从参数为的指数分布,记为XE()(0).,定义,若随机变量X的概率密度函数为,注 指数分布具有“永远年青”性。即,(3)正态分布,定义,注(1)概率密度曲线是以x=为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;,f(x),x,0,(2)在x=点f(x)取得最大值:,X N(,2),(3)曲线f(x)
26、与x轴之间的面积是1.,若=0,2=1,即,标准正态分布.,XN(0,1),x,0,注 标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.,x,0,注(1),x,-x,标准正态分布的分布函数,2.正态分布的分布函数及其计算,(2)P(|X|a)=(a)-(-a)=(a)1-(a),=2(a)-1.,正态分布的分布函数,若XN(,2),则,所以,若XN(,2),则对任意的ab有,离散型随机变量函数的概率分布:,例23 设随机变量X的概率分布如下,Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布.,解(1)Y的对应取值为-1,1,3,5,P(Y=-1)=P(2X+1=-1)=P(X=-1),=0.2,P(Y=1
27、)=P(X=0)=0.3,P(Y=3)=P(X=1)=0.1,P(Y=5)=P(X=2)=0.4,所以Y的概率分布为,(2)Z的取值为0,1,4,P(Z=0)=P(X=0)=0.3,P(Z=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3,P(Z=4)=P(X=2)=0.4,所以Z的概率分布为:,2.3.随机变量函数的分布,注意,离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求:,(1)由y=g(x)计算出随机变量Y的所有取值y1,y2,.,yn,.;(2)P(Y=yn)为yn 对应的随机变量X的取值的概率和.,例24 设随机变量X,Y=2X+1,求随机变量Y的概率密度函数fY(y).,解(1)求Y的分布
28、函数FY(y):,FY(y)=P(Yy)=,=FX(,P(2X+1y),=P(X,(2)对分布函数求导:,f Y(y)=,=,利用复合函数求导链式法则得:,f Y(y)=,=,将fX(x)代入得:,f Y(y)=,=,连续型随机变量函数的概率密度函数,进一步可以推广得到以下结果：,定理1 设XfX(x),y=g(x)是x的单调可导函数,其导数不为0,值域为(a,b),-ab+,记x=h(y)为y=g(x)的反函数,则Y=g(X)的概率密度函数为:,FY(y)=P(Yy)=,f Y(y)=,设y=g(x),特别:对随机变量X的线性函数有以下定理,定理2 设随机变量XFX(x),Y=kX+b(k0
29、),则Y的概率密度为,例如 设X为连续型随机变量,XFX(x),Y=-4X+3,则Y的密度函数为,证明,所以 YN(0,1),第2章 一维随机变量及分布补充例子,1.离散型随机变量的分布函数为,0.3,2.已知随机变量X只能取-1、0、1、2四个值,其相应的概率依次为c,2c,3c,4c.求:（1）常数c；,4.当随机变量,（）,5已知随机变量X的概率密度为,求:1)A;2)分布函数;3)概率P(-1/2X1/2).,A=2;2)分布函数,3)概率P(-1/2X1/2)=1/4.,6.已知X的分布函数为,7.设随机变量X的密度f(X)满足f(x)=f(-x),分布函数F(x)满足,（）,8:设随机变量的分布函数为求：（1）A；（2）X的概率密度；（3）。,
