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1、1 原函数的定义：,第四章 不定积分,一、原函数与不定积分的概念,如果在区间I内，可导函数F(x)的,定义 在区间I上f(x)的带任意常数项的原函数（原函数的全体）称为f(x)（或 f(x)dx）在I上的不定积分，记,2 不定积分的定义：,F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,3积分、微分之间的关系（性质）,基本积分表,二、基本积分表,三、不定积分的性质,性质1,性质2,四 不定积分的计算,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,例1,解：原式,1、直接积分法：,对照积分表，变换被积函数。,变换技巧：对分式添项，拆项，对三角函数进行三角变换。
2、,例3 求积分,解,例2,解：原式,例4 求积分,解,例5,例6,例7,例8,注:(1):检验：求导验证。,(2):基本方法:1)对照积分表，变换被积函数。,2)变换技巧：对分式添项，拆项，对三角函数进行三角变换。,解：设lnx=t，则x=et，原式变形为,当t 0时，,当t 0时，,故f(t)处处连续，于是有,由此可得 C1=1+C2，,令C2=C,2、第一类换元法（凑微法）,(1),例子,例1,例2,例3,一般 若,则有,（2）例1,例2,一般,例2,一般,(3)例1,(4),例1,例 2 求,一般,（5）例1,类似地,例2,例3,例4,例5,解,例6 求,解,说明,1、当被积函数是三角函
3、数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,（6）例1,法一,法二,法三,类似地可得,小结：（1）对一些常用的微分要熟悉，例如,（2）被积函数适当变形后再积分,（3）积分结果形式上可能不统一，特别是与三角函数相关时。求导检验。,（4）多练、多思,常用代换:,3、第二类换元法（代入换元法）,(1)例1 求,解,令,例2 求,解,令,(2)例1 求,解：,例 2 求,解,令,(3)例1 求,解,令,例2 求,解,令,(4)例1 求,解,Df=(，a)(a，+),令x=u，则u（a，+）,原式,例2 求,解,Df=(，3)(3，+),说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,为什么要讲上面三种情况？,通过配方，可化为上面三种情况之一。,例4,说明(2)我们把一些结论作为基本积分表二,基本积分表,说明(3),当分母x的次数较高时,可采用倒代换,例1 求,解：,原式,当x 0时，原式,当x 0时，有同样的结果.,
