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1、2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,1,上课,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,2,绝对值无限增大的变量称为无穷大(量).,分析定义:,0|xx0|时,d 0,有|f(x)|M,M 0,|x|X 时,X 0,有|f(x)|M,M 0,比较:,f(x)在X上无界,无穷大量与无穷小量,三个定义;两个定理;四个性质;一个推论.,定义1.,极限为零的变量称为无穷小(量).,定义2.,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,3,(4)无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.,(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,(2)有限个无穷小的乘积是无穷小.,推论 常数与
2、无穷小的乘积是无穷小.,(1)在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2.在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;,定理1.,定义3.,恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,2.4 极限的性质与运算法则,一、极限的性质,1(唯一性).若limf(x)存在，则极限值唯一。,2(局部有界性).若,存在，,则函数f(x)在x0的某空心邻域内有界.,3(保号性).若,且A0,则在x0的某空心邻域内f(x)0,(或A0)，,(或f(x)0).,4(保号性).若在x0的某空心邻域内f(x)0,则A0,且,(或A0).,(或0),反证！,在x0的某空心邻域内f(x)0,A0,且,反例:,2023
3、/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,5,即,二、极限的四则运算法则,在极限存在的条件下，和、差、积、商(分母不为0)的极限等于极限的和、差、积、商。,注意法则条件,极限存在;分母极限不为零.,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,6,证：由极限与无穷小量的关系，,再由极限与无穷小量的关系，法则(1)、成立。,都,其中lim=lim=0,(2)、,(3),是无穷小量,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,7,推论:,故推论(3)中的n还可推广到分数以至任何实数。,由直观得:,(1)法则可推广到有限个函数的和、差、积,(“函数极限”一节已证),2023/8/2,微积分-极限
4、的性质与运算法则,8,三、极限不等式,若在x0的某空心邻域内f(x)g(x)，且,则AB,证：由f(x)g(x)得f(x)g(x)0，,由极限性质4(保号性),AB0,即AB,仅对xx0情形叙述、证明,其它情形有类似结论。,注:与“保号性”类似地,即使条件改为“f(x)g(x)”,结论仍为“AB”,定理,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,9,例1,解,四、求极限举例,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,10,小结:,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,11,解,例3,(消去零因子法),2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,12,例4,2023/8
5、/2,微积分-极限的性质与运算法则,13,例5,解,变:,=0,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,14,小结:,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,15,例6,=1,例7,1,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,16,例8,解,无穷多项之和，不可用法则。先变形再求极限.,17,例9,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,18,例11 无穷递缩等比数列求和公式推导,等比数列,前n项和,无穷递缩等比数列所有项之和,例10 设,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,19,例12,解,若,求a，b,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则
6、,20,小结已经学过的几种求极限的方法在简单的情形可通过直观分析来求极限利用左、右极限与极限的关系来求极限利用无穷大量与无穷小量的关系求极限 利用无穷小量的性质来求极限利用极限四则运算法则求极限（可能需要预先对函数式作适当的变形）后面我们将进一步讨论较复杂极限的求解方法。,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,21,解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,22,作业：,P68:13(3)(4)(9)(10)(13)(14)(15)15思考13(17),2023/8/2,微积分-极限的性质与运算法则,23,1.唯一性,定理 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,四、数列极限的性质,
